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1、机械能守恒定律及其应用4.如图,位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成,圆弧半径Oa水平,b点为抛物线顶点。已知h=2 m,s= m。取重力加速度大小g=10 m/s2。(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下,当其在bc段轨道运动时,与轨道之间无相互作用力,求圆弧轨道的半径。(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下,求环到达c点时速度的水平分量的大小。【解析】(1)设环到b点时速度为vb,圆弧轨道半径为r,小环从a到b由机械能守恒有mgr=m环与bc段轨道间无相互作用力,从b到c环做平抛运动h=gt2s=vbt联立可得r=代入数据得r=0.25 m。(2)环从b点由静止下
2、滑至c点过程中机械能守恒,设到c点时速度为vc,则mgh=m在bc段两次过程中环沿同一轨迹运动,经过同一点时速度方向相同设环在c点时速度与水平方向间的夹角为,则环做平抛运动时tan =vy=gt联立式可得tan =2则环从b点由静止开始滑到c点时速度的水平分量vcx=vccos 联立三式可得vcx= m/s。答案:(1)0.25 m(2) m/s【补偿训练】如图是阿毛同学的漫画中出现的装置,描述了一个“吃货”用来做“糖炒栗子”的“萌”事儿:将板栗在地面小平台上以一定的初速度经两个四分之一圆弧衔接而成的轨道,从最高点P飞出进入炒锅内,利用来回运动使其均匀受热。我们用质量为m的小滑块代替栗子,借用
3、这套装置来研究一些物理问题。设大小两个四分之一圆弧半径分别为2R、R,小平台和圆弧均光滑。将过锅底的纵截面看作是由两个斜面AB、CD和一段光滑圆弧组成。斜面与小滑块间的动摩擦因数均为0.25,而且不随温度变化。两斜面倾角均为=37,AB=CD=2R,A、D等高,D端固定一小挡板,小滑块碰撞它不损失机械能。滑块的运动始终在包括锅底最低点的竖直平面内,重力加速度为g。(1)如果滑块恰好能经P点飞出,为了使滑块恰好沿AB斜面进入锅内,应调节锅底支架高度使斜面的A、D点离地高为多少?(2)接第(1)问,求滑块在锅内斜面上运动的总路程。(3)对滑块的不同初速度,求其通过最高点P和小圆弧最低点Q时受压力之
4、差的最小值。【解析】(1)设滑块恰好经P点飞出时速度为vP,由牛顿第二定律有mg=,得vP=到达A点时速度方向要沿着斜面AB,则vy=vPtan =所以A、D点离地高度为h=3R-=R。(2)进入A点时滑块的速度为v=假设经过一个来回能够回到A点,设回来时动能为Ek,则Ek=mv2-4mgcos 2Rmgcos ,则根据动能定理得mg2Rsin -mgcos s=0-mv2得滑块在锅内斜面上运动的总路程s=。(3)设滑块的初速度和经过最高点时的速度分别为v1、v2,由牛顿第二定律,在Q点F1-mg=在P点F2+mg=所以F1-F2=2mg+由机械能守恒有m=m+mg3R得-=6gR为定值代入v2的最小值(v2=vP=)得压力差的最小值为9mg。答案:(1)R(2)(3)9mg