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1、第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答第五节第五节 等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转第四节第四节 按应力求解空间问题按应力求解空间问题第三节第三节 半空间体在边界上受法向集中力半空间体在边界上受法向集中力第二节第二节 半半空间体受重力及均布压力空间体受重力及均布压力第一节第一节 按位移求解空间问题按位移求解空间问题第六节第六节 扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟 第七节第七节 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转 第八节第八节 矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转 例题例题习题的提示和答案习题的提示和答案教学参考资料教学参考资料第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答1.取u,v,w为基本未知
2、函数。按位移求解按位移求解2.将应变用位移来表示，可以引用几何方程。将应力先用应变表示（应用物理方程），再代入几何方程，也用位移来表示：在直角坐标系中，按位移求解空间问题，与平面问题相似，即81 按位移求解空间问题按位移求解空间问题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中体积应变按位移求解按位移求解3.将式(a)代入平衡微分方程，得在V内求解位移的基本方程：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中拉普拉斯算子V V内基本方程内基本方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答4.将式代入应力边界条件，得用位移表示的应力边界条件：边界条件位移边界条件仍为:第八章第八章 空间问题的解答
3、空间问题的解答（2）上的应力边界条件(c),（3）上的位移边界条件(d)。归结：按位移求解空间问题，位移 u,v,w 必须满足：按位移求解按位移求解这些条件也是校核位移是否正确的全部条件。（1）V内的平衡微分方程(b),第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答优点 在空间问题中，按位移求解方法尤为要：3.近似解法中，按位移法求解得到广泛的 应用。2.未知函数及方程的数目少。而按应力求 解时，没有普遍性的应力函数存在。1.能适用于各种边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 按位移求解空间轴对称问题 在柱坐标 中，可以相似地导出：位移 应满足：轴对称问题（1）V内的平衡微分方程，第
4、八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答轴对称的拉普拉斯算子为其中体积应变轴对称问题（2）上的应力边界条件。（3）上的位移边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答1、试导出空间问题中上的应力边界条件（8-4）。2、试导出空间轴对称问题中用位移表示的 平衡微分方程（书中式（8-4），并将 上的应力边界条件用位移 来表示。思考题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答设有半空间体，受自重体力 及边界的均布压力q。82 半半空间体受重力空间体受重力 及均布压力及均布压力 问题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答采用按位移求解：考虑对称性：本题的任何x面和y面均为对称面，可设位移u
5、,v,w应满足平衡微分方程及边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）将位移(a)代入平衡微分方程,前两式自然满足，第三式成为常微分方程，求解方程积分两次,得第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答相应的应力为求解方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）在z=0的负z面，应力边界条件为边界条件由式(d)求出A，得应力解为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答位移解为其中B为z向刚体平移，须由约束条件确定。若z=h为刚性层，则由可以确定B。若为半无限大空间体，则没有约束条件可以确定B；第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答侧面压力与铅直压力之比，称为侧压力系
6、数。即侧压力系数第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答当时，侧向变形最大，侧向压力也最大，说明物体的刚度极小，接近于流体。当时，正应力不引起侧向变形。说明物体的刚度极大，接近于刚体。讨论：讨论：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题1、如果图中的问题改为平面应力问题，或平面应变问题，试考虑应如何按位 移求解？第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答2.若将空间问题的伽辽金位移函数向平面 应变问题简化，将得到什么形式的表达 式？再转向平面应力问题，又将得到什 么形式的表达式？并与平面问题的位移 函数相比较（参见“弹性力学简明教程学习指导”和第二章教学参考资料）。3.试用伽辽金位移
7、函数的表达式(8-9),导 出式(8-10)（参见“弹性力学简明教程学习指导”）。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答设有半空间体，在o点受有法向集中力F。本题为空间轴对称问题。应用柱坐标求解，而位移 ,而 和 应满足:8-3半空间体在边界上受半空间体在边界上受 法向集中力法向集中力 问题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）平衡微分方程（书中（8-4）求解条件其中第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）在z=0的边界上，除原点o以外的应力 边界条件为（3）由于z=0边界上o点有集中力F的作用，取出z=0至z=z的平板脱离体，应用圣维南原理，考虑此脱离体的平衡条件：第八
8、章第八章 空间问题的解答空间问题的解答布西内斯克得出满足上述全部条件的解答为由于轴对称，其余的5个平衡条件均为自然满足。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答应力特征：（3）水平截面上的全应力，指向F作用点o。边界面上任一点的沉陷，（2）水平截面上的应力与弹性常数无关。（1）当当第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答若单位力均匀分布在的矩形面积上，其沉陷解为：将F代之为，对积分，便得到书上公式。分布力第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答1.试由位移函数的表达式(8-11)，导出式 (8-12)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）2.
9、试由拉甫位移函数的表达式(8-14)，导出式(8-15)。（参见“弹性力学简明教程学习指导”）思考题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答84按应力求解空间问题按应力求解空间问题 按应力求解空间问题的方法：按应力求解空间问题的方法：按应力求解形变可以通过物理方程用应力表示。位移要通过对几何方程的积分，才能用形变或应力表示，其中会出现待定的积分函数。2.其他未知函数用应力表示:1.取x yz为基本未知函数。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答因此,位移边界条件等用应力表示时，既复杂又难以求解。所以按应力求解通常只解全部为应力边界条件 的问题。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答3
10、.在V内导出求应力的方程:从几何方程消去位移，导出六个相容方程：（2）相容方程（六个）:（1）平衡微分方程（三个）。V内方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答再代入物理方程，导出用应力表示的相容方程。(书中（8-12）。4.假设全部为应力边界条件，在上，应满足书中式（7-5）。应力边界条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）V内的三个平衡微分方程；其中(1),(3)是静力平衡条件；(2),(4)是位移连续条件。按应力求解归纳为按应力求解归纳为,应力分量应满足：按应力求解归纳（4）对于多连体，还应满足位移单值条件。（3）上的三个应力边界条件（假设全部为应力边界条件）；（2）V
11、内的六个相容方程；第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（1）物体满足连续性条件 导出形变和位 移之间的几何方程 导出相容方程。对于相容方程说明如下：相容方程说明所以相容方程是位移的连续性条件。（2）形变满足相容方程 对应的位移存在 且连续 物体保持连续；形变不满足 相容方程 对应的位移不存在物 体不保持连续。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（3）相容方程的导出及对(2)的证明，可 参见有关书籍。例如：（4）相容方程必须为六个。相容方程和平衡微分方程的数目大于未知函数的数目，是由于微分方程提高阶数所需要的。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答式是由方程提高阶数得出的，但式增
12、加的解不是原式的解。几何方程中，形变为0阶导数；但在相容方程中形变以2阶导数出现。因为微分方程提高阶数会增加解答，所以增加的方程数目正好用来消去增加的解答。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 在按应力求解空间问题中，力学家提出了几种应力函数，用来表示应力并简化求解的方程。应力函数 应用这些应力函数，也已求出了一些空问题之解。但这些应力函数不具有普遍性（不是普遍存在的）。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题思考题1、试考虑：从空间问题的相容方程，可以 导出平面应变问题的相容方程，却不能直 接导出平面应力问题的相容方程，为什么？(见例题4)2、在表面均受到法向压力q 作用的任意
13、形状的 空间体，其应力分量是 试证明这些应力分量是该 问题之解（对于多连体还应满足位移单值条 件）。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答扭转问题也是空间问题的一个特例。8-5等截面直杆的扭转等截面直杆的扭转根据扭转问题的特性来简化空间问题，就建立了扭转问题的基本理论（1854-1856年，圣维南）。扭转问题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 扭转问题扭转问题的提出:（1）等截面柱体；（2）无体力作用，（3）柱体侧面无面力作用，柱体上下端面的面力，合成一对力矩 M。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答引用按应力求解空间问题的方法应力应满足3个平衡微分方程，6个相容方程及上的应
14、力边界条件。按应力求解第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答因此只有，代入3个平衡微分方程得1.由扭转问题特性,上下端面（）上无面力设侧面无任何面力，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由式(a)前两式，得 仅为（x,y）的 函数；第三式成为又由偏导数的相容性，存在一个应力函数第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答对比式(b)和(c)，两个切应力均可用一个扭转应力函数 表示为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由此得出扭转应力函数 应满足的方程：2.将式（d）代入6个相容方程，前三式和第六式自然满足，其余两式为代入（d），得C为待定常数。相容方程第八章第八章 空间问题的解答
15、空间问题的解答而得3.考察侧面边界条件前两式自然满足，第三式成为边界条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答在S上为常数。又由于中常数不影响应力，得的侧面边界条件为考察上端面（z=0）的边界条件。在小边界z=0上，应用圣维南原理，有第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答在z=0负面上，只有。条件自然满足，而其余三个条件为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 将式 代入，并应用条件 ，经过运算（见书P.168），式 的前两式自然满足，而由后一式得出关于 的端面边界条件为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答扭转问题归纳为求一个扭转应力函数，应满足：归纳（1）A内方程（2）侧面
16、S上边界条件（3）端面上边界条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答注解：（3）扭转问题中的变量为x,y，仍属于二维问题。（2）空间问题按应力求解的全部条件均已考虑并满足。（1）另一端面上的边界条件自然满足。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答求位移分量：根据上面的应力，代入物理方程，可以求出对应的形变；再代入几何方程，并进行积分，求出对应的位移为其中，为单位杆件长度的扭角。求位移第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答并且还得出对比式（e），得出常数C的物理意义，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题1.试考虑：上面建立的分析方法是精确2.的理论还是近似的理论，其中提
17、出的一些假设是否完全成立？第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答86扭转问题的薄膜比拟扭转问题的薄膜比拟 对于物理现象不同，但数学描述相同的问题，可以应用比拟方法来求解。薄膜问题薄膜问题设有一薄膜，张在水平边界上，并受到微小的气体压力q。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答薄膜斜率在面分别为薄膜斜率在面分别为薄膜只能承受均匀拉力，不能承受弯矩，扭矩，剪力和压力。取出一个微小单元abcd,各边上的作用力均为，但薄膜的斜率不同。薄膜问题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答平衡条件：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答得出薄膜垂度z的方程：薄膜在x，y向斜率为 薄膜与边界平面（
18、xy面）之间的2倍 体积是薄膜的边界条件为薄膜比拟第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 扭转问题 薄膜问题未知函数A内方程从数学上看，薄膜问题和扭转问题的数学方程相同，比较如下：边界条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答边界条件切应力/斜率扭转问题 薄膜问题于是求扭转应力函数 的问题，可以化为求薄膜垂度z的问题：只要使M对应于2V，则第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 薄膜比拟的应用：薄膜比拟的应用：（3）通过薄膜比拟,提出扭转应力函数的假设。（2）通过薄膜比拟,直接求解薄壁杆件的扭转问题。（1）通过薄膜比拟试验,求解扭转问题。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答扭
19、转问题已归结为求扭转应力函数，应满足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,87 椭圆截面杆的扭转椭圆截面杆的扭转 求的条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答式中的C为常数，其特解十分简单；而式的通解为调和函数。C可以由式求出。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 椭圆截面杆受M的扭转，可以由式(a),(b),(c)求解。1.为了满足式(b)，可取在椭圆边界上椭圆截面杆第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答2.将式(d)代入(a)，解出3.再将式(d)及(e)代入式(c)，求出从而得出第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答求出单位长度杆件的扭角：第八章第八章 空间问题的
20、解答空间问题的解答 z 向的位移为可见横截面不保持为平面。只有当a=b 的圆截面时，w=0，才保持为平面。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答对于的狭矩形截面，从薄膜比拟来看,(1)在边界条件中，长边上应严格满足88矩形截面杆的扭转矩形截面杆的扭转 而短边(x=b)是 次要的，可忽略。狭矩形截面杆1.狭矩形截面杆 的扭转第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）在方程中，应主要考虑y 向的导数，而可忽略x向的导数，由式和，可得可简化为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（3）将代入求出狭矩形杆的解答为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答矩形截面杆2.一般矩形截面杆 的扭
21、转 以狭矩形杆解答为基础，再迭加一个修正解的方法,进行求解：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答应满足条件是由上式可导出F应满足的条件:第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答从式（h）可解出F，再由式（g）得，然后求出应力等解答（用双曲函数和三角函数的级数表示）。书中列出了简化的结果，见式（8-34）和（8-35）。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答3.薄壁杆件的扭转（2）从薄膜比拟可见，当狭矩形的a,b相同时，直线形和曲线形截面的薄膜是相似的，它们的相同。（1）薄壁杆件截面都是狭矩形可以直接引用式的解答。薄壁杆件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（3）对于若干个狭矩
22、形组成的构件，b.总扭矩是各个截面的扭矩之和，由此解出a.各个截面的扭角相同，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（4）闭口薄壁杆件的扭转设闭口薄壁杆的厚度为，中心线长为s，中心线包围的面积为A，应用薄膜比拟，取外边界上，则内边界上的不能再任意选择，应取，如图，相当于有一块无重钢板悬挂于边界上。由薄膜比拟：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答扭矩解出切应力yxozxzoyqhs(b)开口薄壁杆件(a)闭口薄壁杆件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由此得出切应力其中，代入得为了求扭角K,可考虑内边界上无重钢板的平衡条件：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由薄膜比拟，代
23、入上式，求出当薄壁杆厚度为常量时，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答思考题 试比较：矩形中心线的边长为ab，厚度为的矩形的闭口薄壁杆件,和矩形开口薄壁件的切应力和扭角。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答例题1例题2例题3例题4例题第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答解：引用“弹性力学简明教程学习指导”8-2中关于空间位移势函数的解法，应满足泊松方程例题1试证明位移势函数能解任意弹性体受均布压力q的问题。及边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答取满足泊松方程。由式（8-8）从求出应力分量,在边界面上，设法线的方向余弦为l,m,n,则面力分量是将应力代入三个边界
24、条件，并求出第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由此，得解答对于多连体，还应从应力求出位移，并校核多连体中的位移单值条件是否满足。显然，位移单值条件是满足的。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 设有无限大弹性体（空间体），在体内一小洞中受有集中力F 的作用，如图(a)，试用拉甫位移函数 求解应力分量，其中 例题2第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答及边界条件。将代入方程，显然是满足的。再将代入应力公式（8-16），求出应力分量。解：引用“弹性力学简明教程学习指导”8-3中关于拉甫位移函数 的解法，应满足重调和方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答为了校核小洞中受集中
25、力的边界条件，在点o附近切出一薄板，图(b)，应用圣维南原理来考虑此薄板的平衡条件。由于应力分量都是轴对称的，且对于z=0的面又是反对称的，只须考虑下列平衡条件：第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答而从而得出各应力分量为代入后得第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中而均为调和函数，满足例题3用代入法证明，下列的位移表达式是无体力时平衡微分方程的解答，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答由于都是调和函数，代入无体力的平衡方程均能满足。H.Neuber等曾用这一形式的解答求出一批回转体的解。解：当无体力时，平衡微分方程是其中体积应变第八
26、章第八章 空间问题的解答空间问题的解答例题4平面应力解答的近似性试从空间问题按应力求解的方法，来导出和考察平面应变问题和平面应力问题的基本理论。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答解：（1）对于平面应变问题，在常截面的很长柱体（可以假设为无限长），只有x,y方向的体力、面力和约束且沿z方向不变的条件下，由于任一横截面（z面）均为对称面，可以推论出，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答从式可以得出，在式中，表示等式左边的物理量仅为x,y的函数。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答将式代入空间问题的平衡微分方程、相容方程、应力和位移边界条件，可以得出平面应变问题的全部方程和条件，
27、而其余的方程和条件均为自然满足。例如，将式代入空间问题的相容方程（书中式（8-10）、（8-11）得出而其余五式全部自然满足。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答因此，从空间问题的基本理论，可以导出平面应变问题的理论。（2）对于平面应力问题，在很薄的板，只受x,y方向的体力、面力和约束，且不沿板厚方向（z向）变化；又在板面上无任何面力的条件下，由板面的边界条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答假设在弹性体内因此，只有平面应力和，并进一步假设这就是平面应力问题。由上两式，还可得出第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答将式代入空间问题的相容方程（书中式），除了得出式外，还得出第八
28、章第八章 空间问题的解答空间问题的解答在一般的情况下，由式得出的显然不能满足相容方程。由此可见，平面应力问题的假设不能保证所有的相容条件都得到满足。因此，平面应力问题的理论是近似性的。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答但是Clebsch,A.证明，在条件下从空间问题理论得出满足所有相容方程的精确解答，是一般平面应力问题（假设的解答，再补充一个沿板厚抛物线变化的修正解（与成正比）。对于充分薄的板，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答因此，平面应力问题的解答，显然不能满足所有的相容条件，但对薄板却仍是一个很好的近似解。读者可参阅8-4的详细证明。修正解远小于第一部分平面应力问题的解，
29、且只影响边界附近的局部区域。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答8-2提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设若为多连体，还应满足位移单值条件。8-1提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设)。柱体的侧面，在（x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（n=0,l,m为任意的），并应用一般的应力边界条件。第八章第八章 习题的提示和答案习题的提示和答案第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（7-5）：法线的方向余弦为 l,m,n，边界面为任意斜面，受到法向压力q 作用。为了考虑多连体中的位移单值条件
30、，应由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。8-3见8-2的讨论。8-4从书中式（8-2）和（8-12）可以导出。由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答8-5 为了求o点以下h处的位移，取出书中式（8-6）的，并作如下代换 Zh，R2a2，FdFq2dp,然后从oa对积分。8-6引用布西内斯克解答，在z=0的表面上的沉陷是（1）求矩形中心点的沉陷，采用图8-9（a）的坐标系，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答代入并积分，再应用部分积分得到，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答a/2a/2b/2b/2odxdyxyyxbady
31、dx(a)(b)第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）求矩形角点处的沉陷，采用图8-9(b)的坐标系，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答8-8题中能满足两个圆弧处的边界条件。然后，相似于上题进行求式解。的两倍。8-7题中已满足边界条件再由便可求出切应力及扭角等。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答8-9分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答，和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答；并由，得出代入后进行比较即可得出。8-10参见8-8的讨论。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（一）本章的学习重点及要求1、本章介绍空间问题的位移法和应力法，其思路和步骤与平面问题相似。读者
32、可对照平面问题来学习和理解。2、空间问题的位移法比应力法尤为重要。一是因为位移法可以适用于各种边界条件的问题；二是位移法的未知函数数目比应力法少，而在空间问题中，又没有如第八章第八章 教学参考资料教学参考资料第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答平面问题那样，有普遍性的应力函数存在。在近似解法中，位移法得到广泛的应用。3、为了便于空间问题的求解，力学家和数学家提出了一些应力函数、位移势函数和位移函数等来表示应力或位移，使相应的微分方程得到简化，并从而得出了一些解答。但读者应注意，这些函数都是人为假定的和有局限性的，并不能作为空间问题的一般解，因为并不能保证这些函数在任何情况下都存在。第八章
33、第八章 空间问题的解答空间问题的解答4、扭转问题是空间问题中的一个专门问题。扭转问题的理论，是从空间问题的基本方程出发，考虑扭转问题的特性而建立起来的。扭转问题的应力函数（x,y）是x,y坐标变量的函数，所以仍然是二维问题。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（二）本章的内容提要1.在直角坐标系（x,y,z）中，按位移求解一般的空间问题时，取u,v,w为基本未知函数，它们应满足（1）用位移表示的平衡微分方程，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（2）用位移表示的应力边界条件，其中第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答2.在柱坐标系 中，按位移求解空间轴对称问题时，取 为基本未知
34、函数，它们仅为 的函数，应满足（1）用位移表示的平衡微分方程，（3）位移边界条件第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答3.在直角坐标系 中，按应力求解一般的空间问题时，取 为基本未知函数，它们应满足（1）区域v内的平衡微分方程，（2）用位移表示的应力边界条件。（3）位移边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（3）在边界上的应力边界条件（假设全部为应力边界条件），其中（2）区域V内的相容方程，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（4）若为多连体，还应满足位移单值条件。4.对于常截面杆的扭转问题，可归结为求解一个扭转应力函数 它应满（1）截面区域A内的泊松方程，式中K为单位
35、长度柱体的扭角。切应力公式是（2）边界条件，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答以下（三）（七）均参见“弹性力学简明教程学习指导”（三）空间问题的位移势函数和位移函数按位移求解空间问题，也可以引用位移势函数和位移函数，以简化求解的方法。读者同样应注意，这些人为假定的位移势函数或位移函数，不具有普遍性，只能用来解决某些问题。但作为解决问题的思路和方法，是值得我们参考和借鉴的。1.用位移势函数求解空间问题假设位移u,v,w 是有势的函数，它们可以第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答式(a)可以归并为将上式代入用位移表示的平衡微分方程（82），若不计体力，则得分别用位移势函数(x,y,z
36、)的导数来表示，即第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 求解的方法是：（1）由求出 势函数；（2）由 求位移（式（86）及应力（式（88）；将式（86）代入应力公式（81），则应力也可以用位移势函数表示为其中C为任意常数。若取C=0，则上式成为拉普拉斯方程，为调和函数，即第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（3）使位移和应力满足 和 上的边界条件。位移势函数的局限性是，是人为假定的，且体积应变 因此，它只适用于弹性体内各点均无体积应变的情形（如纯剪切问题）。2、用伽辽金位移函数求解空间问题 伽辽金假定位移可以表示为如下形式，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答其中,均为x,y
37、,z函数。由于(x,y,z)具有对等性，上式也用对等的公式表示。将位移表达式（89）代入用位移表示的平衡微分方程(82)，若不计体力，则得 第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答式（810）是,应满足的方程，可见它们都是重调和函数。应力也可以用位移函数来表示。于是，求解空间问题的位移u,v,w就化为求解,函数的问题，它们都应满足重调和方程（810），并在边界上满足相应的边界条件。引用这种位移函数，其未知函第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答数的数目并没有减少，但使它们应满足的方程简化了。力学家曾应用上述位移势函数和位移函数解出一些空间问题的解答，有时还采用二者组合的方式来解。第八章第
38、八章 空间问题的解答空间问题的解答代入用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程（书中式（a），若不计体力，得（四）空间轴对称问题的位移势函数和位移函数1、对于空间轴对称问题，当不计体力时，位移分量可以用位移势能数(,z)表示为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答相应于式（811）的应力分量为这两式可归结为2C，若取C0，则位移势函数应满足拉普拉斯方程第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答2.引用拉甫位移函数求解空间轴对称问题 拉甫引用位移函数（,z）来表示位移分量，于是，按位移势函数求解时，应满足拉普拉斯方程（812），并在边界上满足位移或应力的边界条件。采用位移势函数的局限性，如同
39、平面问题中的位移势函数一样，仍然是体积应变为零，即第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答代入用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程，两式都得出将式（814）代入几何和物理方程，便可得出应力用表示的表达式第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答 于是，对于空间轴对称问题，可以引用位移函数来进行求解。应满足重调和方程（815），并在边界上满足位移或应力边界条件。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答并令（五）空间问题的应力函数在按应力求解空间问题中，力学家也提出了几种应力函数以简化问题的求解。当然这些应力函数不具有普遍性，是人为假定的。例如，马
40、克斯韦提出下列应力函数，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答此组应力分量(c)能完全满足无体力的平衡微分方程（71），因此，只须满足相容方程及边界条件等就可以了。此外，力学家还提出了其他几种应力函数，读者可参见6,7。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答可应用辛卜生的数值积分公式计算。（六）扭转问题的差分法扭转问题的差分法，可以应用抛物线差分公式表示如下。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答切应力公式，第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（七）弹性力学的一般原理以下简要介绍弹性力学中具有普遍意义的原理，供读者参考。本处不作证明，读者可参考一般的弹性力学书籍。（1）叠加原
41、理：在线弹性和小变形情况下，作用在物体上几组荷载产生的应力和形变的总效应，等于每组荷载单独作用效应的总和。叠加原理是在线弹性（物理线性）和小变形（几何线性）条件下成立的。其中认为第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答加载后物体的形变和位移是微小的，对另一组外力作用时的影响可以不计。但梁、板和薄壁构件等在纵、横向荷载作用时的弯曲和稳定问题中，前一组荷载引起的变形对后一组荷载作用时，就会产生影响，这是值得注意的。（2）解的唯一性定理定理：假设弹性体内不受体力作用，在边界上不受面力作用，或约束位移为零，且弹性体未受初始应力的作用，则在平衡时，弹性体内的应力和形变均等于零。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答唯一性定理：假设弹性体受已知体力的作用，在边界上受已知面力或约束位移的作用，则在平衡时弹性体内应力和形变的解是唯一的。唯一性定理是基尔霍夫在1858年提出的。解的叠加原理和解的唯一性定理都是在线弹性和小变形条件下成立的，因为这时的微分方程和边界条件都是线性的方程。（3）圣维南原理（局部性原理）。第八章第八章 空间问题的解答空间问题的解答（4）互换定理（贝蒂，1872）：第一组力（包括外力及惯性力）在第二组位移上所做的功，等于第二组力（包括外力及惯性力）在第一组位移上所做的功。（5）最小势能原理。（6）最小余能原理（略）。