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1、第四章指数函数与对数函数4.1.2无理数指数幂及其运算性质 P394.2.1指数函数的概念 P704.2.2.1指数函数的图象和性质 P1044.2.2.2指数函数的图象和性质的应用 P1394.3.1对数的概念 P1684.3.2对数的运算 P2024.4.1对数函数的概念 P2324.4.2.1 对数函数的图象和性质 P2624.4.2.2对数函数的图象和性质的应用 P2994.4.3不同函数增长的差异 P3294.5.1函数的零点与方程的解 P3774.5.2用二分法求方程的近似解 P4174.5.3函数模型的应用P4574.1.1n次方根与分数指数幂导导思思1.1.在初中学在初中学过过
2、平方根、立方根、根号，那么平方根、立方根、根号，那么还还有没有有没有其他次方的方根？怎其他次方的方根？怎样样表示？表示？2.2.在初中学在初中学过过正整数指数正整数指数幂幂的含的含义义、运算性、运算性质质，当指，当指数不是正整数数不是正整数时时，有什么含，有什么含义义和运算性和运算性质质？4.1.1n次方根与分数指数幂1.n1.n次方根次方根如果如果x xn n=a=a，那么，那么x x叫做叫做a a的的n n次方根，其中次方根，其中n1n1，且，且nNnN*.可用下表表示：可用下表表示：2.2.根式根式(1)(1)式子式子 叫做根式，叫做根式，n n叫做根指数，叫做根指数，a a叫做被开方数
3、叫做被开方数.(2)(2)性质：当性质：当n1n1，nNnN*时，时，()()n n=_；=a a【思考思考】式子式子()()4 4与与 中的中的a a的范围一样吗？的范围一样吗？提示：提示：不一样，式子不一样，式子()4中中a0，中中aR.3.3.分数指数幂的意义分数指数幂的意义(a0(a0，m m，nNnN*，且，且n1)n1)【思考思考】分数指数幂中，为什么规定底数分数指数幂中，为什么规定底数a0a0？提示：提示：当当a=0时，时，a0及及a的负分数指数幂没有意义；的负分数指数幂没有意义；当当a0(a0，b0b0，r r，sQ)sQ)(1)a(1)ar ra as s=a=ar+sr+s
4、.(2)(a(2)(ar r)s s=a=arsrs.(3)(ab)(3)(ab)r r=a=ar rb br r.【思考思考】同底数幂相除同底数幂相除a ar raas s，同次的指数幂相除，同次的指数幂相除 分别等于什么？分别等于什么？提示：提示：(1)aras=ar-s；(2).【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)=-2.(1)=-2.()(2)(2)aRaR，(a(a2 2+1)+1)0 0=1.=1.()(3).(3).()提示：提示：(1)(1).=2.=2.(2).(2).aRaR，a a2 2+10+10，所以有，所
5、以有(a(a2 2+1)+1)0 0=1.=1.(3)(3).2.2.下列运算中正确的是下列运算中正确的是()A.aA.a2 2a a3 3=a=a6 6B.(-aB.(-a2 2)3 3=(-a=(-a3 3)2 2C.(-1)C.(-1)0 0=1=1D.(-aD.(-a2 2)5 5=-a=-a1010【解析解析】选选D.aD.a2 2a a3 3=a=a2+32+3=a=a5 5，(-a(-a2 2)3 3=-a=-a2323=-a=-a6 6，(-a(-a3 3)2 2=a=a6 6，当，当a=1a=1时，时，(-1)(-1)0 0无意义，无意义，(-a(-a2 2)5 5=-a=-
6、a1010.3.(3.(教材二次开发：习题改编教材二次开发：习题改编)=_.)=_.【解析解析】=|x-2|=|x-2|=答案：答案：类型一类型一n n次方根的概念及相关的应用次方根的概念及相关的应用(数学运算数学运算)【题组训练题组训练】1.1.的值为的值为()A.-6A.-6B.2 -2B.2 -2C.2 C.2 D.6D.62.2.把把(a-1)(a-1)根号外的根号外的(a-1)(a-1)移到根号内等于移到根号内等于()3.3.若若 ，则实数，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】1.1.选选A.A.-4,-4,所以原式所以原式=-6+4-4=-6.=-6+4-4=-
7、6.2.2.选选C.C.由由 0 0，得，得a1a1，则，则a-10a-10，所以所以(a-1)(a-1)3.3.因为因为 所以所以1-3a01-3a0，所以，所以a .a .答案：答案：【解题策略解题策略】根式化简与求值的思路及注意点根式化简与求值的思路及注意点(1)(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简行化简.(2)(2)注意点：注意点：正确区分正确区分()()n n与与 两式两式.运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差
8、和完全平方、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论公式的运用，必要时要进行讨论.【补偿训练补偿训练】若若nm0nm0，则，则 等于等于()A.2mA.2mB.2nB.2nC.-2mC.-2mD.-2nD.-2n【解析解析】选选C.C.原式原式=|m+n|-|m-n|=|m+n|-|m-n|，因为，因为nm0nm0，所以所以m+n0m+n0m-n0，所以原式，所以原式=-(m+n)-(m-n)=-2m.=-(m+n)-(m-n)=-2m.类型二根式的化简、分数指数幂求值类型二根式的化简、分数指数幂求值(数学运算数学运算)【典例典例】1.1.化简化简 的结果是的结果是()A.A.B.B.C.3 C.
9、3 D.5 D.52.(a0)2.(a0)的分数指数幂表示为的分数指数幂表示为()D.D.都不对都不对3.3.化简化简 (a0)(a0)的结果是的结果是()【思路导引思路导引】1.1.2.2.从里向外依次化为指数式从里向外依次化为指数式.3.3.化为指数式后利用指数运算性质计算化为指数式后利用指数运算性质计算.【解析解析】1.1.选选A.A.原式原式=2.2.选选A.A.3.3.选选B.B.【解题策略解题策略】根式与分数指数幂互化的方法及思路根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)(1)方法：根指数方法：根指数 分数指数的分母，分数指数的分母，被开方数被开方数(式式)的指数的指数 分数指数的分子
10、分数指数的分子.(2)(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题有理数指数幂的运算性质解题.提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出.【跟踪训练跟踪训练】1.1.求值求值 =_.=_.【解析解析】原式原式=答案：答案：2.2.用分数指数幂表示用分数指数幂表示a =_.a =_.【解析解析】原式原式=a =a 答案：答案：类型三分数指数幂运算性质的应用类型三分数指数幂运算性质的应用(数学运算数学运算)角度角度
11、1 1化简问题化简问题【典例典例】=_.(=_.(式中的字母均是正数式中的字母均是正数)【思路导引思路导引】将根式化为分数指数幂，然后进行运算将根式化为分数指数幂，然后进行运算.【变式探究变式探究】将本例中的式子变为将本例中的式子变为 ，试计算，试计算.【解析解析】原式原式=5(-4)=5(-4)角度角度2 2求值问题求值问题【典例典例】计算：计算：【思路导引思路导引】将各个因式求值后计算将各个因式求值后计算.【解析解析】原式原式=-1+2=2.=-1+2=2.【解题策略解题策略】关于指数式的化简、求值问题关于指数式的化简、求值问题(1)(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除
12、，最后加减无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减.(2)(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算形式时出错仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算形式时出错.【跟踪训练跟踪训练】计算下列各式：计算下列各式：(1)(1)(2)【解析解析】(1)(1)原式原式=(2)(2)=2=2(-3)(-3)(-6)=x(-6)=x2 2y.y.1.1.下列各等式中成立的是下列各等式中成立的是()A.(a0)A.(a0)B.(a0)B.(a0)C.(a0)C.(a0)D.(a0)D.(a0)【解析解析】选选B.B.由于由于a0a0，又因为，又因为 ，所以成立的是
13、所以成立的是 .2.2.若若x3x3，则，则 -|x-6|-|x-6|的值是的值是()A.-3A.-3B.3B.3C.-9C.-9D.9D.9【解析解析】选选A.A.若若x3x3，则，则x-30 x-30，x-60 x-60a0，将，将 表示成分数指数幂，其结果是表示成分数指数幂，其结果是()【解析解析】选选C.C.由题意由题意 4.(4.(教材二次开发：练习改编教材二次开发：练习改编)计算计算()()6 6bb2 2=_.=_.【解析解析】()()6 6bb2 2=a=a3 3bb-2-2bb2 2=a=a3 3.答案：答案：a a3 35.-(1-0.55.-(1-0.5-2-2)的值为的
14、值为_._.【解析解析】原式原式=1-(1-2=1-(1-22 2)=1-(-3)=1-(-3)=.=.答案：答案：导导思思1.1.指数式指数式a a中，中，能取无理数能取无理数吗吗？2.2.无理数指数无理数指数幂幂有什么运算性有什么运算性质质？4.1.2无理数指数幂及其运算性质1.1.无理数指数幂无理数指数幂无理数指数幂无理数指数幂a a(a0(a0，是是无理数无理数)是一个是一个_实数实数.确定的确定的【思考思考】为什么规定底数为什么规定底数a0a0？提示：提示：规定底数大于零是必要的，否则会出现规定底数大于零是必要的，否则会出现，就无法确定是，就无法确定是1还是还是-1.2.2.实数指数
15、幂的运算性质实数指数幂的运算性质(a0(a0，b0b0，r r，sR)sR)(1)a(1)ar ra as s=_.(2)(a=_.(2)(ar r)s s=_.(3)(ab)=_.(3)(ab)r r=_.=_.a ar+sr+sa arsrsa ar rb br r【思考思考】指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？提示：提示：【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)是一个确定的实数是一个确定的实数.()(2)(2)指数幂指数幂a a的指数的指数只能取无理数只能取无理数.()
16、(3)=8.(3)=8.()提示：提示：(1).(1).由无理数指数幂的定义知正确由无理数指数幂的定义知正确.(2)(2).可取任意实数可取任意实数.(3).=2(3).=23 3=8.=8.2.2.计算：计算：=_.=_.【解析解析】=5 =53 3=125.=125.答案：答案：1251253.(3.(教材二次开发：练习改编教材二次开发：练习改编)计算：计算：a a-2-2=_.=_.【解析解析】答案：答案：类型一无理数指数幂的运算类型一无理数指数幂的运算(数学运算数学运算)【题组训练题组训练】1.1.计算计算 a a-=_.=_.【解析解析】原式原式=a=a0 0=1.=1.答案：答案：
17、1 12.2.计算下列各式的值计算下列各式的值(1).(2)(a0).(1).(2)(a0).(3).(3).【解析解析】(1)(1)原式原式=2=29 93 32 2=4 608.=4 608.(2)(2)原式原式=a=a0 0=1.=1.(3)(3)原式原式=.【解题策略解题策略】关于无理数指数幂的运算关于无理数指数幂的运算(1)(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；(2)(2)若式子中含有根式，一般底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保若式子中含有根式，一般底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算留直
18、接运算.类型二实际问题中的指数运算类型二实际问题中的指数运算(数学建模数学建模)【典例典例】在纳皮尔所处的年代，哥白尼的在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说太阳中心说”刚刚开始流行，这导刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字天文数字”，因此浪费了若干年甚至，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间毕生的宝贵时间.例如计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮例如计算多位数之间的乘积，还是十分复杂
19、的运算，因此纳皮尔发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法尔发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：让我们来看看下面这个例子：5 56 67 78 8141415152727282829292 23232646412812825625616316384843273276868134211342177287728268432684353565356536875368709120912这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2 2的指数，第二行表示的指数，第二行表示2 2的对的对应幂应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可
20、以通过第一行对应数字的和如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现来实现.比如，计算比如，计算6425664256的值，就可以先查第一行的对应数字：的值，就可以先查第一行的对应数字：6464对应对应6 6，256256对应对应8 8，然后再把第一行中的对应数字加起来，然后再把第一行中的对应数字加起来6+8=146+8=14；第一行中的；第一行中的1414，对应，对应第二行中的第二行中的16 38416 384，所以有，所以有64256=16 384.64256=16 384.按照这样的方法计算按照这样的方法计算16 38432 768=16 38432 768=()A
21、.134 217 728A.134 217 728B.268 435 356B.268 435 356C.536 870 912C.536 870 912D.513 765 802D.513 765 802【思路导引思路导引】根据题中的运算方法结合指数运算的性质计算根据题中的运算方法结合指数运算的性质计算.【解析解析】选选C.C.由题知，因为由题知，因为16 38416 384对应对应1414，32 76832 768对应对应1515，而，而14+15=2914+15=29，第一，第一行中的行中的2929，对应第二行中的，对应第二行中的536 870 912536 870 912，所以有，所以
22、有16 38432 768=536 870 16 38432 768=536 870 912.912.【解题策略解题策略】指数运算在实际问题中的应用指数运算在实际问题中的应用在成倍数递增在成倍数递增(递减递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等增减的次数、增减前后的数量等.【跟踪训练跟踪训练】从盛满从盛满2 2升纯酒精的容器里倒出升纯酒精的容器里倒出1 1升，然后加满水，再倒出升，然后加满水，再倒出1 1升混合溶液后又用升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒水填满，以此继续下去，则至少应倒_次后
23、才能使纯酒精体积与总溶液次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于的体积之比低于10%.10%.【解析解析】由题意，第由题意，第n n次操作后溶液的浓度为次操作后溶液的浓度为 ；令令 ，验证可得，验证可得n4.n4.所以至少应倒所以至少应倒4 4次后才能使酒精的浓度低于次后才能使酒精的浓度低于10%.10%.答案：答案：4 4【补偿训练补偿训练】某林场计划第一年造林某林场计划第一年造林10 00010 000亩，以后每年比前一年多造林亩，以后每年比前一年多造林20%20%，则第四年造林，则第四年造林()A.14 400A.14 400亩亩B.172 800B.172 800亩亩C.20 736
24、C.20 736亩亩D.17 280D.17 280亩亩【解析解析】选选D.D.设年份为设年份为x x，造林亩数为，造林亩数为y y，则，则y=10 000(1+20%)y=10 000(1+20%)x-1x-1，所以所以x=4x=4时，时，y=17 280(y=17 280(亩亩).).类型三实数指数幂运算的综合应用类型三实数指数幂运算的综合应用(逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算)角度角度1 1求值问题求值问题【典例典例】已知已知x x+x+x-=2 =2 ，x1x1，01x1，00，得，得x xx0a0，且，且a1a1；a ax x的系数为的系数为1 1；自变量自变量x x的系数为的系
25、数为1.1.y=ay=ax x(a0(a0，且，且a1)a1)【思考思考】当指数函数的底数当指数函数的底数a=0a=0，a=1a=1，a0a0时，时，ax恒等于恒等于0，没有研究的必要；，没有研究的必要；当当x0时，时，ax无意义无意义.(2)如果如果a0，且，且a1.2.2.指数增长模型指数增长模型(1)(1)定义：设定义：设原有量为原有量为N N，每次的增长率为，每次的增长率为p p，经过，经过x x次增长，该量增长到次增长，该量增长到y y，则则y=_y=_(2)(2)应用：刻画指数增长或衰减变化规律应用：刻画指数增长或衰减变化规律.N(1+p)N(1+p)x x(xN).(xN).【基
26、础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)y=x(1)y=x4 4是指数函数是指数函数.()(2)y=a(2)y=ax x一定是指数函数一定是指数函数.()(3)y=10 000 (3)y=10 000 是刻画指数增长变化规律的函数模型是刻画指数增长变化规律的函数模型.()提示：提示：(1)(1).y=x.y=x4 4不是指数函数，指数函数的底数是常数不是指数函数，指数函数的底数是常数.(2)(2).指数函数的底数指数函数的底数a0a0，且，且a1.a1.(3)(3).y=10 000.y=10 000 是刻画指数衰减变化规律的函数模型是刻画
27、指数衰减变化规律的函数模型.2.2.下列各项对正整数指数函数的理解正确的有下列各项对正整数指数函数的理解正确的有()底数底数a0a0；指数指数xNxN+；底数不为底数不为0 0；y=ay=ax x(a0(a0，a1a1，xNxN+).).A.0A.0个个B.1B.1个个C.2C.2个个D.3D.3个个【解析解析】选选B.B.对正整数指数函数的理解正确的是，对正整数指数函数的理解正确的是，y=ay=ax x，其中底数，其中底数a0a0且且a1a1，指数指数xNxN+；所以；所以正确，正确，错误错误.3.(3.(教材二次开发：例题改编教材二次开发：例题改编)若函数若函数f(x)f(x)是指数函数，
28、且是指数函数，且f(3)=5f(3)=5，则，则f(-6)=_.f(-6)=_.【解析解析】由题意，设由题意，设f(x)=af(x)=ax x(a0(a0且且a1)a1)，则由则由f(3)=af(3)=a3 3=5=5，得，得a=a=，所以所以f(-6)=5f(-6)=5-2-2=.=.答案：答案：类型一指数函数的概念及应用类型一指数函数的概念及应用(数学抽象数学抽象)【题组训练题组训练】1.1.下列是指数函数的是下列是指数函数的是()A.y=(-4)A.y=(-4)x xB.y=B.y=C.y=32C.y=32x xD.y=eD.y=ex x【解析解析】选选D.D.根据指数函数的解析式，根据
29、指数函数的解析式，A A，B B，C C不满足不满足.2.2.若函数若函数y=(ay=(a2 2-4a+4)a-4a+4)ax x是指数函数，则是指数函数，则a a的值是的值是()A.4A.4B.1B.1或或3 3C.3C.3D.1D.1【解析解析】选选C.C.由题意得由题意得 解得解得a=3.a=3.【解题策略解题策略】判断一个函数是指数函数的方法判断一个函数是指数函数的方法(1)(1)把握指数函数解析式的特征：把握指数函数解析式的特征：底数底数a0a0且且a1a1；a ax x的系数为的系数为1 1；自变量自变量x x的系数为的系数为1.1.(2)(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如有
30、些函数需要对解析式变形后判断，如y=y=是指数函数是指数函数.类型二指数函数的解析式及其应用类型二指数函数的解析式及其应用(数学抽象、数学运算数学抽象、数学运算)【典例典例】1.1.若点若点(a(a，27)27)在指数函数在指数函数y=()y=()x x的图象上，则的图象上，则 的值为的值为()A.A.B.1B.1C.2 C.2 D.0D.02.2.已知函数已知函数f(x)f(x)为指数函数，且为指数函数，且 ，则，则f(-2)=_.f(-2)=_.【思路导引思路导引】1.1.将点代入函数的解析式，求出将点代入函数的解析式，求出a a；2.2.利用已知条件求出指数函数的解析式，再求值利用已知条
31、件求出指数函数的解析式，再求值.【解析解析】1.1.选选A.A.点点(a(a，27)27)在函数的图象上，在函数的图象上，所以所以27=()27=()a a，即，即3 33 3=，所以，所以 =3=3，解得解得a=6a=6，所以，所以 .2.2.设设f(x)=af(x)=ax x(a0(a0且且a1)a1)，由由 得，得，所以，所以a=3a=3，又又f(-2)=af(-2)=a-2-2，所以所以f(-2)=3f(-2)=3-2-2=.=.答案：答案：【解题策略解题策略】求指数函数解析式的步骤求指数函数解析式的步骤(1)(1)设指数函数的解析式为设指数函数的解析式为f(x)=af(x)=ax x
32、(a0(a0且且a1).a1).(2)(2)利用已知条件求底数利用已知条件求底数a.a.(3)(3)写出指数函数的解析式写出指数函数的解析式.【跟踪训练跟踪训练】若指数函数若指数函数y=f(x)y=f(x)的图象过点的图象过点(-2(-2，4)4)，则，则f(3)=_.f(3)=_.【解析解析】设函数设函数f(x)=ax(a0且且a1)，把点把点(-2，4)代入可得代入可得a-2=4a=；所以所以f(x)=，所以，所以f(3)=.答案：答案：【补偿训练补偿训练】指数函数指数函数f(x)=af(x)=ax x的图象经过点的图象经过点(2(2，4)4)，则，则f(-3)f(-3)的值是的值是_._
33、.【解析解析】由题意知由题意知4=a4=a2 2，所以，所以a=2a=2，因此因此f(x)=2f(x)=2x x，故，故f(-3)=2f(-3)=2-3-3=.=.答案：答案：类型三函数模型类型三函数模型y=kay=kax x的实际应用的实际应用(数学建模数学建模)角度角度1 1指数增长变化模型指数增长变化模型【典例典例】某种细菌经某种细菌经6060分钟培养，可繁殖为原来的分钟培养，可繁殖为原来的2 2倍，且知该细菌的繁殖规倍，且知该细菌的繁殖规律为律为y=10ey=10ektkt，其中，其中k k为常数，为常数，t t表示时间表示时间(单位：小时单位：小时)，y y表示细菌个数，表示细菌个数
34、，1010个个细菌经过细菌经过7 7小时培养，细菌能达到的个数为小时培养，细菌能达到的个数为()A.640A.640B.1 280B.1 280C.2 560C.2 560D.5 120D.5 120【思路导引思路导引】先由条件确定先由条件确定k k值，再代入求细菌的个数值，再代入求细菌的个数.【解析解析】选选B.B.设原来的细菌数为设原来的细菌数为a a，由题意可得，当，由题意可得，当t=1t=1时，时，y=2ay=2a，所以所以2a=10e2a=10ek k，即，即e ek k=.=.当当a=10a=10时，时，e ek k=2=2，所以，所以y=10ey=10ektkt=102=102t
35、 t，若若t=7t=7，则可得此时的细菌数为，则可得此时的细菌数为y=10y=102 27 7=1 280.=1 280.【变式探究变式探究】将本例的条件变为将本例的条件变为“细菌经细菌经6060分钟培养，可繁殖为原来的分钟培养，可繁殖为原来的3 3倍倍”，其他的条件，其他的条件不变，试求经过不变，试求经过7 7小时培养，细菌能达到的个数小时培养，细菌能达到的个数.角度角度2 2指数衰减变化模型指数衰减变化模型【典例典例】有容积相等的桶有容积相等的桶A A和桶和桶B B，开始时桶，开始时桶A A中有中有a a升水，桶升水，桶B B中无水中无水.现把桶现把桶A A的水注入桶的水注入桶B B，t
36、t分钟后，桶分钟后，桶A A的水剩余的水剩余y y1 1=am=amt t(升升)，其中，其中m m为正常数为正常数.假设假设5 5分分钟时，桶钟时，桶A A和桶和桶B B的水相等，要使桶的水相等，要使桶A A的水只有的水只有 升，必须再经过升，必须再经过()A.12A.12分钟分钟B.15B.15分钟分钟C.20C.20分钟分钟D.25D.25分钟分钟【解题策略解题策略】关于函数关于函数y=kay=kax x在实际问题中的应用在实际问题中的应用(1)(1)函数函数y=kay=kax x是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型，是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函
37、数模型，一般当一般当k0k0时，若时，若a1a1，则刻画指数增长变化规律，若，则刻画指数增长变化规律，若0a10a0D.a0且且a1a1【解析解析】选选C.C.若函数若函数y=(a-2)ay=(a-2)ax x是指数函数，则是指数函数，则a-2=1a-2=1，解得：，解得：a=3.a=3.2.2.某种细菌每半小时分裂一次某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个一个分裂为两个)，经过，经过3 3小时，这种细菌由小时，这种细菌由1 1个可繁殖为个可繁殖为()A.8A.8个个B.16B.16个个C.32C.32个个D.64D.64个个【解析解析】选选D.D.该种细菌分裂的个数满足指数函数该种细菌分裂
38、的个数满足指数函数y=2y=2x x，xNxN*.经过经过3 3小时，小时，细菌分裂细菌分裂6 6次，次，x=6.x=6.细菌分裂的个数为细菌分裂的个数为y=2y=26 6=64.=64.3.3.若指数函数若指数函数f(x)f(x)的图象经过点的图象经过点(2(2，16)16)，则，则f =_.f =_.【解析解析】设设f(x)=af(x)=ax x(a0(a0，且，且a1)a1)，依题意有，依题意有a a2 2=16=16，得，得a=4a=4，故，故f(x)=4f(x)=4x x，所以所以f =f =答案：答案：4.4.一种放射性元素，最初的质量为一种放射性元素，最初的质量为500 g500
39、 g，按每年，按每年5%5%的速度衰减，则的速度衰减，则t t年后，年后，这种放射性元素质量这种放射性元素质量的表达式为的表达式为_._.【解析解析】最初的质量为最初的质量为500 g500 g，经过，经过1 1年，年，=500(1-5%)=500=500(1-5%)=5000.950.951 1，经过，经过2 2年，年，=500=5000.950.952 2，由此推出，由此推出，t t年后，年后，=500=5000.950.95t t.答案：答案：=500=5000.950.95t t(t0(t0，+)5.(5.(教材二次开发：练习改编教材二次开发：练习改编)已知函数已知函数y=f(x)y=
40、f(x)，xRxR，且且f(0)=2f(0)=2，=3=3，nNnN+，则函数则函数f(x)f(x)的一个解析式为的一个解析式为_._.导导思思1.1.怎怎样样作出指数函数的作出指数函数的图图象？不同底数的象？不同底数的指数函数有何特征？指数函数有何特征？2.2.指数函数有哪些性指数函数有哪些性质质？4.2.2第1课时指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质(1)(1)图象和性质图象和性质0a10a1a1图图象象 定定义义域域R R值值域域_性性质质过过定点定点_在在R R上是减函数上是减函数在在R R上是增函数上是增函数(0(0，+)+)(0(0，1)1)(2)(2)本质
41、：作出不同底数的指数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的本质：作出不同底数的指数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即指数函数的性质位置、公共点和变化趋势，它们的共性即指数函数的性质.(3)(3)应用：应用：比较大小；比较大小；求定义域、值域；求定义域、值域；解不等式；解不等式；求参数的范围求参数的范围.【思考思考】(1)(1)根据指数函数图象，？号处根据指数函数图象，？号处y y的范围是什么？的范围是什么？底数底数x x的范的范围围y y的范的范围围a1a1x0 x0？x0 x0？0a10a0 x0？x0 x0？(2)(2)当两个指数函数的底数互
42、为倒数时，它们的图象有什么关系？当两个指数函数的底数互为倒数时，它们的图象有什么关系？提示：提示：关于关于y y轴对称轴对称.【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)指数函数的图象都在指数函数的图象都在y y轴的上方轴的上方.()(2)(2)若指数函数若指数函数y=my=mx x是减函数，则是减函数，则0m1.0m1.()(3)(3)函数函数y=3y=3x x的图象在函数的图象在函数y=2y=2x x图象的上方图象的上方.()提示：提示：(1)(1).指数函数的图象都在指数函数的图象都在x x轴的上方轴的上方.(2).(2).由指
43、数函数的单调性可知正确由指数函数的单调性可知正确.(3)(3).由由y=3y=3x x，y=2y=2x x的图象可知，当的图象可知，当x0 x0时，函数时，函数y=3y=3x x的图象在函数的图象在函数y=2y=2x x图象的图象的下方下方.2.2.函数函数y=4y=4-x-x的图象是的图象是()【解析解析】选选B.B.因为因为y=4y=4-x-x=，故图象为，故图象为B.B.3.(3.(教材二次开发：习题改编教材二次开发：习题改编)若若0.20.2m-1m-10.0080.008，则实数，则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】因为因为0.20.2m-1m-10.0080.0
44、08，所以，所以0.20.2m-1m-1(0.2)3m-13，m4.m4.答案：答案：(4(4，+)+)类型一与指数函数相关的定义域问题类型一与指数函数相关的定义域问题(数学抽象数学抽象)【题组训练题组训练】求下列函数的定义域求下列函数的定义域(1)y=.(2)y=(1)y=.(2)y=(3)y=.(3)y=.【解析解析】(1)(1)函数有意义当且仅当函数有意义当且仅当x x2 2-x-60-x-60，解得，解得x-2x-2且且x3x3，所以函数的，所以函数的定义域为定义域为x|xRx|xR，x-2x-2且且x3.x3.(2)(2)函数有意义当且仅当函数有意义当且仅当x x2 2+2x-80+
45、2x-80，解得，解得x-4x-4或或x2x2，所以函数的定义域为，所以函数的定义域为x|x-4x|x-4或或x2.x2.(3)(3)函数有意义当且仅当函数有意义当且仅当2 2x-1x-1-80-80，即，即2 2x-1x-188，解得，解得x4x4，所以函数的定义域，所以函数的定义域为为44，+).).【解题策略解题策略】与指数函数相关的定义域问题与指数函数相关的定义域问题(1)(1)函数函数y=ay=af(x)f(x)的定义域与函数的定义域与函数f(x)f(x)的定义域相同的定义域相同.(2)(2)涉及解指数不等关系求定义域时，先化同底，再利用图象、单调性求范围涉及解指数不等关系求定义域时
46、，先化同底，再利用图象、单调性求范围.【补偿训练补偿训练】求函数求函数y=y=的定义域的定义域.【解析解析】由题意得由题意得-2x+10-2x+10，解得，解得x x ，所以函数的定义域为所以函数的定义域为 .类型二指数函数图象的应用类型二指数函数图象的应用(数学抽象、直观想象数学抽象、直观想象)【典例典例】1.(20201.(2020宜宾高一检测宜宾高一检测)若函数若函数f(x)=2af(x)=2ax+mx+m-n(a0-n(a0，且，且a1)a1)的图象恒的图象恒过点过点(-1(-1，4)4)，则，则m+n=(m+n=()A.3A.3B.1B.1C.-1C.-1D.-2D.-22.2.要使
47、要使g(x)=3g(x)=3x+1x+1+t+t的图象不经过第二象限，则的图象不经过第二象限，则t t的取值范围为的取值范围为()A.t-1A.t-1B.t-1B.t-1C.t-3C.t-3D.t-3D.t-3【思路导引思路导引】1.1.利用指数函数利用指数函数y=ay=ax x过点过点(0(0，1)1)构造关系式求值构造关系式求值.2.2.先根据题意画出函数的图象，再确定平移单位的大小，即所求的范围先根据题意画出函数的图象，再确定平移单位的大小，即所求的范围.【解析解析】1.1.选选C.C.因为函数的图象恒过点因为函数的图象恒过点(-1(-1，4)4)，所以所以m-1=0m-1=0，且，且2
48、a2am-1m-1-n=4-n=4，解得解得m=1m=1，n=-2n=-2，所以，所以m+n=-1.m+n=-1.2.2.选选C.C.指数函数指数函数y=3y=3x x过定点过定点(0(0，1)1)，函数函数g(x)=3g(x)=3x+1x+1+t+t过定点过定点(0(0，3+t)3+t)且为增函数，且为增函数，要使要使g(x)=3g(x)=3x+1x+1+t+t的图象不经过第二象限，的图象不经过第二象限，只需函数只需函数g(x)=3g(x)=3x+1x+1+t+t与与y y轴的交点的纵坐标小于等于轴的交点的纵坐标小于等于0 0即可，如图所示，即可，如图所示，即图象不过第二象限，则即图象不过第
49、二象限，则3+t03+t0，所以，所以t-3t-3，则则t t的取值范围为的取值范围为t-3.t-3.【解题策略解题策略】与指数函数相关的图象问题与指数函数相关的图象问题(1)(1)定点问题：令函数解析式中的指数为定点问题：令函数解析式中的指数为0 0，即可求出横坐标，再求纵坐标即可，即可求出横坐标，再求纵坐标即可.(2)(2)平移问题：对于横坐标平移问题：对于横坐标x x满足满足“加左减右加左减右”.(3)(3)底数大小：对于底数大小：对于y=y=，y=y=，y=y=，y=y=，如图，如图，0a0a4 4aa3 31a1a2 2a1)y=(a1)的图象的大致形状是的图象的大致形状是()【拓展
50、延伸拓展延伸】函数函数y=ay=a|x|x|(a0(a0，且，且a0)a0)的图象与性质的图象与性质a1a10a10a0(a0，且，且a1)a1)在在 上单调递减，则实数上单调递减，则实数a a的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】因为函数在因为函数在 上单调递减，上单调递减，所以所以 所以所以0a .0acA.bacB.cabB.cabC.cbaC.cbaD.abcD.abc【思路导引思路导引】根据指数函数的单调性、中间值根据指数函数的单调性、中间值1 1进行比较进行比较.【解析解析】选选B.B.因为指数函数因为指数函数y=0.8y=0.8x x在在R R上是减函数，所以上是减函数，所