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1、工 程 数 学作业之一解答作业一：线性代数一问答题1叙述三阶行列式的定义。答：定义1：用个数组成的记号表示数值：称为三阶行列式，即：定义2：用个数组成的记号D表示数值：称为n阶行列式。2叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。答：定义：在n阶行列式D中划去所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n1）阶行列式，称为的余子式，记为，即称为的代数余子式，记为，即3叙述矩阵的秩的定义。答：定义：设A为mn矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作（秩）r或R（A）r4叙述对称阵、可逆矩
2、阵的定义。答：定义1：满足条件的方阵称为对称阵。其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。定义2：对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得ABBA=E，其中E为n阶单位阵，则称A为可逆阵，称B为A的逆矩阵。5叙述矩阵的加法运算、数乘运算定义。答：定义1：设两个mn矩阵A，B则称mn矩阵为矩阵A与B的和，记作AB定义2：以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作kA，如果A，那么kA=,即kA=6叙述向量组的线性相关和线性无关的定义。答：定义：设有向量组如果存在一组不全为零的数使得 成立，则称向量组线性相关。否则，即仅当时，才有成立，则称向量组线性无关。7齐次线性方程
3、组的基础解系是什么？答：定义：设T是的所有解的集合，若T中存在一组非零解满足（1）线性无关；（2）任意，都可用线性表出则称是此方程组的一个基础解系8试述克莱姆法则的内容。答：克莱姆法则：如果线性方程组的系数构成的行列式D,则此线性方程组有唯一解：其中，是将系数行列式D中第j列元素对应地换为常数项得到的行列式 二填空题（共8题，每题4分，共计32分）1行列式4 2若是对称矩阵，则 O 。3设，则 18|A| 4设均为3阶矩阵，且，则 。5设行列式，则中元素的代数余子式= 6阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是 。7设矩阵中的阶子式，且所有 r+1 阶子式（如果有的话）都为0，则。8设，
4、则 。9如果齐次线性方程组的系数行列式，那么它有 只有零 解10齐次线性方程组总有 0 解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有 非零 解。11用消元法解线性方程组，其增广矩阵经初等行变换后,化为阶梯阵，则(1)当=0, 时, 无解;(2)当=0, =0时, 有无穷多解;(3)当, 是任意实数时, 有唯一解.三计算题1计算行列式解：原行列式可化为： 2计算行列式解：原行列式可化为：（）3计算行列式解：原行列式可化为：26001400600-18004设矩阵，求。解：05已知行列式，写出元素的代数余子式，并求的值解： 546设，求。解：7求矩阵的秩。解：所以，矩阵的秩为28解齐次线性方
5、程组。解：对系数矩阵施以初等变换：A与原方程组同解的方程组为：所以：方程组的一般解为（其中，为自由未知量）9试问取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：系数行列式为：所以，当时，该齐次线性方程组有非零解10解线性方程组。解：对增广矩阵施以初等行变换：所以，原方程组无解。11解线性方程组。解：对增广矩阵施以初等行变换：与原方程组同解的方程组为：所以：方程组的一般解为 (是自由未知量); 12设矩阵，解矩阵方程。解：；由于.则有四应用题7某工厂采用三种方法生产甲乙丙丁四种产品，各种方案生产每种产品的数量如下列矩阵所示：若甲乙丙丁四种产品的单位成本分别为10、12、8、15（万元），销售单位价格分别为15、16、14、17（万元），试用矩阵运算计算用何种方法进行生产获利最大？解：设单位成本矩阵，销售单价矩阵为，则单位利润矩阵为，从而获利矩阵为，于是可知，采用第二种方法进行生产，工厂获利最大。