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1、初中奥数题试题一 一、选择题（每题 1 分，共 10 分）1如果 a，b 都代表有理数，并且 a b=0，那么()A a，b 都是 0 B a，b 之一是 0 C a，b 互为相反数 D a，b 互为倒数 答案：C 解析：令 a=2，b=2，满足 2+(2)=0，由此 a、b 互为相反数。2下面的说法中正确的是()A 单项式与单项式的和是单项式 B单项式与单项式的和是多项式 C多项式与多项式的和是多项式 D 整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x，x3都是单项式两个单项式 x3，x之和为 x3+x是多项式，排除 A。两个单项式 x，2x2之和为 3x2是单项式，排除 B。两个多项式 x3+x
2、2 与 x3 x2之和为 2x3 是个单项式，排除 C，因此选 D。3下面说法中不正确的是()A.有最小的自然数 B没有最小的正有理数 C没有最大的负整数 D 没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故 C 错误。4如果 a，b 代表有理数，并且 a b 的值大于 a b 的值，那么()A a，b 同号 B a，b 异号 C a 0 D b 0 答案：D 5大于 并且不是自然数的整数有()A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在 右边 0 的左边（包括 0 在内）的整数只有 3，2，1，0 共 4 个选 C。6有四种说法：甲正数的平方不
3、一定大于它本身；乙正数的立方不一定大于它本身；丙负数的平方不一定大于它本身；丁负数的立方不一定大于它本身。这四种说法中，不正确的说法的个数是()A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故 C 错误。7 a 代表有理数，那么，a 和 a 的大小关系是()A a 大于 a B a 小于 a C a 大于 a 或 a 小于 a D a 不一定大于 a 答案：D 解析：令 a=0，马上可以排除 A、B、C，应选 D。8 在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边()A 乘以同一个数 B乘以同一个整式 C加上同一个代数
4、式 D 都加上 1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于 0 的数，所以排除 A。我们考察方程 x 2=0，易知其根为 x=2 若该方程两边同乘以一个整式 x 1，得(x 1)(x 2)=0，其根为 x=1 及 x=2，不与原方程同解，排除 B。同理应排除 C 事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对 D，这里所加常数为 1，因此选 D 9杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了 10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是()A 一样多 B多了 C少了 D 多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为 a，依题意可得
5、，第二天杯中水量为 a(1 10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)(1+10%)=0.9 1.1 a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 0.99 1，所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选 C。10 轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将()式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非负数答案解析最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身乙正数的立方
6、不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数A 增多 B减少 C不变 D 增多、减少都有可能 答案：A 二、填空题（每题 1 分，共 10 分）1 19891990 19891989=_。答案：19891990 19891989=(19891990+19891989)(19891990 19891989)=(19891990+19891989)1=39783979。解析：利用公式 a-b=（a+b）(a-b)计算。2 1 2 3 4+5 6+78+4999 5000=_。答案：1 2+3 4+5 6+7 8+4999 5000=(1 2)+(3 4)+(5 6)+(7 8)+(4999
7、5000)=2500。解析：本题运用了运算当中的结合律。3当 a=0.2，b=0.04 时，代数式 a-b 的值是 _。答案：0 解析：原式=(0.2)0.04=0。把已知条件代入代数式计算即可。4含盐 30%的盐水有 60 千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐 40%时，秤得盐水的重是 _克。答案：45000（克）解析：食盐 30%的盐水 60 千克中含盐 60 30%（千克），设蒸发变成含盐为 40%的水重 x 克，即 0.001x 千克，此时，60 30%=(0.001x)40%解得：x=45000（克）。遇到这一类问题，我们要找不变量，本题中盐的含量是一个不变量，通过它列出等式进行计算。
8、三、解答题 1.甲乙两人每年收入相等，甲每年储蓄全年收入的15，乙每月比甲多开支 100 元，三年后负债 600 元，求每人每年收入多少？答案：解得，x=5000 答：每人每年收入 5000 元。式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非负数答案解析最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数 所以 S 的末四位数字的和为 1 9 9 5=24。4 一个人以 3 千米/小时的速度上坡，
9、以 6 千米/小时的速度下坡，行程 12 千米共用了 3 小时 20 分钟，试求上坡与下坡的路程。答案：设上坡路程为 x 千米，下坡路程为 y 千米依题意则：由有 2x+y=20，由有 y=12-x，将之代入得 2x+12-x=20。所以 x=8(千米)，于是 y=4(千米)。答：上坡路程为 8 千米，下坡路程为 4 千米。5求和：。答案：第 n 项为 所以 式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非负数答案解析最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定
10、大于它本身乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数。6证明：质数 p 除以 30 所得的余数一定不是合数。证明：设 p=30q r，0 r 30，因为 p 为质数，故 r 0，即 0 r 30。假设 r 为合数，由于 r 30，所以 r 的最小质约数只可能为 2，3，5。再由 p=30q r 知，当 r 的最小质约数为 2，3，5 时，p 不是质数，矛盾。所以，r 一定不是合数。解：设 由式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即(4-m)pq+1=2(p+q)。可知 m 4由，m 0，且为整数，所以 m=1，2，3下面分别研究 p，q。(1)若 m=1 时，有 解得 p=
11、1，q=1，与已知不符，舍去(2)若 m=2 时，有 因为 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不可能的，故 m=2 时无解 式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非负数答案解析最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数(3)若 m=3 时，有 解之得 故 p q=8。式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大
12、的负整数没有最大的非负数答案解析最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数 初中奥数题试题二 一、选择题 1数 1 是()A 最小整数 B最小正数 C最小自然数 D 最小有理数 答案：C 解析：整数无最小数，排除 A；正数无最小数，排除 B；有理数无最小数，排除D。1 是最小自然数，正确，故选 C。2.a 为有理数，则一定成立的关系式是()A 7a a B 7+a a C 7+a 7 D|a|7 答案：B 解析：若 a=0，70=0 排除 A；7+0=7 排除 C；|0
13、|7 排除 D，事实上因为 7 0，必有 7+a 0+a=a选 B。3.3.14167.5944+3.1416(-5.5944)的值是()A 6.1632 B 6.2832 C 6.5132 D 5.3692 答案：B 解析：3.14167.5944+3.1416(-5.5944)=3.1416(7.5944-5.5944)=23.1416=6.2832，选 B。4.在-4，-1，-2.5，-0.01 与-15 这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是()A 225 B 0.15 C 0.0001 D 1 答案：B 解析：-4，-1，-2.5，-0.01 与-15 中最大的数是-0.0
14、1，绝对值最大的数是-15，(-0.01)(-15)=0.15，选 B。二、填空题 1计算：(-1)+(-1)-(-1)(-1)(-1)=_。答案：(-1)+(-1)-(-1)(-1)(-1)=(-2)-(-1)=-1。式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非负数答案解析最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数2.求值：(-1991)-|3-|-31|=_。答案：(-1991)-
15、|3-|-31|=-1991-28=-2019。3.n 为正整数，1990n-1991 的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是 8009。则 n 的最小值等于 _。答案：4 解析：1990n的末四位数字应为 1991+8009 的末四位数字即为 0000，即 1990n末位至少要 4 个 0，所以 n 的最小值为 4。4.不超过(-1.7)的最大整数是 _。答案：2 解析：(-1.7)=2.89，不超过 2.89 的最大整数为 2。5.一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是 7，则这个质数是 _。答案：29 解析：个位数比十位数大 7 的两位数有 18，29，其中
16、只有 29 是质数。三、解答题 1已知 3x 2-x=1，求 6x 3+7x 2-5x 2000 的值。答案：原式=2x(3x 2-x)+3(3x 2-x)-2x+2000=2x 1 3 1-2x+2000=2003。2某商店出售的一种商品，每天卖出 100 件，每件可获利 4 元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价 1 元，每天就少卖出 10 件。试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？答案：原来每天可获利 4 100 元，若每件提价 x 元，则每件商品获利(4 x)元，但每天卖出为(100-10 x)件。如果设每天获利为 y 元，
17、则 y(4 x)(100-10 x)=400 100 x-40 x-10 x2=-10(x2-6x 9)90 400=-10(x-3)2 490。所以当 x=3 时，y 最大=490 元，即每件提价 3 元，每天获利最大为 490 元。3如图 1 96 所示，已知 CB AB，CE平分 BCD，DE平分 CDA，1 2=90。求证：DA AB。证明：CE平分 BCD，DE平分 ADC及 1 2=90，ADC BCD=180，AD BC。又 AB BC，式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非负数答案解析最
18、大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数 AB AD。4.求方程 xy-2x+y=4 的整数解。答案：x y-2 x+y=4，即 x(y-2)+(y-2)=2，所以(x+1)(y-2)=2。因为 x 1 0，且 x，y 都是整数，所以 5.王平买了年利率 7.11 的三年期和年利率为 7.86 的五年期国库券共 35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为 47761 元，问王平买三年期与五年期国库券各多少？(
19、一年期定期储蓄年利率为 5.22)答案：设设王平买三年期和五年期国库券分别为 x 元和 y 元，则 因为 y=35000-x，所以 x(1 0.0711 3)(1 0.0522)2+(35000-x)(1+0.0786 5)=47761，所以 1.3433x 48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994，所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)。6.对 k，m 的哪些值，方程组 至少有一组解？答案：因为(k 1)x m-4，m 为一切实数时，方程组有唯一解当 k=1，m=4 时，的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解。当 k=1，m 4 时
20、，无解。所以，k 1，m 为任何实数，或 k=1，m=4 时，方程组至少有一组解。式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非负数答案解析最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数初中奥数题试题三 一、选择题 1.下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是()A.x y 与-3x z B.3.22m n3与 n3m C.0.2a b 与 0.2ab D.11abc 与 ab 答案：B 解
21、析：字母相同,并且相同字母的指数也相同的两个式子叫同类项。2.(x-1)-(1-x)+(x+1)等于()A 3x-3 B x-1 C 3x-1 D x-3 答案：C 解析：(x-1)-(1-x)+(x+1)=x-1-1+x+x+1=3x-1，选 C。3.两个 10 次多项式的和是()A 20 次多项式 B 10 次多项式 C 100 次多项式 D 不高于 10 次的多项式 答案：D 解析：多项式 x10+x 与-x10+x之和为 x+x 是个次数低于 10 次的多项式，因此排除了 A、B、C，选 D。4.若 a+1 0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是()A a，-1，1，-
22、a B-a，-1，1，a C-1，-a，a，1 D-1，a，1，-a 答案：A 解析：由 a+1 0，知 a-1，所以-a 1。于是由小到大的排列次序应是 a-1 1-a，选 A。5.a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则()A c b a B c a b C a b c D b c a 式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非负数答案解析最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身
23、乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数答案：B 解析：易见 a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5 0，c=123.4-(-123.5)123.4 a，所以 b a c，选 B。6若 a 0，b 0，且|a|b|，那么下列式子中结果是正数的是()A(a-b)(ab+a)B(a+b)(a-b)C(a+b)(ab+a)D(ab-b)(a+b)答案：A 因为 a 0，b 0所以|a|=-a，|b|=b 由于|a|b|得-a b，因此 a+b 0，a-b 0。ab+a 0，ab-b 0。所以应有(a-b)(ab+a)0 成立，选 A。7从 2a+5b
24、减去 4a-4b 的一半，应当得到()A 4a-b B b-a C a-9b D 7b 答案：D 解析：12a 5b 4a 4b2（）=2a+5b-2a+2b=7b，选 D。8 a，b，c，m都是有理数，并且 a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么 b 与 c()A 互为相反数 B互为倒数 C互为负倒数 D 相等 答案：A 解析：因为 a+2b+3c=m=a+b+2c，所以 b+c=0，即 b，c 互为相反数，选 A。9张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为 15，后两个有理数的平均值是 10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是()A.5 B.8 C.12 D.13 答案：D 解析：
25、前三个数之和=153，后两个数之和=102。所以五个有理数的平均数为（45+20）5=13，选 D。二、填空题（每题 1 分，共 10 分）1 2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=_。答案：29 解析：前 12 个数，每四个一组，每组之和都是 0所以总和为 14+15=29。2.若 P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b，则代入到代数式 P-Q-2P-(-P-Q)中，化简后，是 _。答案：12ab。式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非
26、负数答案解析最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数解析：因为 P-Q-2P-(-P-Q)=P-Q+2P+(-P-Q)=P-Q+2P-P-Q=2P-2Q=2(P-Q)以 P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b代入，原式=2(P-Q)=2(a+3ab+b)-(a-3ab+b)=2(6ab)=12ab。3小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为 2，17，-1，-3，那么小华写 出的四个有理数的乘积等于 _。答案：-1728。解析：设这四个有理数为 a、b、c、d，则 a
27、 b c=2a+b+d=17a+c+d=-1b+c+d=-3 有 3（a+b+c+d）=15，即 a+b+c+d=5。分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为 3，-12，6，8，所以，这四个有理数的乘积=3(-12)68=-1728。4一种小麦磨成面粉后，重量要减少 15%，为了得到 4250 公斤面粉，至少需要_公斤的小麦。答案：5000 解析：设需要 x 公斤的小麦，则有 x（x-15）=4250 x=5000 三、解答题 答案：原式化简得 6(a-1)x=3-6b+4ab，当 a 1 时，答案：式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式
28、之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非负数答案解析最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数 3.液态农药一桶，倒出 8 升后用水灌满，再倒出混合溶液 4 升，再用水灌满，这时农药的浓度为 72，求桶的容量。答案：去分母、化简得 7x 2-300 x+800=0，即 7x-20)(x-40)=0，4.6设 P 是 ABC 内一点求：P 到 ABC 三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围。答案：如图 1 105 所示。在 PBC 中有 BC PB PC，延长 BP 交
29、 AC 于 D易证 PB PC AB AC，由，BC PB PC AB+AC，同理 AC PA PC AC BC，AB PA PB AC AB。得 AB BC CA 2(PA PB PC)2(AB BC CA)。所以。5.甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行 24 千米，甲经过 9小时到东站，乙经过 16 小时到西站，求两站距离。答案：设甲步行速度为 x 千米/小时，乙步行速度为 y 千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千米；依题意得：式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非负数答案解析
30、最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数 由得 16y 2=9x 2，由得 16y=24 9x，将之代入得 即(24 9x)2=(12x)2解之得 于是 所以两站距离为 9 8 16 6=168(千米)。式的和是多项式整式与整式的和是整式答案解析都是单项式两个单项式之和为是多项式排除两个单项式之和为是单项 有最大的负整数没有最大的非负数答案解析最大的负整数是故错误如果代表有理数并且的值大于的值那么同号异号答 选有四种说法甲正数的平方不一定大于它本身乙正数的立方不一定大于它本身丙负数的平方不一定大于它本身丁负数