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1、特殊化的数学解题功能 从特别到一般是人类相识客观事物的一种规律对于一个一般性的问题，先探讨它的某些特别情形，从而获得解决问题的途径，使问题得以“突破”，这种解决问题的策略称为特别化策略，共性孕育在特性之中人们总是首先相识了很多不同事物的特别本质，然后才有可能更进一步地进行概括工作，相识各种事物的共同本质特别化策略，正是特别与一般的辩证关系在解题中的敏捷运用，它生动地体现了相识过程中以退为进的思想方法 “在探讨数学问题时，我信任特别化比一般化起着更为重要的作用”（希尔伯特语）对个别特别状况 的探讨，常能凸现问题的关键，揭示问题的本质 将一般问题特别化，通常并不难，只须将被探讨的对象添加某些限制或
2、适当加强某些条件即可特别化策略在数学解题中发挥着重要的作用 1发觉数学规律 由于冲突的普遍性存在于冲突的特别性之中，因此，我们可以利用特别化策略去猜想、发觉真理，归纳出一般性的结论它为我们解决一般性问题奠定了基础，指明白方向 纵观数学的发展史，很多数学问题的发觉都来源于特别化策略，闻名的哥德巴赫猜想，就是在对特别事例的视察、分析基础上猜想发觉的；费马大定理，也是从特别入手提出，然后设法证明的；还有四色定理可以说没有特别化的归纳猜想，就没有数学的发觉，也就没有科学发展的今日 例1求s=13+23+33+n3的值 分析：看到这道题时，一时无从下手可让n取一些特别值，从试验、视察入手 当n分别取1，
3、2，3，4，5时，可得： 13=1=12， 13+23=9=32， 13+23+33=36=62， 13+23+33+43=101=102， 13+23+33+43+53=225=152， 在试验的基础上进行视察，并找到右边平方数的底数与左边立方和的底数之间的关系 因为 1=1， 3=1+2， 6=1+2+3， 10=1+2+3+4， 15=1+2+3+4+5， 所以 an=1+2+n=1/2n(n+1) (nN+)从而不难发觉：13+23+33+n3=1/4n2(n+1)2 在上述试验过程中，由n的一些特别值，通过试验、视察，发觉内在规律，从而发觉原题的结果，这一结果可用数学归纳法进行严格的
4、证明，使发觉的结果得到最终确认 数学问题经过特别化处理后，经常能帮助我们获得该问题某一侧面的信息，这样经过几次特别化后，就能得到较多的信息，从而有助于找到解决问题的方法 2干脆探求结论 有些与定值、定点、定直线有关的问题，可以用特别化策略将问题引向极端，舍弃题中不确定的因素，干脆探求这个定值、定点、定直线，从而使解题有明确的方向 对于定值问题运用特别化策略可以先求出定值，然后再用此定值检验结果是否正确 本题特别情形的验证也是证明的一部分，因为非特别情形的证明方法不适用于k=0或k不存在的特别情形 3启示解题思路 问题的特别化往往表现为问题的简洁化人们对这些简洁情形的考察有助于启示解决原问题的思
5、路 对于元素较多，呈现的状况比较困难的问题，我们可以先从元素较少的简洁状况进行探讨，然后以此为起点去解答较多元素的原题，它常能起到“退一步，进两步”的作用 特别状况通常比一般状况要直观、简洁、原始，易找到解决的方法和途径，而一般问题的解法思路往往与特别情形的解法思路特别相像，甚或完全一样所以特别情形的解决会给一般性解决指引方向、供应思路，换句话说，不太困难的、特别的协助问题经常作为解决更困难的具有一般性原问题的铺路石 所以 tan1sin1+sin2+sinn/cos1+cos2+cosntann 通过对特别状况的探讨，可使问题变得更加明朗但是，在通常状况下，对特别状况的探讨不能代替一般状况的
6、探讨，要得到一般性结论，还须就一般状况加以证明 4检验数学命题 数学中并非每个命题都为真有的命题，虽从多方面进行了严密的推理，但仍不能得到结论因此，很自然地，人们对这个命题的真伪产生怀疑，从而设法否定这个命题怎样推翻一个命题呢？只要举出一个符合命题的条件而不符合该命题的结论的特例反例，就可以了 在数学史上，有不少闻名命题被否定，都是反例的功劳 反例是非常简明的否定，也是极有劝服力的确定反例的作用不仅用以否定命题，而且也是发觉数学真理的一种重要手段它在数学学习与探讨中起着不行估量的作用美国当代数学家盖尔鲍姆说得好：“数学由两大类证明和反例组成，而数学发觉也是朝着两个主要目标提出证明和构造反例”举
7、反例有利于培育学生的发散思维实力，克服思维的片面性，做到深化探究、有所发觉，养成严谨、踏实、一丝不苟的学风 对于某些结论否定型问题，从正面证明它不成立一般不简单，而举一个反例往往能快速地解决问题 例4每个三角形有三边、三角共6个元素，若两个三角形各有5个元素分别相等，这两个三角形是否全等？为什么？ 分析：从题目所给的条件看，可以模糊地猜想这两个三角形全等因此若能特别化地找到一个反例，就可能推翻全等的结论，否则就要着手证明全等 事实上，可构造如下反例： 设ABC的三边为a=8,b=12,c=18,而ABC的三边为a=12, b=18, c=27明显有a/a=b/b=c/c=2/3，即 ABCAB
8、C，所以 A=A,B=B,C=C又b=a,c=b，即这两个三角形各有5个元素分别相等，但明显这两个三角形不全等所以题中所指的两个三角形不肯定全等这说明“分别相等”与“对应相等”是不同的 推断一个一般性命题是否成立，有时可考虑采纳特别化策略，即选择符合命题条件的特别状况（特别值、特别图形、特别关系等），去验证命题是否成立尤其解答某些单项选择题、填空题，用特别化策略往往简洁易行 5等价化归问题 在解决有关数学问题时，适当地将留意力倾注在对象的某个特别方面上，往往是有益的例如，问题的对称性，有助于问题的美丽解决对称性往往可引出“不失一般性”之类的语言，在解决问题时实现一般向特别的等价化归 例5设a、
9、b、c为三角形的三边求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)3abc 分析：简单看出，欲证的不等式是关于a、b、c对称的由于三角形三边作为实数肯定可依次按大小依次排列起来，因此，不失一般性，我们可假设abc在此基础上，只须计算出a2(b+c-a)-abc+b2(c+a-b)-abc+c2(a+b-c)-abc0即可 事实上，a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)=a(a-b)(c-a)0, b2(c+a-b)-abc+c2(a+b-c)-abc= b(b-c)(a-b)+c(c-a)(b-c)= (b-c)a(b-c)-(b2-c2)= (b-c)2a-(b+c)0 从而原不等式获证 添加条件abc后，使关于随意三角形的问题转化为有限制条件的三角形问题，即一般向特别的等价转化 参考文献 1阴东升、卞瑞玲、徐本顺数学中的特别化与一般化南京：江苏教化出版社，11015 2何华兴主编数学思想方法上海：一百零一家出版社，2002 注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文 第7页 共7页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页第 7 页 共 7 页