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1、二次函数 典型习题 1.抛物线 y x2 2x 2 的顶点坐标是（D）A.（2，2）B.（1，2）C.（1，3）D.（1，3）2.已知二次函数 c bx ax y 2的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）ab 0，c 0 ab 0，c 0 ab 0，c 0 ab 0，c 0 CAEFBD 第,题图 第 4 题图 3.二次函数c bx ax y 2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A a 0，b 0，c 0 B a 0，b 0，c 0 C a 0，b 0，c 0 D a 0，b 0，c 0 4.如图，已知 ABC中，BC=8，BC上的高h 4，D为 BC上一点，EF BC/，交 AB于点E
2、，交 AC于点 F（EF不过 A、B），设 E 到 BC 的距离为x，则 DEF的面积y关于x的函数的图象大致为（）DO42 4O42 4O42 4O42 4AyxBC 248 2,48 4EF xEF x y x x 5.如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的图象的顶点 P 的横坐标是 4，图象交 x 轴于点 A(m，0)和点 B，且 m4，那么 AB的长是(C)A.4+m B.m C.2m-8 D.8-2m 6.抛物线3 22 x x y与 x 轴分别交于 A、B 两点，则 AB的长为 4 7.已知二次函数1 1)(2k2 x kx y与 x 轴交点的横坐标为1x、2x（
3、2 1x x），则对于下列结论：当 x 2 时，y 1；当2x x时，y 0；方程0 1 1)(22 x k kx有两个不相等的实数根1x、2x；11 x，12 x；22 11 4 kx xk，其中所有正确的结论是（只需填写序号）8.已知二次函数 c bx ax y 2中，c b a=2，则该函数必过(1，2)这个点 9.求二次函数5 42 x x y在-3X0上的取值范围为 1，5)注意区间的开闭 10.有一个运算装置，当输入值为 x 时，其输出值为 y，且 y 是 x 的二次函数，已知输入值为 2,0,1时,相应的输出值分别为 5,3,4（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画
4、出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 y 为正数时输入值 x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为 c bx ax y 2,则 43 0 05)2()2(22c b ac b ac b a,即 14 23b ab ac,解得 321cba 故所求的解析式为:3 22 x x y.（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值 y 为正数时，输入值 x 的取值范围是 1 x 或 3 x 11.已知抛物线 y x 2 mx m 2.（1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且 AB 5，试求 m的值；（2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原
5、点对称的两点 M、N，并且 MNC的面积等于 27，试求 m的值.解:(1)（x1，0）,B(x2，0).则 x1，x2是方程 x2 mx m 2 0 的两根.x1 x2 m,x1 x2=m 2 0 即 m 2;又 AB x1 x21 2 1 24 5 x x x x 2（+）,m 2 4m 3=0.解得：m=1或 m=3(舍去),m的值为 1.（2）M(a，b)，则 N(a，b).M、N是抛物线上的两点,N M C x y O 数的图象大致为如图所示已知二次函数的图象的顶点的横坐标是图象交轴于点和点且那么的长是抛物线与轴分别交于 只需填写序号其中所有正已知二次函数中则该函数必过这个点求二次函
6、数在上的取值范围为注意区间的开闭有一个运 给的坐标系中画出这个二次函数的图象并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围解设所求二次函数的解析 222,2.a ma m ba ma m b LL 得：2a 2 2m 4 0.a2 m 2.当 m 2 时，才存在满足条件中的两点 M、N.2 a m.这时 M、N到 y 轴的距离均为2 m,又点 C 坐标为（0，2 m）,而 SM N C=27,212（2 m）2 m=27.解得 m=7.12.某商店销售一种商品，每件的进价为 2.50 元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是 13.50 元时，销售量为 500 件，
7、而单价每降低 1 元，就可以多售出 200 件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润销售量.这里我们不妨设每件商品降价 x 元，商品的售价就是(13.5-x)元了.单个的商品的利润是(13.5-x-2.5)这时商品的销售量是(500+200 x)总利润可设为 y 元.利用上面的等量关式，可得到 y 与 x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润.解：设销售单价为降价 x 元.顶点坐标为(4.25，9112.5).即当每件商品降价 4.25 元，即售价为 1
8、3.5-4.25=9.25时，可取得最大利润 9112.5 元 数的图象大致为如图所示已知二次函数的图象的顶点的横坐标是图象交轴于点和点且那么的长是抛物线与轴分别交于 只需填写序号其中所有正已知二次函数中则该函数必过这个点求二次函数在上的取值范围为注意区间的开闭有一个运 给的坐标系中画出这个二次函数的图象并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围解设所求二次函数的解析13.已知二次函数的图象如图所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M的坐标（2）若点 N 为线段 BM上的一点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为点 Q 当点 N 在线段 BM上运动时（点 N不与点 B，点 M重合），设
9、NQ的长为 l，四边形 NQAC 的面积为 S，求 S 与 t之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使 PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将 OAC 补成矩形，使 OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(x x a y，)2(1 2 a 1 a 22 x x y 其顶点 M的坐标是 4921，（2）设线段 BM 所在的直线的解析式为b kx y，点 N的坐标为 N（t，h
10、），.21492 0b kb k，解得23 k，3 b 线段 BM 所在的直线的解析式为323 x y 323 t h，其中221 t t t s)3322(212 121 121432 t t s 与 t 间的函数关系式是121432 t t S，自变量 t 的取值范围是221 t（3）存在符合条件的点 P，且坐标是1P4725，45232，P 设点 P 的坐标为 P)(n m，则22 m m n 2 2 2)1(n m PA，5)2(2 2 2 2 AC n m PC，分以下几种情况讨论：i）若 PAC 90，则2 2 2AC PA PC 数的图象大致为如图所示已知二次函数的图象的顶点的横
11、坐标是图象交轴于点和点且那么的长是抛物线与轴分别交于 只需填写序号其中所有正已知二次函数中则该函数必过这个点求二次函数在上的取值范围为注意区间的开闭有一个运 给的坐标系中画出这个二次函数的图象并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围解设所求二次函数的解析.5)1()2(22 2 2 22n m n mm m n，解得：251 m，12 m（舍去）点 47251，P ii）若 PCA 90，则2 2 2AC PC PA.5)2()1(22 2 2 22n m n mm m n，解得：0234 3 m m，（舍去）点 45232，P iii）由图象观察得，当点 P 在对称轴右侧时，AC PA
12、，所以边 AC的对角 APC不可能是直角（4）以点 O，点 A（或点 O，点 C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边 OA（或边 OC）的对边上，如图 a，此时未知顶点坐标是点 D（1，2），以点 A，点 C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边 AC的对边上，如图 b，此时未知顶点坐标是 E 5251，F 5854，图 a 图 b 数的图象大致为如图所示已知二次函数的图象的顶点的横坐标是图象交轴于点和点且那么的长是抛物线与轴分别交于 只需填写序号其中所有正已知二次函数中则该函数必过这个点求二次函数在上的取值范围为注意区间的开闭有一个运 给的坐标系中画出这个二次函数的图象并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围解设所求二次函数的解析