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1、1第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 3.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数一、一、高阶导数定理高阶导数定理二、二、柯西不等式柯西不等式三三、刘维尔定理刘维尔定理2第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 一、一、高阶导数定理高阶导数定理分析分析则由则由柯西积分公式柯西积分公式有有又又如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，3第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 一、一、高阶导数定理高阶导数定理定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，则则 的的各阶导数均在各阶导数均在 D
2、 上解析上解析，证明证明(略略)意义意义 解析函数的导数仍解析解析函数的导数仍解析。应用应用 推出一些理论结果。推出一些理论结果。反过来计算积分反过来计算积分且且 P71定理定理 3.9 (进入证明进入证明?)?)4第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 解解例例 计算计算解解P73 例例3.12 部分部分 5第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 (1)令令解解 例例 计算计算则则(复合闭路定理复合闭路定理)C2C1C2 i-i如图，作如图，作 C1,C2两个小圆，两个小圆，记为记为6第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 解解 例例 计算计算C2C2-i
3、C1 i(2)(高阶导数公式高阶导数公式)同样可求得同样可求得(3)7第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 二、二、柯西不等式柯西不等式定理定理 设函数设函数 在在 内解析，且内解析，且 则则(柯西不等式柯西不等式)证明证明函数函数 在在 上解析，上解析，令令 即得即得 P73定理定理 3.10 8第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 三三、刘维尔定理刘维尔定理定理定理 设函数设函数 在全平面上解析且有界，则在全平面上解析且有界，则 为一常数。为一常数。设设 为平面上任意一点，为平面上任意一点，证明证明函数函数 在在 上解析，且上解析，且根据根据柯西不等式柯西不等式
4、有有令令 即得即得由由 的任意性，知在全平面上有的任意性，知在全平面上有则则 为一常数。为一常数。P74 定理定理3.119第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 证证(1)任取正数任取正数则函数则函数 在在 内解析，内解析，由由高阶导数公式高阶导数公式有有(注意注意 在在 上的性态不知道上的性态不知道)10第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 证证(1)(2)由由有有11第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 证证(2)(1)(3)令令 得得12第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 证证(1)由于由于 在在 内解析，根据内解析，根据高阶导数
5、定理高阶导数定理可得可得在在 内，内，也解析；也解析；(2)由由 可得可得在在 内，内，在在 内解析；内解析；13第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 (3)根据根据柯西积分公式柯西积分公式有有证证(4)由由即得即得14第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 证证(反证法反证法)则函数则函数 在全平面上解析，在全平面上解析，设函数设函数其中，其中，n 为正整数，为正整数，例例(代数基本定理代数基本定理)证明方程证明方程 在全平面上在全平面上至少有一个根。至少有一个根。假设假设 在全平面上无根，即在全平面上无根，即又又故故 在全平面上有界，在全平面上有界，根据根据刘维尔
6、定理刘维尔定理有有(常数常数)，(常数常数)，与题设矛盾。与题设矛盾。15第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 休息一下16第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 附：附：高阶导数定理的证明高阶导数定理的证明定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，则则 的的各阶导数均在各阶导数均在 D 上解析上解析，且，且证明证明由函数由函数 在在 上连续，有上连续，有在在 上有界，即上有界，即设边界设边界 C 的长度为的长度为 L。(1)先证先证 的情形的情形，即证，即证17第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 附：附：高阶
7、导数定理的证明高阶导数定理的证明证明证明(1)先证先证 的情形的情形，即证，即证根据根据柯西积分公式柯西积分公式有有18第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 附：附：高阶导数定理的证明高阶导数定理的证明证明证明(1)先证先证 的情形的情形，即证，即证记为记为 下面需要证明下面需要证明：当当 时，时，19第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 附：附：高阶导数定理的证明高阶导数定理的证明证明证明(1)先证先证 的情形的情形，即证，即证dDCz0如图，设如图，设 d 为为 z0 到到 C 的最短距离，的最短距离，取取 适当小，使其满足适当小，使其满足则则即得即得即即20第三章 复变函数的积分 3.4 解析函数的高阶导数 由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数，由于前面已经证明了解析函数的导数仍是解析函数，附：附：高阶导数定理的证明高阶导数定理的证明证明证明(2)对于对于 的情形的情形因此将因此将 作为新的函数，用同样的方法求极限：作为新的函数，用同样的方法求极限：即可得即可得(3)依此类推，则可以证明依此类推，则可以证明(返回返回)