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1、专题四 万有引力定律与航天考点一 天体中的近似计算问题例 题(1)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2。则此探测器 （ ）A.在着陆前瞬间，速度大小约为8.9 m/sB.悬停时受到的反冲作用力约为2103 NC.从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D.在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨
2、道上运行的线速度【命题意图】本题考查人造天体的着陆速度，反冲力大小以及能量是否守恒问题。【解析】星球表面万有引力提供重力即，地球表面重力加速度，则月球表面，则探测器重力，选项B正确；探测器自由落体，末速度，选项A错误；关闭发动机后，仅在月球引力作用下机械能守恒，而离开近月轨道后还有制动悬停，所以机械能不守恒，选项C错误；近月轨道即万有引力提供向心力,小于近地卫星线速度，选项D正确。【答案】BD【解题技巧】万有引力提供向心力是基础，会求解星球表面的重力加速度，会求解近星球表面的运行速度，会结合功能关系解决天体能量守恒问题。(2)设地球自转周期为T，质量为M。引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分
3、布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为 （ ）A. B. C. D.【命题意图】本题考查万有引力定律、匀速圆周运动的向心力。【解析】假设物体质量为m，物体在南极受到的支持力为N1，则；假设物体在赤道受到的支持力为N2，则；联立可得，。【答案】A【解题技巧】熟记万有引力公式，物体在星球表面的受力分析，注意此时地球的自转不能忽略，黄金代换公式的运用。考点二 天体的环绕运动问题例 题(3)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当地球恰好运行到某个行星和太阳之间，且三者几乎成一条直线的现象，天文学成为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分
4、别是：1月6日，木星冲日，4月9日火星冲日，6月11日土星冲日，8月29日，海王星冲日，10月8日，天王星冲日，已知地球轨道以外的行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是（ ）地球火星木星土星天王星海王星轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都会出现冲日现象B.在2015年内一定会出现木星冲日C.天王星相邻两次的冲日的时间是土星的一半D.地外行星中海王星相邻两次冲日间隔时间最短【命题意图】本题考查万有引力定律的估算问题。【解析】相邻两次行星冲日的时间间隔就是地球比该行星多运动一周的时间，根据开普勒第三定律可得，周期，相邻两次行星冲日的时间间隔，即相邻两
5、次行星冲日的时间间隔大于1年，所以选项A错；根据木星轨道半径是地球的5.2倍，木星周期大于11年，小于12年，所以木星冲日的时间间隔大于年小于1.1年，由于今年的冲日时间是1月6日，所以下次木星冲日在2015年，选项B对；由于木星相邻两次冲日的时间间隔的一半还不到一年，而所有行星冲日的相邻间隔都超过1年，所以天王星相邻两次的冲日的时间不可能是土星的一半，C错误；根据海王星的轨道半径最大，周期最大，根据相邻两次冲日的时间间隔可判断海王星的时间间隔最短，D正确。【答案】BD【方法技巧】本题实际上也是星体间的追赶问题，冲日即地球与行星相距最近，由于地球的角速度大，一段时间后地球追上行星再次相距最近，
6、地球转过的角度比行星多2。(4)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动。星球相对飞行器的张角为。下列说法正确的是（ ）A.轨道半径越大，周期越长B.轨道半径越大，速度越大C.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度【答案】AC【命题意图】本题考查万有引力定律以及中心天体平均密度的求法。【解析】根据可得，故半径越大，周期越大，速度越小；如果测量出周期，则有，如果知道张角，则该星球半径为，所以，选项C正确；因无法计算星球半径，则无法求出星球密度，选项D错误。【答案】AC【解题技巧】熟记G=mg=m=mr2=mr，可得g=，v=，=，T=2等公式，体积为
7、V=，平均密度=。考点三 双星或多星问题例 题(5)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R。下列说法正确的是（ ）A.地球对一颗卫星的引力大小为B.一颗卫星对地球的引力大小为C.两颗卫星之间的引力大小为D.三颗卫星对地球引力的合力大小为【命题意图】本题考查万有引力定律在多星问题中的应用以及学生运用数学知识解决物理问题的能力，难度中等；解题时注意万有引力的适用条件，灵活运用互成120角的力的合成规律是解题的关键。【解析】根据万有引力定律可知：地球对一个卫星的引力大小为，A错误；物体间的万有引力是相互作用力，所以一个卫星对地球的引力大小也为，
8、B正确；如图所示，两颗卫星之间的距离L=，所以两颗卫星之间的引力大小为，C正确；三颗卫星处在圆轨道的内接正三角形顶角上，根据三力平衡知识可知，对地球引力的合力大小为零，D错误。【答案】BC【解题技巧】明确双星与多星的引力来源及如何列表达，分别找出万有引力的合力，星体转动的轨道半径，并求出最终的结果。 规范训练卫星1卫星2地球60ABO1(2017长沙一中月考)北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能。“北斗”系统中两颗工作卫星1和2均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径均为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，如图所示。若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g
9、，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力。以下判断中正确的是（ ）A.这两颗卫星的向心加速度大小相等，均为 B.卫星1由位置A运动至位置B所需的时间 为C.如果使卫星1加速，它就一定能追上卫星2D.卫星1由位置A运动到位置B的过程中万有引力不做功【答案】AD【考点】卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系【解析】由黄金代换知，卫星的加速度为；卫星绕行的线速度为，卫星由A位置运动至B位置的时间为；空间的追击，由内圈加速追赶外圈的卫星；卫星1由位置A运动到位置B的过程中，万有引力与速度垂直，不做功。2(2017合肥一中学模拟考试)某卫星在半径为r的轨道1上做圆周运动，动能为，变轨到轨道2上后，动能
10、比在轨道1上减小了，在轨道2上也做圆周运动，则轨道2的半径为 （ ）A. B. C. D.【答案】A【考点】万有引力定律在卫星变轨问题中的应用【解析】万有引力充当向心力，故有，即，解得，所以在轨道1上时有，卫星在轨道2上的动能为，联立轨道2半径为。3(2017扬州中学质量监测)据报道，一个国际研究小组借助于智利的天文望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示。假设此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大星体的表面物质，达到质量转移的目的，在演变过程中两者球心之间的距离保持不变，双星平均密度可视为相同。则在最初演变的过程中（ ）A.它们做圆周运动的万
11、有引力保持不变B.它们做圆周运动的角速度不断变小C.体积较大的星体圆周运动轨迹的半径变大，线速度变大D.体积较大的星体圆周运动轨迹的半径变小，线速度变大【答案】C【考点】万有引力定律在双星问题中的应用。【解析】设体积较小的星体质量为m1，轨道半径为r1，体积大的星体质量为m2，轨道半径为r2，双星间的距离为L。转移的质量为。则它们之间的万有引力为，根据数学知识得知，随着的增大，F先增大后减小，故A错误。对m1：，对m2：，联立解得：，总质量m1+m2不变，两者距离L不变，两者距离L不变，则角速度不变，故B错误。由得：，、L、m1均不变，增大，则r2 增大，即体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，由
12、v=r2得线速度v也增大，故C正确，D错误。4(2017黄冈中学质量检测)某地区的地下发现天然气资源，如图所示，在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气。假设该地区岩石均匀分布且密度为，天然气的密度远小于，可忽略不计。如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g，由于空腔的存在，现测得P点处的重力加速度大小为kg(k1)。已知引力常量为G，球形空腔的球心深度为d，则此球形空腔的体积是 （ ） A. B. C. D.【答案】D【考点】万有引力定律在求解星体空腔问题的应用【解析】如果将近地表的球形空腔填满密度为的岩石，则该地区重力加速度便会回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量
13、为m的物体的重力为mg，没有填满时是kmg，故空腔填满后引起的引力为(1k)mg；根据万有引力定律，有：，解得。5(2017北京西城区综合能力测试)2016年2月11日，美国“激光干涉引力波天文台”(LIGO)团队向全世界宣布发现了引力波，这个引力波来自于距离地球13亿光年之外一个双黑洞系统的合并。已知光在真空中传播的速度为c，太阳的质量为M0，引力常量为G。(1)两个黑洞的质量分别为太阳质量的26倍和39倍，合并后为太阳质量的62倍。利用所学知识，求此次合并所释放的能量。(2)黑洞密度极大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，因此我们无法通过光学观测直接确定黑洞的存在。
14、假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体。a.因为黑洞对其他天体具有强大的引力影响，我们可以通过其他天体的运动来推测黑洞的存在。天文学家观测到，有一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为r0的匀速圆周运动。由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞。利用所学知识求此黑洞的质量M；b.严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在。我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为m1、m2的质点相距为r时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为(规定无穷远处势能为零)。请你利用所学知识，推测质量为M的黑洞，之所以能够成为“黑”洞，其半径R最大不能超过多少？
15、【考点】能量守恒定律、天体运动、万有引力定律。【解析】(1)由题目可知，两个黑洞在合并时类似发核聚变反应，所释放出的能量来源于质量亏损，根据爱因斯坦的质能方程得E=mc2=(26+3962)M0*c2=3M0c2(2)a.由题目可知，质量很小的恒星在其做圆周运动的轨道中心的黑洞吸引力下运动，则由万有引力提供恒星运动的向心力，设恒星质量为m，则有，解得。b.这里需要阅读前面关于黑洞的解释，黑洞密度大，质量极大，半径很小，以最快速度传播的光都不能逃离它的引力，物体想要逃离黑洞，至少要达到黑洞的第二宇宙速度，根据题目可知，黑洞的第二宇宙速度大于等于光速，物体脱离黑洞是指在黑洞产生的引力场中到达无穷远
16、处时速度依然大于等于0。对于临界情况(黑洞第二宇宙速度等于光速，物体脱离黑洞时的速度恰好为0)，由能量守恒定律可知，解得。6嫦娥五号探测器是我国研制中的首个实施无人月面取样返回的航天器，预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞返回地球，航天器返回地球开始阶段运行的轨道可以简化为：发射时，先将探测器发射至近月圆轨道1上，然后变轨到椭圆轨道2上，最后由轨道2进入圆形轨道3，忽略介质阻力，则以下说法正确的是 （ ）A.探测器在轨道2上经过近月点A处的加速度大于在轨道1上经过近月点A处的加速度B.探测器在轨道2上从近月点A向远月点B运动的过程
17、中速度减小，机械能增大C.探测器在轨道2上的运行周期小于在轨道3上的运行周期，且由轨道2变为轨道3需要在近月点A处点火加速D.探测器在轨道2上经过远月点B处的运行速度小于在轨道3上经过远月点B处的运行速度【答案】D【考点】万有引力定律的应用。【解析】探测器在轨道1和2上A点的位置不变，受到的万有引力不变，根据知加速度相等，故A错误；根据开普勒第二定律知，探测器在轨道2上从近月点A向远月点B运动的过程中速度减小，机械能保持不变，B错误；探测器在轨道2上的运行周期小于在轨道3上的运行周期，且由轨道2变为轨道3需要在近月点B处点火加速，故探测器在轨道2上经过远月点B处的运行速度小于在轨道3上经过远月
18、点B处的运行速度，C错误，D正确。7宇宙飞船以周期为T绕地球作近地圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为。太阳光可看作平行光，宇航员在A点测出的张角为，则（ ）A.飞船绕地球运动的线速度为 B.一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0C.飞船每次经历“日全食”过程的时间为 D.地球质量为【答案】ACD【考点】万有引力定律及其应用。【解析】飞船绕地球匀速圆周运动，所以线速度为,又由几何关系知,则，故A正确；地球自转一圈时间为T0，飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，得一天内飞船经历
19、“日全食”的次数为， 故B错误；由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过角，所需的时间为，故C错误；万有引力提供向心力，有，可得,故D正确。8嫦娥三号探测器平稳落月，让全国人民为之振奋。已知嫦娥三号探测器在地球表面受的重力为G1，绕月球表面飞行时受到月球的引力为G2，地球的半径为R1，月球的半径为R2，地球表面处的重力加速为g。则下列说法正确的是A.探测器沿月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期为B.月球与地球的质量之比为C.月球表面处的重力加速度为D.月球与地球的第一宇宙速度之比为【答案】A【考点】中心天体的质量、表面的重力加速度、第一宇宙速度等。【解析】万有引力充当向心力，所以在月球表面有，,联立即得，A正确；在地球上有，在月球上有，联立可得，C错误；根据第一宇宙速度可得月球与地球的第一宇宙速度之比为，D错误；根据得，因为，则月球和地球的质量之比为，B错误。 满分规范 1.时间：你是否在限定时间内完成？ 是 否 2.语言：答题学科用语是否精准规范？是 否 3.书写：字迹是否工整？卷面是否整洁？是 否 4.得分点：答题得分点是否全面无误？是 否 5.教材：教材知识是否全面掌握？ 是 否