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1、第一章极限、连续与间断本章主要知识点 求极限的几类主要题型及方法 连续性分析 间断判别与分类 连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。(1)题型I lim 段8月()方法：上下同除以x的最高次塞例 1.3.f Jx+l+Jx 1解：原式=lim9I +在二1Jx+l+J x-l小+、3=lim1例 1.4.lim(V4x2-x4-1 -2x)X-KC-x +1解：原式=lim._i j 4d x+i+2x=lim-1+1 1ri f 44 +2x x例 3由X-K O 4 _ 3r _ 2X1+（:）、+（卜解：原式=
2、lim-f=17Y）、(2)题 型 I I lim 旦-1 P“(x)P,.（a）P“（。）原式=v 8,上 下 分 解 因 式（或 洛 比 达），P.(a)N OP,(a)=O，P,(a)N O，“(a)=P,(a)=。解：令(H-p.W3 1 (w1)(W +M +1)原式二 h m=h m-=“f w2 1 “f (w-l)(w+1)32例 1.1 0.limX-16 zx2+2x+bx 3x+2=2解：a+2+b=0,原式二 limax1+2 x-(Q+2)(x l)(x 2)(xl)(ax+a+2)lim-(x-l)(x-2)=2a 2 =2a=2,b=-4(3)题 型 in若 li
3、m/(x)=0,g(x)有界=lim/(x)g(x)=0例 1.1 1.lim 7-arcco t(s in(x2+1)x+3解：因为 lim =0,而arcco K s in O +l）有界，所以 原式=0。+30 2例 1.1 2.lim ln(l 4-tan x)co s2()J。x解：因为 ln(l+tanx)0 (x 0 ),o (一)有界，所以 原式=0.x例 1.1 3.lim J A s ii?0 0 61+00 x+1(s in(2 0 0 6 x)解 因 为Xsin2006(sin(2006x)有界；原式=0。(4)题型 IV lim(l+w)M=eM-0识别此类题型尤为重
4、要，主要特征为r0未定式.步骤如下:+=lim(!+“户=皿 皿例 1.14.lim(七二产+21 8 X+1解：原式=lim (1+三产+2)=iimXT9 X+l XT8.5X+12X+I例 1.15.lim(-严KT6 x-2x+3解:原式=lim2 c(2x+l)x-2x+3 X2-2X+3+3元-2 1-3A2-2x+3 J.(3.V2)(2 x+l)hm-=e x-2x+3例 1.16.lim(l+x2 sin x)vX TO解:原式二 lim4(l+，sinx)/sinxA-0=1(5)题型V等价无穷小替换替 换 公 式：(x-0)l cosxy/1+x 1 -x 1 n K+x
5、)x e*1 九n替换原则：乘除可换，加减忌换。arcsin x xarctan x-x.s i n x-x例 1.1 7.h m-1。X3X-x错解：l i md 二 0XT。X3口 ln(l-2 x)s in(5 x)例 1.1 8.h m 3XTO X_-1/力 H-U 1-2x-5x解：原式=h m-=-2 0D 厂2例 1.1 9.lim1 0V l-2 x2-12arctan v (-2,)解：原式=lim-I。X.J 2x 4例 1.2 0.lim /-7 必尤+93解：令工一8 =，则x=8 +_ 1 1 _ 1 1原式l i m J 2 二4=而 4 8 _=m 1 2 _8
6、 _ T。V 2 7 +M -3 7 3 I u-。3 1 出5 3方27T.tan x-s in x例 1.2 1.h m-I。tan x1 2X X&2百T r tan x(l-co s x)2 1解：原式二 h m-=lim =D X I)%3 2例 1.2 2.lim(co s x)2 T解:原式=lim(1 +COSX-1)8SXT%-0例 1.2 3.arcs in-lim-x-x 2 x+larctan-；-3 x2+4(cos A-I)-!z-ln(l-2A-)X田一1 +x2 x(3%2+4)3解：原式二h m 了 入，=lim -J-=-e 2 x+l -(2%+1)(1
7、+/)23?+4lanx _ sinx例 1.2 4.lim-/-co s(x)s in(J l+*3 -1)g .es in A(etan v-s in?r-l).ea n xnx-tan x-s in x,解：原式:lim-/=lim ,=lim-二 1一co s(x)s in(J l+x3 -1)-*0 V l+x3-1 2(6)题型VI洛必达法则(见导数相关内容)；(7)题型V H 变上限积分有关积分(见积分相关内容);二、极限应用一连续性分析定义：lim/(x)=/(Xo)X T与变形：/(Xo 0)=/.($+0)=/(/)，其中f(x0 0)分别表示左、右极限。例 1.2 6./
8、(x)=加x s in 2xb,1-x-c(-)3I 1 +xx 0口解：/,(小O-O八)、=一m/a x2 s in 1+l n(-l-2-x-)x)=a .l im x2-s.i n 1 +-l iml-n(-l-2-x-)-=-11I。-x s in 2x I。-x “TO-s in 2xy(0 +0)=lim c()x1 +xx-0/(x)=c e4由/(0 0)=/(0+0)=/(0)得：l h c e-4故力=l,c=为任意实数三、极限应用一间断识别及分类1 .识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点。2 .分类方法：(a)，(%+0)=/(%0),不 为可去间断
9、；(b)/(xo+O)/(xo-O),玉)为第一类间断，或称跳跃型间断;(c)/(/+0)、/(%0)至少有一个不存在，/为第二类间断;特别地，若左右极限中至少有一为8,则为第二类无穷间断。,“、X(.X -71)例 1.2 9.f(x)=-tan xJI解：间断点为工=左)，&+，k e Z、2T T JT对于x =k r +,左GZ,因 为l i m f(x)=0,所以元=k r +为可去间断。2,v-+22对于尤=%4，当=(),即x =0,l i m丛 =7t,尤=0可去间断;X T t a n x对于x =Z 4，当=1,即X =4，lim。=)，尤=)可去间断;。t a n x当4
10、 7 0，l i m 兀)=8,x =%r为第n类无穷间断。IE t a n x、s i n x 例 1.3 0./(%)=-ex-xx解：间断点x =l,01/(1-0)=s i n(l)l i m Q =1=0,A-I-01/(I +0)=s i n(l)l i m 历=e+00=8。X TI+0/(x)在x =l为H类无穷间断。l i m /(x)=e-1,x=0为可去间断点。例 1.3 1./(x)=J 2-x l n(l x)(x-3)(x +l)(x +2)解：定 义 域 为x lo间 断 点 为x =-l,x =-2o因为 l i m /(x)=00,l i m f(x)=o o
11、X T-1 X T-2所 以-1,-2均为/(x)的 I I 类无穷间断。例 1.3 2./(%)=2 一%加2+x解：定义域为一2 x-2-01 _ 1对于x =2,l i m /(x)=l i m y 2-x e2x=oo,工=2 为第0 类间断。x-2-0 2 1 2-0注：对 x =-2,2仅考虑了其一个单侧极限。s i n x例 1.3 3.f(x)=0.解：间断点是：x =k7r,k Z x=2,x=0是可能间断点。对于 x=0,f(O+O)=e-5,f(0-0)=o o,x=0 为第 I I 类间断；对于 x =Z ,l i m/(x)=o o,为第 I I 类间断；XTkTt对
12、于 x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=o o,为第 I I 类间断。注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑。四、连续函数介值定理定理：/(%)在闭区间 a,内连续,且/(a)0,则/(x)在 a,“至少有一零点，即存在ce(a,b),使得/(c)=0。应用此定理需要注意以下几点：(0)/(九)如何定义。(1)同区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索。(2)验证/(x)在闭区间 a,以上的连续性，(3)验证/(x)在两端的符号。(4)此定理不能确定/(x)是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证/(%)在。,以内的单调性(参见导数应用部分)例1.34.证明：x e=2在 0,1内
13、有一实根证：构造/(x)=xe*2,x e 0,1易知/(x)在 0,1上连续，且/(0)=-2,/=e 20,故/(0)-/(1)0,由连续函数介值定理知，/(x)=0在(0,1)有实根，即命题得证。例1.35.证明/一3%2+=2至少有一正根证明：4/(x)=x4 3x2+x 2,xG 0,2/(x)在0,2内连续，且/(0)=-2,/(2)=4,/(0)/(2)0由闭区间连续函数介值定理得，/(x)在(0,2)至少有一根，即命题得证。五、数列极限定理：对充分大的n成立，an hn 0 h例 2.1.若/(1)=2,求 l i m /(1 2%)/(XO+5)2 0 h解：同加 一 2/蛆
14、+5/7)=(_ 2_ 5)/=4力TO h例 2.2.若/(0)=2,/(0)=0,求 l i m ./(2%)3。J l s i n(3 x)l解:l i m ,心 二lim/(2x)z/(0)=_2 1im/(2x)-/(0)=_4,=_ 8a。J l-s i n(3 x)-l _ J _ s i n 3 x 5 3 x 3 3例 2.3.f(x)=x2+x,x 02X-X3,X o+h/：-o+h(0)=l i m况比坨=.丝把=2h。一 o h以(0)4(0)所以f (0)不存在.例 2.4./(x)=2LU,求/(0)解:/(%)=2 x 02。o+h o+h尸(0)=l i m/
15、(+T=由2一=l n 2A-o-h/?-o-h所 以/(0)不存在。,“x s i n +s i n x2,x O -，小例 2.5./(x)=x 求/(0)。0,x =0/z s i n 4-s i n h2 0 h A 0 h所以 r(o)不存在r/(i-x)-/(i+3x)人 ul n(l +x)例2.6.如 果/(1)=2,分析函数/(x)=sin-cos-x例 2.8.y=Inxsin 2xy分为一层：x例 2.9.y=sin3(sin2 x-tan x)y分为三层：立方-sinx-例 2.10.y=Jsin(ln(,2 x +1 +y 分为四层：f s in-ln 7 +化分清层
16、次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。2、复合函数的求导原则我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”:“外及里；号变号；则用则；层间乘例 2.11.y=2x M x,求 y，解：y=2in2ln2(xsin3x)=2 sin3Aln 2 sin 3x+x(sin 3x)=2*sin3xn2(sin3x+xcos3x 3)=才 m 2(s i n 3x+3x c o s 3x)例 2.12.y =ea r e,a n(s i n 2x),求 y；解.f _ arctan(sin2.r)2 COS 2 1 +s i n2 2x例 2.13.y =4x es i n x 2,
17、求 y；解：4 =网/+6 3*2),1x sin.v+/x es,n A COS(X2)2X(三+2x y x c o s x2)2x例 2.14.y =s i n2(I n 2x+1+x2),求 y 解：y =2 s i n(l n(j 2x +l +x2)c o s(l n(，2x +l +x2)I2d 2x+1+JC 2yli2X+1+2x)s i n(21n(12x+l +d)-，2x+I +2+2x分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。例 2.15.=0 3x?+1,x o_ hr(o)=i,综合得，r（x）=3X2+1,X01,x =0-3X2+1,Xa1,x-aT-x
18、 a-2a-x I n 2,x 0+h/v 7=l i m”+r (叽 l i m 工=-l n 2/-o-h 2。-h所以/（a）不存在。例 2.17.已知/(x)=O 卜 A T)h=l +l i m s i n =1。/-o h(2)l i m/(x)=l i m2xs i n -l i m c o s -4-1x f 0 7*-0 x X TO x=l-l i m c o s，,不存在，A -0 /X T O X故/（x）在X =O处不连续，且 为I I类间断。3.高阶导数与微分（1）高阶导数,“二2)二 dd x2 d x=S T(6)几个常用公式、上ax+b)(办 +。)(2)(s
19、 i n x)。=s i n x+簧)(3)(c o s x)(/，)=c o s x +肾)(*a 冷(5)莱伯尼兹公式(“)=之C：Jii=0例 2.18.y-xe 2,求 y(0)解：y=e2x+x(-2)e2x/=e (l-2x)/=-2+(l-2x)e-2v(-2)y =e-2(T +4x)火 0)=T例 2.19.y=x2ex,求 y(解：产=如。(抒(,尸i=0严)=表 +20吐+90-例 2.20.y =7-7,求 y(2x-lX%+2)解：y=7-V-(2工-1，工+2)1(2 x-1)-2(x+2)5(2 元l)(x+2)112 1.-1-5 x+2 5 2x-l(T)+2
20、.).2-5U+2J 5 l2 x-lJ 5(x+2)e 5(2 x-l f例 2.21.y=ln(2 x+l),求 y例 2.22.1/(x)=cos2 x,求/(刈(0)解：/(x)=cos 2 x=-/()(x)=-/2-cos!2x+n7i2=-2?,_,cod 2x+-y/(5O)(O)=24 9C O S(25)=24 9例 2.23.f (x)=sin5xcos2x,求/”(x)解：/(x)=(sin7x+sin3x)/)(x)=g.7sin(7x+ruiT1 .(3 sin 3x+n7rT2(2)一阶微分定义：对于函数y=/(x),如果存在常数4,使得：f(xQ+Ax)=/(x
21、0)4-AAx4-(Ar)(Ar 0)则称/(x)在x=x0处可微。成立：/(X)在X =X0可导O 可微，且 办=/(%)公。办=/(X)力:可作为微分求解公式。例 2.24.y=xsin 2 x,求 dy|灯解：y =s i n 2x+2x c o s 2xy()=s i n +4 c o s 7i=-7td y =y()d x =-rc d x。“，s i n 2x 4,例 2.25.y =-,求 办。x,2x c o s 2x-s i n 2x ,2x c o s 2x-s i n2x .解：y =-z-,d y =-d xx xf 7x例 2.26./(x)=,求力I 1句x s i
22、 n x,x%=y(i)=5切线方程为y l=|(x -l)。例2.40.过点(0,0)引抛物线y=I+/的切线，求切线方程。解：设切点为(/,1 +看)，因y=2x,k=y(x0)=2x0,切线方程为y=2x0 x，因为(%,1 +x；)亦在切线上，所以1 +=2x0 x0,%=1，七=1,所以，切 线 方 程 为y=2 x。例2.41.问 函 数y=，(x0)哪一点上的切线与直线y=x成60角？k k I 1 k解：设切线斜率为幺 vO,y=x9 k,=,tantz=.-,43=-1 +匕22 1 +攵2解得：2=一2 7 5，y=-1r=-2 V 3,解得：x=X12V3 2.洛必达法则
23、洛必达法则是导数对极限的应用，归结为求极限问题的题型六。它是求极限问题非常重要的一个题型。洛必达法则：若lim/(x)=0,limg(x)=0,且在a的邻域附近g(x),g(x)可导。如果成立l i m 4 =A,则 lim =A。a”g(x)g(x)注:洛必达法则处理的形式必须是未定式9,当。对于0 8,，oo 等必须变形为9,-0 000 00形式。洛必达法则是一个充分性的法则，若li m q不存在，则说明此方法失效。f，g(x)洛必达法则只要前提正确，可重复使用。一般而言，洛必达法则和求极限题型五配合使用效果会更佳。注意其和连续，可导概念结合的综合题。“I-x-s inx例 2.42.l
24、im-z o t a n s inx1 2x-s inx 1-co s x 2 A 1解：原式=hm-=lim-=lim=-a。x a。3x。3x 6例 2.43.lim(-).v-o x e 15 v 1 x.cx I x .ex _ 1.x 解：原式=lim-=lim-；-=lim-=lim =x ex-1)1。x i o 2x X T O2X 2例 2.44.lim x2 I nxx-0+I-1 2解：原式=lim 半n x =l i mX-r=lim土X=0XT0+尤XTO-2X3 1 0 -2例 2.45.i m x exX T 8Y|解：原式=lim=limr =0ex i2x e
25、x例 2.46.lim(4-)a。x s in x解：原式=5*士Na。x s in x_1%2.s inx-xs inx+x co s x-1 2 2 1=lim-；-=21im-=21im=X T。X X X T。3x I。3x 3例 2.47.lim(-；一)1 0 x t a n-x解:2 2e 3 1.t a n x-x原式=hm ；z o x t a n-xlim.I T 02 2t a n x-x t a nx-x.hm-limA-0 第 A-0t a nx+xX2 limI Os ec2 x-1 21.=lim3x23t a n2 xx223-一 x+s mx例 2.48.li
26、m-z o o x-s in x1 j-coq x解：由罗必塔法则，原式=lim=不存在-1-C O S X这不说明原式不存在，仅说明洛必达法则对此题无效。,s in x1 +-原式=lim4=1X 00 s mx1-x例 2.49.lim(l+xlnx)cs cxX TO+j_In x解：lim xlnx=lim =lim(-x)=0X T0+1 1 0+1 x-0+2X X xlnxcscx:lim Inx原 式=lim =0Xf0+例 2.50.limx-0+lim xlnx 八解：原式=lim靖皿=e*=e =1x-0+例 2.51.l i m D+X解：原式=lim 3=iim(ed
27、n ty=lim lni(lnx+l)=o ox-0+1 x-0+A-0+例2.52.设/(x)有二阶连续导数，且(0)=0,g(x)=:/C D“看。X/(0)=0,x=0证明：g(x)有一阶连续导数。解：当 x w O 时，=8，(%)在.行0处连续/(),(0)g，(0)二lim旦 寅 =h m )=l i m/WzZW：/0 h./：-o h 力 f n.l i m/w-r(o)=l i mrw n o)心0 2h 2 0 2 2因lim g,(x),lim5心=im7+矿 加 一 小)/TO X TO x 2x山 31。2 2所以limg(x)=g(0)=/也，故g(x)在=0处连续
28、。XT0 2综上所述g(x)有一阶连续导数。3.函数单调性、凹凸性、极值、拐点及渐进性a、单调性如果尸(X)0,X G/则/(x)在/上严格单调增加，f(x)x0,/(x)单调减少，则/(x)在x=x0取得极大值，反之取极小值。判 别H：如果/(x)在 =与邻域存在两阶导数，且 尸(%)0取极小值，/(毛)0,x e/,则/(x)在/上向上凹；f x)+cc.r +o o e*.r -K C e”y=0,即x 轴为水平渐近线(2)y =(l-x)exf=-e-x+(1-x)(-l)e-x=(x-2)ex,由 y=0 得 x=l,由 y=0 得 x=2(3)列表分析X(一 8,1)1(1,2)2
29、(2,+8)y y+yTn极大值y(i)=e-1Jn拐点可 2）二 天Ju（一00,1）上单调 上升向上凸,（1,2）上单调下降，向上凸，（2,+8）上单调下降，向上凸，（1,e T）为极大值点，（2,2e-2）为拐点。1 4-X2例 2.54.分析y =、的单调性，凹凸性，极值，拐点，及渐近线。1 x 解：（1）定义域x w 1,1 +工 2因 lim 7,所以y=-1为水平渐近线。i-x-1+Y因 lim士=8,所以x=l为垂直渐近线。1】1一工2、“，_ 2 MT）_（I+X2）（_2X）_ 4%（2）-，（1-X2）2（1-X2）_ 4（1-X2）-4X-2（1-X2）（-2X）_ 4
30、+12x2（4由y =0 得 x=0；当工=1,y,y”不存在。列表分析(-00,-1)(-1,0)(1,+0)+极小值函 数y(o)=i（-。上单调下降，向上凸；在（一1,0）单调下降，向上凹；（0,1）单调上升向上凹；（1,8）单调上升向上凸。0,1为极小值点，X =l处为拐点。例2.55.已知函数/（X）=a lnx+bx2+x在x=1与x=2处有极值，试求a,6的值，并求“X）的拐点。解：f x)=-+2b x +l,题意知/=0,，=0,得:Xa +2b +=00 +4 0 +1 =01 22 1解得：a =,b =，3 6当00,向上凹，当x&时，f x）0,向上凸,故=正 为/（
31、x）的拐点。4.最大值、最小值与实际应用将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优问题的求解中是非常重要的考点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经济学等方面的内容。分析问题的流程为：（1）适当假设求解变量X。（2）函数关系y =y（x）确定;(3)y=0求解，交待y最大、最小的理由；(4)合理分析.注：第二步是整个问题的关键步骤，(3)中的理由部分可能是容易疏忽之处。例2.56.(几何问题)半径为R的半圆内接梯形,(1)何时面积最大？(2)何时周长最长？解：设上底长度为2 x,即。尸=x,如图所示，OE =ylR2-x2,(1)S(x)=(2x+2R)
32、R2-/2=(x+/?)正一工2S(x)=J/?/+*+R)-2-v_2,-2 一尤2x(x+R)由 S(x)=O 解得 x=/2(x=-R 舍去)R因为x=5为唯一驻点，即为所求(或S(R/2)0)此时 Smmaaxx =-2 /2=4/?2(2)l(x)=2x+2R+2BC-2(X+R)+2ICF2+BF2=2(x+R)+2-R2-x2+(/?-x)2=2(x+R)+2hR2-2Rxi(x=2+2-2R=2 一 2R 2d2炉-2Rx 2Rx，由/(x)=0 得 x=R/2。因x=A/2为唯一驻点，即为所求(或尸(A/2)0所以x =1 0 0 0(件),平均成本3(x)最小，配0 =3
33、0 0 (元/件)(2)利润函数Q(x)=P(x)-C(x)=4 4 0 x|x2,-2 5 0 0 0 -2 0 0 x 1 x272 0 4 03,=-x2+2 4 0 x-2 5 0 0 0,4 0。(无)=一幺+2 4 0 =0 得：尤=1 6 0 0 (件)，4 0唯一驻点，即为所求，0 =1 2 7 0 0 0 (元)。例2.6 0.一租赁公司有4 0套设备要出租。当租金每月每套2 0 0元时，该设备可以全部租出；当租金每月每套增加1 0元时，租出的设备就会减少1套；而对于租出的设备，每月需要花2 0元的修整费。问：租金定为多少时，该公司可获最大利润？解：设 每 月 每 套 租 金
34、 定 为(2 0 0 +1 0。则 租 出 设 备 总 数 为4 0 x ,每 月 的 毛 收入为(2 0 0+1 0 x)(4 0-%)；维护成本为(4()-2 0,于是利润为L(x)=(2 0 0 +1 0 x)(4 0-x)=7 2 0 0 +220 x-1 0 x2(0 x L(0)L(4 0)；所以，租金为(2 0 0 +1 0 x 1 1)=3 1()元时，利润最大。5.罗尔定理、微分中值定理及其应用R o l l e定理：如果/(x)在(。,切 可导，在 a,句上连续,且f(a)=/(匕),则看(a,历存在,使得/0 =0。L ag ran g e中值定理：如果/(X)在(。/)
35、可导，在 加 上 连 续，则存在(。,加，使得例 3.5 3.问下列函数哪个函数不满足拉格朗日中值定理条件：()A)y =si n x,x ,%,B)y =x|x|,-l x lC)y =y/x,-l x lf D)=x2 4-1,l x 1解：选择C,因为y =也 在 x =0处导数不存在。例 2.6 1 已知/(x)=arctan x,x e-1,1 ,求 L ag ran g e 中值定理中的 J。2 (4-解：=即。=-11 +g V 7t例 2.6 2.证明/(X)=-8 x +a 在 0,1 上不可能有两个零点.证明:反证法。如果在 0,1 上有两个零点五工2 (不妨设司 工 2)
36、，即/(-i)=y(x2)=0./(x)在%满足定理条件，所以存在自e(0,1)时，3 2-8 =0,故矛盾，原命题得证.例 2.6 2.设 _/(尤)可导,求证j x)的两个零点之间定有4(x)+尸(X)的零点.证明：构造辅助函数F(x)=/(x)eav.设 公 为 的 两 个 互 异 零 点，不妨假设王 0,由于/(x)在闭区间 0,1 上连续，故由闭区间连续函数介值定理知，存在&e(),l),使得/c)=o,即，方 程/(幻=_/+4%-3 =0有正根.(2)根的唯一性应用反证法。设有两个不同根石,，(百1，方程无根，只要考虑令/(x)=s i n x-x,/(0)=0,/=co s x
37、 1,当x e H)时，/(x)0,/(x)严格单调上升，/(幻 0,/(幻 严格单调上升，/(x)0,总之，方程仅有一实根0。注：注意上述两例的区别。例2.66.设 函 数 在(0,c)上具有严格单调递减的导数/(x)J(x)在x =0处连续且f(0)=0,试证：对于满足不等式0 a Z?a +/?f(a+b).证明:/(x)在 0,4上满足拉格朗日的定理条件，故存在。e (0,。)使得/-/(0)=外/6由f(0)=0,所以/(a)=rCJa；f(x)在3,a +步上满足拉格朗日的中值定理条件,故存在$e (a +份使得f(a+b)-f(b)=f 2)(a+b-b)=(易)a由于。ah/(
38、刍)；所以/3+力 一/S)/(a)成立，即/(a +O)/(a)+/S),原命题得证。例 2.67./(x)在 0,a 上连续，且(0,。)内可导，f(a)-0 证明：存在4G(0,。)，使得了6)+/)=0。证明：构造尸(x)=x f(x),x G(0,4 7)1尸(x)在(0,a)上可导，0,a 上连续，且尸(0)=0,尸(a)=4 3)=0，故尸。)在 0,司上满足罗尔定理，故存在。e(0,a),使得尸 e)=丁+/=0,即原命题得证。例2.68 .设/(x),g在 a,切上存在二阶导数，g (x，/(a)=/S)=g(a)=g(b)=0,证明：存在 使=g您)g C)证 明:构 造p
39、(x)=/(x)g (x)/(x)g(x),由条件p(a)=p(6)=0,p(x)满足罗尔定理条件，因 此 存 在 欠(。力)使p c)=/c)g c)-r e)g c)=o,因为g(x)w o,g c)H O,(否则 g(a)=g S)=g)=0推得 g (c)=0 ),于 是 噜=巽。ge)g 例2.69.已知在 0同 上 连续，在(a,加 内/”(x)存在，又过点A(a,/)，B(b(b)两点直线交曲线y =/(x)于C(c,/(c),且ac b。试证明：在(a,b)内至少存在一个J使 得/钻)=0。证明：构造 F(x)=f(x)-f(a)+W)(x-a),h-a由题意可知：F()=0,
40、F(/?)=0,F(c)=0 oF(x)在 a,c 和卜，”上分别满足拉格朗日定理条件。故存在mG(a,c)使得F )=0 ,存在4 2 G(a,c)使得尸($)=0；F(x)在 区 间 皆X 上 满 足 罗 尔 定 理 条 件。所 以 存 在(，4 2)u(a,份 使 得/(4)=()。而产(x)=f(x),故/G)=0,原命题得证。6.函数不等式证明通常证明不等式的方法有：应用微分中值定理；应用单调性；函数最大最小值。例 2.7 0.证明|a r ct a n a-a r ct a n|Z?-a|证明：当a =b时，原不等式显然成立。当。手b(无妨设.a b)，设/(x)=a r ct a
41、 n x,在 上 满 足 拉 格 朗 日 定 理，存在J e (a,b)使得；a r ct a n Z?a r ct a n a =-(b-a),1 +尸两边取绝对值，|a r ct a i i?-a r ct a n cz|Z?-|T T 2例 2.7 1.证明：当 0 c x 0(0 x s i n x o构造 g(x)=，g (x)=Xx co s x-s i n xx2令 F(%)=x co s x s i n x,Ff(x)=co s x x s i n x co s x =x s i n x 0所以F(x)严格单调下降，/(0)=0,故/(x)0,所以g (x)g(T)=5,2即，
42、s i n(x)X。结合前面的两结论可知原命题成立。7 11 _ 丫例2.7 2.证明，当0 X 1 +X证明：原命题等价于：Ip+%)1 _%构造函数F(x)=e-2(x+l)-(l-x),尸()=0,Fr(x)=2x+e2x(x+1)(-2)+1,尸()=0,F x)=4xe o(OxF(0)=0F(x)严格单调上升,即F(x)F(0)=0,亦即，e-2%x+l)(l x)0,即原命题得证。例 2.7 3.证明：当 0 x0 证明:令 F(x)=4xlnx f 2x+4,F(x)=41nx 2 x+2,尸(x)=0有且仅有一根x=1,4F(x)=20o F(x)在x=l 取极小值，X尸(1
43、)=1,F(0)=lim(4xlnx-x2-2x+4)=4,F(2)=81n2-40,.F.0,x-0+所以，F(x)=4xlnx x2 2x+4 7 0,命题得证.例2.74.证明：当x 0时,ln(l+x)/詈 巴证明：原命题等价于：(1+x)In(1+x)arctan%,构造 F(x)=(1+x)ln(l+x)-arctanx,F(0)=0,F(x)=ln(l+x)+l y 0 ,所以尸(x)严格单调上升，F(x)F(0)=0,即原命题得证。例7.证明:当|乂4 2时,|3x-W 2证 明 令/(x)=3x%3,卜)=3-3炉,由/(x)=0得，x=l,/(-2)=-6+8=2,4 2)
44、=6-8=_2,/(l)=3_l=2 J)=-3+1=2；所以，当,区2时，九L 2/血=2,即一2 4 力=3-三 2,即，|3x 2卜2成立。第三章不定积分本章主要知识点：不定积分的意义，基本公式 不定积分的三种基本方法 杂例一、不定积分的意义 基本公式不定积分基本特点是基本公式较多，灵活善变，复习此章节主要诀窍在于:基本公式熟练，基本题型运算快捷，有一定题量的训练。1.性质d Q f(x)dx=f(x)d xJj F(x)=F(x)+C fX x)d x=f(x)+Cj fndx=y(n-l)(x)+c2.基本公式(1)xndx=xn+c(声-1),f v=ln|x|+cJ +l J X
45、x(2)axdx=-c,exdx=ex+cJ na J(3)jsinxfZx=-cos x+c,jcos xdx=sinx+c,J sec 2Atzx=tan x+c,esc2 xdx=-cot x+c(4).dx=arc sin+c,J yla2-x2 a(5)-y d x -In|a +X|-b eJ a2-x2 2a a-x(6)-f-d x-In I x+y/x2+a I +cJ 7 7 7/r、f 1 1 X(7)-7=ar c tan+cJ a+x a a二、不定积分的三种基本方法1.凑微分法（第一类交换法）基本原理：“(X)心:=4()。(%)公)。一些常见的固定类型J/3+A=
46、与/3+勿13+与f kea ea xd x =-f(ea x)d ea x 犷(炉)公=3斤(2)加 xn-f xn)d x =-f kxnWj /(lnx)t&=j /(Inx)Jlnxj sin 寸(c o s x)d x =-J/(c o s x)d c o s xj c o s x f(sin x)d x=j/(sin x)d sin x臣眇T也X3J se c2(tan x)d x=j /(tan x)d tan xj tan xse c x/(se c x)d x=j /(se c x)d se c x 等等。例 3.1.JX(2X2+1)2 0 0 7解：原式=；J(2/+1)
47、2WJ(2X2+1)=(2/+1)2颐+C例 3.2.c os x e3s i n-d x=-j e3 sin J(3 sinx-l)=-e3 sinx-+c例 3.3.j x2sin(5 x3-7)解:原式=g Jsin(5 x3-7)加=_ljSin(5 x3-7)4(5/一7)=-c o s 4 7。例341 Inxx 2 1 nx+1d x解：原式=-j(l)d u=-u-n 2u+l +C=-lnx+-ln|2 1 nx+l|+C2 2 +1 2 4 2 4例 3.5.r d xJ 4 +x解：原式=1 1 ,1 八加=ar c tan-+C2J22+(r)2 4 2例 3.6.f
48、；-；-d xJ c o s x(2 tan 元+1)解：原式4端W小ar c tan(亚 tan x)+C双例3 7 1穹4解：原式=2/sin2 2 GdGu=2G g J(1一c o s2u)d u=-；sin(2 )+C=y/x _ sin(4&)+C4例 3.8.eeX+xd x解：原式=/!=J/d e =e +C例 3.9.x+3 x+2 .-a xx+2解：利用综合除法知x3+3 x+2 2 c 1 2-=x2-2 x+7-x +2x+1 210 1原式 2 x+7-)c/r =-x3-x2+7x-1 2 1 n|x+2|+C例 3.1 0.J-z-+-工-+-3axx2+l解
49、:2 x+2x2+1)d x例 3.1 1.解:y0+5 3 2Jd(x+1)+2 /x +x IH R(1 +x)+2 3 r c t n i5 3 2-d x,f-d xJ sin x J c o s x1 -r sinx-r d c o sx 1 .1 +c o sx-dx=T d x =-z =In-sinx J sin x J 1-c o sx 2 1-c o sx+Cr 1 .r c o sx,r Jsinx 1,1+sinx-d x =d x=-=-l n-+CJ c o s x J c o s x J 1-sin x 2 1-sinx注：此例对于三角函数相当重要，请熟练掌握。*
50、例3.1 2.f!d xJ 2 c o s x解：原 式-2 +COS%-d xJ(2-c o sx)(2 +c o sx)r 2 +c o s x .r 2 .r-益=-7-0 X 4-J 4-c o s x 4-c o s x JJ sinx3 +sin2 xr 2 s e2c r ,1=-a x +-f=ar c tJ 4 s e c c-1 V3=2 jd tanx-F j=ar c tam4t a m+3 V3_ r J2 tanx一J(2 tanx)2+(V3)21 /.tanx、1 ,sinx、一=j=ar c tan(2 ,=-)+ar c tan x(/=-)+CV3 V3