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1、毕业论文题 目正定矩阵的判别方法及其应用 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 周永辉 班 级 11级数应1班 学 号 20111010148 指导教师 董芳芳 讲师 提交日期 2015/5/12 原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名: 年 月 日论文指导教师签名: 正定矩阵的判别及其应用周永辉(天水师范学院,数学与统计学院,甘肃,
2、天水,74100)摘 要 本文从正定矩阵的定义出发，给出了矩阵正定性的一些判别方法，并得到了正定矩阵的一些应用.关键词 矩阵； 正定性； 判别； 应用Methods and the applications of the judgment of positive definite matrix Yonghui zhou(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,China)Abstract In this paper, Some Methods of judgement m
3、atrix are given by the definite and some application are obtained.Key Words matrix；positive definiteness；method；application 目录一 引言及预备知识- 1 -二 正定矩阵的判别方法- 1 -三 正定矩阵的应用- 8 -3.1用正定矩阵的定义证明一些结论- 8 -3.2 在矩阵中的应用- 9 -3.3 正定矩阵在行列式中的应用- 10 -3.4 用正定矩阵证明不等式- 10 -3.5判断多元函数的极值问题- 10 -小结- 11 -参考文献- 12 -致谢- 13 -数学与统
4、计学院2015届毕业论文- 2 -正定矩阵的判别方法及其应用一 引言及预备知识中，二次型的定义与简单性质，本文对矩阵的性定义1 设.若正定, 引理1 退化线性替换引理2 设是阶使得 (1)其中为的特征值.二 正定矩阵的判别方法定理 1 阶阶矩阵,使得.证 (充分性)因为是为阶假设阶实可逆()，又，有,全部大于零，故是正定矩阵.(必要性)因为，使.即，其中.定理2 阶的式全大于零.证 (必要性)首先，若矩阵，使.即，其中.其次讨论二次型，让最后的的二次型，对此，下列结论显然成立：（1）正定正定；（2）的矩阵恰好是的矩阵的阶主子矩阵.所以有.(充分性)设阶的.特别地，.取上三角可逆阵,则有,其中，
5、是（n-1）阶.对矩阵，进行如下的分块，,其中，分别是矩阵，的-阶主子矩阵，且仍可逆矩阵.则有.从而,大于零.由与的关系，的.现在用第二数学归纳法来证明矩阵的阶数: 合同于阶单位矩阵，从而合同于对角形，于是阶是正定矩阵.定理 3 的全大于零.证 由定义1和定义2可证.例1 .解 矩阵的：，所以矩阵是正定矩阵.例2 当取何值时，二次型是正定的.解 二次型对应的矩阵为,而矩阵对应的： 是的所以.故当时，二次型正定.定理 4 阶列满秩矩阵，使得.证 (充分性)因为矩阵只有零解。对，则，有大于零,从而正定. (必要性)由，使得,可逆矩阵当然，而矩阵是可逆矩阵的不成立，即是定理5 阶三角阵，使得.证 (
6、必要性) ，使得.由是阶，,其中(充分性)因为，所以有，即与合同，由定理1可知正定.定理6 若是，则是均.证 (必要性)假设均大于零.而，的都大于(充分性)：；，且均为使得；，其中（）,则 =，令，得，可知，是可逆阵,则，其中的特征值均大于零.综上可知，例3 判断矩阵解 将矩阵作如下分块：，其中矩阵：.从而矩阵定理7 阶是是阶，使得（为任意正整数）.证 (充分性)因为是，使得；其中，所以有，.则，所以是正定的.(必要性)因为，使得，其中是正定矩阵的特征值，所以.令，由上式可得是正定矩阵，且.定理8 阶为半正定且.证 (必要性)因为，所以有，肯定成立，故一定半正定，且.(充分性)设的为由题目可知
7、，于是，又因为，所以.由定理4可知正定.定理9 大于零.证 (必要性) 分别为，且.由引理2存在正交矩阵使得（1）式成立.令 则，即为矩阵的对应于特征值的特征向量.特别的，取单位特征向量，即.于是有，这与矩阵为正定矩阵相矛盾，所以的所有特征值为均大于.(充分性)设的特征值为，由引理2知存在正交矩阵，使.从而有.任取，则有，其中，于是，从而为正定矩阵.例4 若矩阵，求的特征值，并求出正定矩阵，使得.解 矩阵的特征多项式为则矩阵的特征值分别为：.（1）解方程组取一个基础解系,则对应于特征值1的全部特征向量为(是不全为零的实数).将施行斯密特正交化得,再单位化得.（2）解方程组取一个基础解系，则得到
8、对应于特征值16的特征向量是: ,.再将单位化得.令，则，于是.三 正定矩阵的应用来判断其正定性；及充分必要条件3.1用正定矩阵的定义证明一些结论例5 设为实矩阵，且的秩，证明：正定.证 因为，所以方程组只有零解，于是对有，故正定.例6 为阶正定矩阵，为阶实矩阵，且，则是正定矩阵.证（1）因为，所以为实对称矩阵.（2）又由题目可知，所以方程组 只有零解，即对,而正定，所以.综上，是正定矩阵.3.2 在矩阵中的应用用充分必要条件：正定可逆矩阵，使得证明一些结论例7 若是正定矩阵和.证 因为正定可逆矩阵，使得，所以，于是有，即与合同，从而 .又因为，所以.例8 为阶正定矩阵，则.证 因为，使得,且
9、，从而有,所以有 .综上可知，.例9 ,且，则.证 因为，所以，于是.又由是正定矩阵，使得 .从而.因为是正定矩阵，所以 的特征值全为正数，于是是正定矩阵。综上可知，是正定矩阵.3.3 正定矩阵在行列式中的应用例10 是实可逆对称阵，实反对称矩阵，且则可逆.证 对，因为实，所以正定矩阵。又因为，所以，而，所以为半正定阵.从而，于是.综上可知，.3.4 用正定矩阵证明不等式例11 （其中不全为零的实数）.证 令,的各阶顺序主子式：，所以是正定矩阵.有，故原不等式成立.3.5判断多元函数的极值问题例12 讨论函数的极值.解 ，所以有二阶连续偏导数.令则 ，即，所以，从而的各阶顺序主子式均大于零，于
10、是正定。故在处有极小值为.小结，比较灵活，中有着普遍的应用，在第一部分，我们给出了矩阵的正定性的定义；，从高等代数方面给出了正定性矩阵的判别方法；在第三部分介绍了正定矩阵在矩阵、行列式、不等式及极值问题中的.通过这一系列应用进一步提高对正定矩阵的认识，为以后的学习发挥着重大作用.参考文献1牛兴文.高等代数与解析几何M，北京：化学工业出版社2005.146.2 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 高等代数（第三版）M，北京高等教育出版社，2003.226236.3 张禾瑞郝镔新. 高等代数（第三版）M，北京高等教育出版社，1983.228. 4潘晏仲，李洪军.高等代数与几何（第一版）M，西
11、安：西安交通大学出版社1999.360366.5于增海.高等代数考研选讲M,北京：国防工业出版社2012.1476张丹，刘庆平.正定矩阵的性质及相关问题J.湖南科技大学学报2011,12.7 钱吉林 高等代数解题精粹M，北京中央民族大学出版社200210.223.致谢历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师董芳芳老师，她对我进行了无私的指导和帮助，孜孜不倦的帮助进行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究成果，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多素材，还在论文的撰写和排版等过程中提供热情的帮助。最后，祝各位老师身体健康，工作顺利！- 13 -