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1、信号与系统第四版课后习题（燕庆明主编）信号与系统（第四版）习题解析高等教育出版社2007年8月目 录第1章习题解析.2第2章习题解析.6第3章习题解析.16第4章习题解析.24第5章习题解析.32第6章习题解析.42第7章习题解析.50第8章习题解析.561第1章习题解析1-1 题 IT图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c)(d)题 1-1 图解(a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为 有 始(因 果)信 号。1-2 给定题卜2图示信号(t ),试画出下列信号的
2、波形。提示：f(2 t )表示将f(t )波形压缩，f()表示将f(t )波形展宽。2 t(a)2 f(t 2 )(b)f(2 t )(c)f(t2 )(d)f(t +1 )题 2图解 以上各函数的波形如图p l-2 所示。2图 P 1-21-3 如 图 3图示，R、L、C元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R、S L、S C,试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。题 厂 3图解各系统响应与输入的关系可分别表示为u R(t)R iR(t)S RS LS Cu L(t)Lu C(t)I Cd iL(t)d ttiC()d1-4 如 题 1-4 图示系统由加法器、积 分
3、 器 和 放 大 量 为 a的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写H I 该系统的微分方程。3题 1-4 图解系统为反馈联接形式。设加法器的输出为x(t ),由于x(t)f(t)(a)y (t)且y (t)x(t)d t,x(t)y (t)故有y (t)f (t)a y(t)即y (t)a y (t)f(t)1-5 已知某系统的输入f(t )与输出y(t )的关系为y(t )=|f(t ),试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设 T为系统的运算子，则可以表示为y(t)T f(t)f(t)不失一般性，设 f(t )=f l(t )+f 2(t ),贝 i jT f l(t)f l(
4、t)y l(t)T f 2(t)f 2(t)y 2(t)故有T f(t)f l(t)f 2(t)y(t)显然f l(t)f 2(t)f l(t)f 2(t)即不满足可加性，故为非线性时不变系统。1-6 判断下列方程所表示的系统的性质。(1)y(t)d f(t)d t t O f ()d(2)y(t)y (t)3 y(t)f (t)4 2 t y (t)y (t)3 f (t)(4)y (t)2 y (t)f (t)解(1)线性；(2)线性时不变；(3)线性时变；(4)非线性时不变。1-7 试证明方程y (t)a y(t)f (t)所描述的系统为线性系统。式中a为常量。证明不失一般性，设输入有两
5、个分量，且f l(t)y l(t),f 2(t)y 2(t)则有y l(t)a y l(t)f l(t)y 2(t)a y 2 (t)f 2(t)相加得y l(t)a y l(t)y 2 (t)a y 2 (t)f l(t)f 2 (t)即d d ty l(t)y 2(t)a y l(t)y 2(t)f l(t)f 2(t)可见f l(t)f 2(t)y l(t)y 2(t)即满足可加性，齐次性是显然的。故系统为线性的。1-8 若有线性时不变系统的方程为V(t)a y(t)f (t)若在非零f(t )作用下其响应y(t)1 e t,试求方程y (t)a y(t)2 f (t)f (t)的响应。
6、解 因 为 f(t )y(t)1 e t,由线性关系，则2 f (t)2 y(t)2(1 e t)由线性系统的微分特性，有f (t)y (t)e t故响应2 f (t)f (t)y (t)2(1 e t)e t 2 et 5第 2章习题解析2-1 如图2T所示系统，试 以 u C(t )为输出列出其微分方程。题 2-1 图解 由 图 示，有iLu C u C R Cd d t又iltLL0(u Su C)d t故1 C L(u S u C)u R C u C从而得u (t)I CR Cu (t)I CLCu C (t)1 LCu S(t)2-2 设有二阶系统方程y (t)4 y (t)4 y(
7、t)0在某起始状态下的0+起始值为y(0 )1,y (0 )2试求零输入响应。解由特征方程2+4+4 =0得 1 =2 =2则零输入响应形式为y z i(t)(Al A2 t)e2 t 6由于y z i(0+)=Al=12 A1 +A2 =2所以A2 =4故有y z i(t)(1 4 t)e 2 t,t 02-3 设有如下函数f(t ),试分别画出它们的波形。(a)f(t )=2 (t 1 )2 (t 2 )(b)f(t )=s in t (t )(t 6 )解(a)和(b)的波形如图p 2-3所示。图 P 2-32-4试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。题2-4图7解(a)f(t )=
8、(t )2(t 1 )+(t2 )(b)f(t )=(t )+(tT )+2 T2-5试计算下列结果。)t (t 1 )解t (t 1 )=t1 )2-6设有题2-6图示信号汽t ),对(a)写 出f)的表达式，对 写 出f (t)的表达式，并分别画出它们的波形。题2-6图解(a)12,0 t 20 0 e 3 t (t)d tt (t l)d t c os(t (t l)d tt n 3)(t)d t Oc os (t IT 3 (t l)d t 10 )(t)d t 0 c os (n 3 0 0 )(t)d t 1 20 0 e 3 t (t)d t 0 0 e 3 t (t)d t (
9、t)d t 1f (t )二(t 2 ),t=22(t 4 ),t =4(b)f (t )=2 (t )2 (t 1 )2 (t 3)+2(t 4 )8图 p 2-62-7 如题2-7 图一阶系统，对(a)求冲激响应i 和 u L,对(b)求冲激响应u C 和 i C,并画出它们的波形。题 2-7 图解 由 图(a)有Ld id t u S (t)R i即d id t RLi 1Lu S(t)当 u S(t )=(t ),则冲激响应h(t)i(t)1Le RLt (t)则电压冲激响应h(t)u L(t)Ld id t (t)RLe RLt (t)对于图(b)R C电路，有方程Cd u C d
10、tiS u C R 9即u CI R Cu CI Ct R CiS当i S=(t )时，贝IJh(t)u C (t)I C e(t)同时，电流d u Cl t R Ci C Cd t(t)R C(t)2-8 设有一阶系统方程y (t)3y (t)f (t)f (t)试求其冲激响应卜(t )和阶跃响应s(t )。解因方程的特征根=3,故有x 3t1(t)e(t)当 h(t )=(t )时，则冲激响应h(t)x t)(t)(t)(t)2e 3t1(t)阶跃响应s(t)th()d13(1 2e3t)(t)2-9 试求下列卷积。(a)(t )*2(b)(t +3)*(t 5)(c)t e t (t )
11、*(t )解(a)由(t )的特点，故(t )*2=2(b)按定义(t +3)*(t 5)=(3)(t 5)d 考虑到 t 5 时，(t 5)=0,故(t +3)*(t 5)=t 53d t 2,t 2也可以利用迟延性质计算该卷积。因 为 10(t )*(t )=t (t )f l(t t l)*f 2(t t 2)=f(t t l t 2)故对本题，有(t +3)*(t 5)=(t +3 5)(t +3 5)=(t2)(t 2)两种方法结果致。(c)t e t (t )*(t )=t e t (t )=(e t t e t )(t )2-10 对图示信号，求 f l(t )*f 2(t )题
12、 2 T0图解(a)先借用阶跃信号表示f l(t )和f 2(t ),即f l(t)2(t )2(t1)f 2(t)(t)(t2)故f l(t)*f 2(t)2(t)2t1)*(t )(t 2)因为(t)*(t)Oldt)故有f l(t )*2)+2(所示。f 2(tt)=2t (3)(tt)3)2(t1)(t 1)2(t 2)(t读者也可以用图形扫描法计算之。结果见图p 2T 0(a)11(b)根据t)的特点，则f l(t )*f 2(t )f l(t)*t )+2)+(t +2)=f l(t )+f l(t2)+f l(t +2)结果见图p 2T 0(b)所示。图 p 2-102-1 1试
13、求下列卷积。(a)(1 e2t)(t)(t)(t)(b)e 3t (t)d td t e(t)解(a)因为(t)(t)(t)(t),故(1 e 2t)(t)(t)(t)(1e 2t)(t)(t)(1 e 2t)(t)(b)因为et(t)(t),故e 3t (t)d tdt e(t)e 3t(t)(t)3e 3t2-12设有二阶系统方程y(t)3y(t)2y(t)试求零状态响应解因系统的特征方程为2+3+2=0解得特征根1 1,2 2故特征函数x It2(t)e e 2t(e t e 2t)零状态响应y(t)4(t)x2(t)4=(8e 2t 4e t)(t)2-13如图系统，已知hl(t)(t
14、 1),h2(t)试求系统的冲激响应h(t)题2-13图解 由 图 关 系，有x(t)f(t)f(t)hl(t)(t)4(t)(t)12(t)所以冲激响应(t)(e t e 2t)(t)(t)(t)(t 1)(t)(t 1)h(t)y(t)x(t)h 2(t)(t)(t 1)(t 1)即该系统输出一个方波。2-1 4如图系统，已知R I =R 2=1,L=1H,C=1F。试求冲激响应u C(t )。题2 T4图解 由K CL和K V L,可得电路方程为Cu(1CR R 2C121I L)u C(LR R C I L)u R(t)R 2(t)1R 1L13代入数据得2u C2u C(t)(t)u
15、 C特征根1,2=1j l故冲激响应u C(t )为u C(t)(e X I t A,I t e)*(t)(t)e t(c o t s s i n t)(t)e t s i n t (t)e t c o s t (t)V2-15-线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f(t )=(t )时，全响应y l(t )=3e 3t (t )；当输入 f(t )=(t )时，全响应 y 2(t )=e 3t (t ),试求该系统的冲激响应卜(t )。解因为零状态响应(t )s (t ),(t )s(t )故有y l(t )=y zi(t )+s(t )=3e 3t(t )y 2(t )=y zi (
16、t )s(t)=e 3t (t )从而有y l(t )y2(t)=2 s(t)=2 e 3t (t )即s(t )=e 3t (t )故冲激响应h(t )=s (t )=(t )3e 3t (t )2-16 若系统的零状态响应y(t )=f(t )*h(t )试证明：f(t)h(t)d f(t)d t th()d(2)利用(1)的结果，证明阶跃响应s (t)th()d证(1)因为y(t )=f(t )h(t )14由微分性质，有y (t )=f (t )h(t )再由积分性质，有y(t)f (t)th()d(2)因为s(t )=(t )h(t )由(1)的结果，得s(t)(t)t h()d (
17、t)t h()d t h()d 15第 3 章习题解析3-1 求 题 3-1图所示周期信号的三角形式的傅里叶级数表示式。题 3 T图解对于周期锯齿波信号，在周期(0,T )内可表示为f(t)AT t系数a lTlAt O Tf(t)d tTTTd tA2a 2An2TTTf(t)cosn ItdtT2t cosn ltdt2A tsinn TItT20n 1bn2ATT)sinn 2ATf(tltdtT2t sinn ltdtT2A t c o sn I t T 2An 1nn所以三角级数为f(t)A2Altn 1n ns i n n3-2 如图所示周期矩形波信号，试求其复指数形式的傅里叶级数
18、。图中T号周期T 2,故2 1T,在一个周期内可得：F2。解：该信n1211Aej n td t120Aej n td tAAj nj 2n(ej nej n)162A c o s n4,(1 c o s n )j n j n j n j nOAAAn 1,3,n 2因为f(t)为奇函数，故 F 0 0,从而有指数形式:f(t)题 3-2图3-3 设有周期方波信号f(t ),其脉冲宽度=1m s,问该信号的频带宽度(带宽)为多少？若 压缩为0.2m s,其带宽又为多少？解对方波信号，其 带 宽 为 f当1=1m s 时，则f l 11 n 2Aj n j n t,n 1,3,H z,11 10
19、.0 0 1 10 0 0 H z 当 2=0.2m s 时，则f 2 2 10.0 0 0 2 50 0 0 H z3-4 求 题 3-4 图示信号的傅里叶变换。17题 3-4 图解(a)因为t,t0,t为奇函数，故F()j 2 t0 s i n t d tj 22 s i nc o sj 2 c o sS a()或用微分定理求解亦可。(b)f(t )为奇函数，故F()j 20(1)s i n t d t2j c o s 1 j 4s i n 2(2)若用微分-积分定理求解，可先求出f (t ),即f (t )=(t +)+(t )2(t )所以f (t)F j j1(j )e e 2 2c
20、 o s 2又因为F l(0 )=0,故F()12j F l()j (c o s 1)3-5 试求下列信号的频谱函数。(1)f(t)e 2t l8(2)f(t)e a t s i n Ot (t)0 解 F()e j t d t 2t j t t 2t j tf (t eed Oeed t1 12 j 2 j 44 2 F()j tf(t)e j t d t e a t l(ej Ot O 2j e j Ot)ed t1 j Ot t2j O e e(a j )e j Ot e(a j )t d t1 112j(J )j0(j )j 012j 2j 0(j )2 2 00(j )2 2 03-
21、6 对于如题3-6 图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为F()A S a 2(2)题 3-6 图证 因 为(A(l tf (t )=),t0,：t|则F()2tOA(1)cos tdt2A2(1 cos)4Asin2(2 2)19A Sa(2)23-7试求信号f(t)=1 +2cost+3cos3t的傅里叶变换。解 因 为1 2()2cost 2 (1)+(+1)3cos3t 3 (3)+(+3)故有F()=2 ()+(1)+(+1)+3 (3)+(+3)3-8试利用傅里叶变换的性质，求 题3-8图所示信号f2(t)的频谱函数。题3-8图解 由 于fl(t)的A =2,=2,故其变换Fl()
22、A Sa2(2)4 S a 2()根据尺度特性，有f(t2)2FSa211(2)8(2)再由调制定理得f f t2(0 1(2)COS 3T t F2()F 12 8S a 2(2 2 JT)8S a 22()(2 2“)204 S a(2 2“)4 S a(2 2 i t)22s i n(2)s i n(2)22()(n)223-9 试利用卷积定理求下列信号的频谱函数。(1)f(t )=Ac o s(Ot)(t )(2)f(t )=As i n(Ot)(t )解(1)因为Ac o s (Ot)A JT (0)(0)(t)n ()lj所以由时域卷积定理F()A n (10)(0)()j 1A
23、j(0)(0)(2)因为Asin(Ot)jAn (0)(0)(t)n()Ij由频域卷积定理F()1 2n jAn ()()n()100jjAor2(A O)0)0 2 2 03-10设有信号f1(t)=cos4 t1,t 0,t试 求fl(t)f2(t)的频谱函数。解 设fl(t)F l(),由调制定理fl(t)cos4“t1F1(4 Jt)Fl(4n)F()221而Fl()Sa(2)2 S a()故F()S a(4 n)S a(4 n)3-11设有如下信号f(t ),分别求其频谱函数。(1)f(t)e(3j 4)t(t)f(t)(t)(t 2)解 因 e t 1J故e(3 j 4)t 11(
24、3 j 4)j 3 j(4 )因(t)(t 2)GT(t)(t 1),2 故F()S a(2)e j 2S a()e j3-12设信号2,0 t 40,其 他 试 求 f 2(t )=f l(t )c o s 50 t 的频谱函数，并大致画出其幅度频谱。解 因F()2 S a(2)e j 2 8S a(2)e j 2故F 2()12 F 1(50)F l(50)4 S a 2(50)e j 2(50)4 S a 2(50)e j 2(50)幅度频谱见图p 3-1222I F2()|50 图 p3-12 5023第4章习题解析4-1如题4 T图示RC系统，输入为方波ul(t),试用卷积定理求响应
25、u2(t)题4 T图解 因 为RC电路的频率响应为H()1j 1而响应u2(t)=ul(t)*h(t)故由卷积定理，得U2()=U 1()*H(j)而已知 Ul()Ij(1 e j),故U2()1 1(1 e j j Ij)反变换得u2(t)(1 e)(t)1 e t(t 1)(t 1)4-2 一滤波器的频率特性如题图4-2所示，当输入为所示的f(t)信号时，求相应的输出 y(t)o题4-2图24解 因 为 输 入f(t)为周期冲激信号，故Fn IT 1,1 2nT 2 U所 以f(t)的频谱F()2n Fn(n 1)2n(2n n)当n=0,1,2时，对应H()才有输出，故nY()=F()H
26、()=2 2()+(2)+(+2)反变换得y(t)=2(1 +cos2 t)4-3设系统的频率特性为H()2j 2试用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。解 冲 激 响 应，故h(t)F 1H()2e 2t(t)而阶跃响应频域函数应为S()F(t)H()n()1j 1 2j 2it()12j j 2n()11j J 2所以阶跃响应s(t)(1 e 2t)(t)n4-4如题图4-4所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性H(j)。题 4-4 图25解由图可知输出y(t)tEf(t)f(t tO)dt取上式的傅氏变换，得Y()F()j(1 ej to)故频率特性IK)Y()F()lj(1
27、ej tO)4-5 设信号f(t)为包含0 m分量的频带有限信号，试确定f(3t)的奈奎斯特采样频率。解由尺度特性，有f(3t)13F(3)即 f(3t)的带宽比f(t)增加了 3 倍，即=3 m。从而最低的抽样频率s 二6 m o故采样周期和采样频率分别为T S16f mf S 6f mT4-6 若对带宽为20k H z 的音乐信号f(t)进行采样，其奈奎斯特间隔s 为多少？若对信号f s压 缩 倍，其带宽为多少？这时奈奎斯特采样频率为多少？解：对 f(t),其 f m 20k H z,故：f s 2f m 4 0k H zT sl f s14 0 10325 106s 25 u s压缩信号
28、f(t)为 f(2t)后，则带宽增加一倍：f m 2 20 4 0k H z 故：f s 2f m，2 4 0 80k H z4-7 设(t)为调制信号，其频谱F()如题图4-7所示，c o s O t为高频载波，则广播发射的调幅信号x(t)可表示为x(t)=A l+mf(t)c o s O t式中，m为调制系数。试 求 x(t)的频谱，并大致画出其图形。26题 4-7图解 因 为 调 幅 信 号 F()x(t)=A c o s O t+m A f(t)c o s O t故其变换X()3T A (0)(0)m A 2F(0)F(0)式中，F()为(t)的频谱。x(t)的频谱图如图p 4-7所示
29、。图 p 4-74-8 题 4-8图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入f(t)的频谱和频率特性H l()、H 2()如图所示，试画出x(t)和 y(t)的频谱图。题 4-8图27 X()F()题 4-8 图解由调制定理知f l(t)f(t)c o s C t F l()12F(C)F(C)而 x(t)的频谱X()F l()Hl()又因为f 2(t)x(t)c o s C t F 2()12 X(C)X(C)所以Y()F 2()H2()它们的频谱变化分别如图P4-8所示，设C 2。图 p 4-84-9 如题4-9图所示系统，设输入信号f(t)的频谱F()和系统特性H
30、 l ()、H 2()均 给 28 F l()X()F 2()Y()定，试画出y(t)的频谱。F()H l(j )H 2(j )题 4-9图解 设 f l(t)f(t)c o s5 0t,故由调制定理，得F l()12F(5 0)F(5 0)从而f 2(t)F 2()H l()Fl()它仅在I I=(30-5 0)内有值。再设f 3(t)f 2(t)c o s30t则有F l3()2F 2(30)F 2(30)即 F3()是卜2()的再频移。进而得响应的频谱为Y()F 3()H2()其结果仅截取 20 a0a3故系统稳定。6-10如题6 T 0图示反馈系统，为使其稳定，试确定K值。题6T o图
31、48解 该 系 统 的(s)为s Ks(s l)s 2 1s KH(s)31 s K 3s2 3s K s(s 1)1 ss 2从必要条件考虑，应 当K 0,再由ala2 a0 a3考虑，应满足K 9,故当0 K 9时系统稳定。也可以从劳斯阵列判定。因为阵列：133 K9 K3 0K 0为使第一列元素不变号，即应9 K3 0,K 0即0 K 9时系统稳定。4 9第7章习题解析7-1试画出下列离散信号的图形。(a)f l1(n)n(n)(b)f 2(n)(2 n)(c)f 3 (n)(2 n)(d)f 4(n)2(1 0.5 n)(n)解各信号的图形分别如图p 7-l所示。图 p 7-l7-2
32、试画出下列序列的图形。(a)f l(n)(n 2)(n 6)(b)f 2(n)(n 2)(n)(c)f 3 (n)n(n)(n)(n 5)(d)f 4 (n)(n)(n 1)2(n 2)2(n 3)(n 4)解 各序列的图形分别如图p 7-2所示。5 0图 P 7-27-3 设有差分方程y(n)3 y(n 1)2y(n 2)f (n)起始状态丫(1)152,y(2)4。试求系统的零输入响应。解系统的特征方程为2+3 +2 =0其特征根为1 =1,2=2则零输入响应的形式为ynzi(n)K I 1 K 2 n2K n1(1)K 2(2)n由起始状态y(1)和丫(2)导出起始值y(0)和 y(l)
33、门=0时，丫(0)=3 y(1)2y(2)=1.5 2.5 =1 n=1 时，y(D =3 y(0)2y(1)=3 +1 =4从而有yzi(0)K I K 2 1yzi(l)K I 2K 2 4 5 1解得K I =2,K 2=3故yzi(n)2(1)3(2),nnn 07-4 设有离散系统的差分方程为y(n)4 y(n 1)3 y(n 2)4 f (n)f (n 1)试画出其时域模拟图。解原方程可以写为y(n)4 y(n 1)3 y(n 2)4 f (n)f (n 1)从而可得时域模拟图p 7-4,图中D为单位延时(位移)器。D D D图 p 7-47-5 如图所示为工程上常用的数字处理系统
34、，是列出其差分方程。DDD题 7-5 图 5 2解由图可得差分方程y(n)b O f(n)b lf(n 1)b 2f(n 2)b 3 f(n 3)7-6设有序列f l(n)和f 2(n),如图7-6所示，试用二种方法求二者的卷积。题7-6图解 方 法 一：用“乘法”2 1.5 1 1 1.5 21 1 1 12 1.5 1 1 1.5 221 12221.51.5 21.51.51.51.53.5 4.5 5.5 5 5.5 4.5 3.5 2111122即有f l(n)f 2(n)2,3.5,4.5,5.5,5,5.5,4.5,3.5,2n 0方法二：用单位序列表示各函数后卷积。因为f l(
35、n)2(n)1.5 (n 1)(n2)(n3)1.5(n4)2(n 5)f 2(n)(n)(n 1)(n2)(n3)f l(n)f 2(n)2(n)3.5(n1)4.5(n2)5.5(n3)5 (n 4)5.5 (n 5)4.5(n6)3.5(n7)(n 8)则27-7设有一阶系统为5 3y(n)0.8 y(n 1)f(n)试求单位响应h(n)和阶跃响应s(n),并画出s(n)的图形。解由方程知特征根=0.8,故h(n)(n)0.8 (n)nn阶跃响应为s(n)h(n)(n)1 0.8n 11 0.85(1 0.8n 1)(n)s(n)的图形如图p 7-7 所示。图 p 7-77-8 设离散系
36、统的单位响应h(n)O n(n),输入信号f(n)2 n,试求零状态响应y(n)o3 1解由给定的(n)和 h(n),得y(n)f(n)h(n)k Onf(n k)h(k)lk(6)k 0k 02n k0 231k因为ak 0n1 an 11 aa 1故得y(n)652(n)nlln0(n)537-9试证明(n)(n)nln21n 11n 11 254证明nn(n)nn kl2(n)1kn21kl k2k 0k 02nn 1(2kn)n 111(k 0)112 n 11)1n 12 1n 11n n 1121nl1 21217-10已知系统的单位响应,h(n)an(n)(0 a 1)输入信号f
37、(n)(n)(n 6),求系统的零状态响应。解y(n)f(n)h(n)(n)(n 6)J 切(n)因为n(n)an(n)ak1 an 1k 01 a(n)利用时延性质，则6(n 6)a n(n)1 an 11 a (n 6)所以得1 an 5y (n)1 an l a(n)1 a(n 6)55第 8 章习题解析8-1 求下列离散信号的Z变换，并注明收敛域。(a)(n 2)(b)a-n (n )(c)0.5n 1(n 1 )(d)(0.5n +0.25n )(n )解(a)F(z)z 2,0 z(b)F(z)a n z n (a z)nn On 0I z1 (a z)1z 1,a(c)F(z)0
38、.5n 1 z n 2(l)nn I n 12zL z 1z 122(d)F(z)0.5n z n 0.25n z nn On 0z zz 0.5 z 0.25,z 0.58-2 求下列F(z )的反变换f(n )。(a)F(z)1 324z 1 18z(b)F(z)1 2z 1z 1 2(c)F(z)2z(z 1)(z 2)(d)F (z)3z 2 z(z 0.2)(z 0.4)(e)F(z)z(z 2)(z 1)2解(a)因为z l a 561 0.5z 1F(z)z 0.5z(z(z14)2故F(z)z(zz 0.512)(z14)K l z12K 2z14解得K I =4,K 2=3进
39、而F(z)4zz13z 2z14所以f(n)4(In2)n3(14)1(n)(b)F(z)z 2zl 2z1 2z21 2zz22(z12)2(z12)所以f(n)lln2(2)(n)(12)n 1(n 1)(c)由于F(z)2z (z 1)(z 2)故F(z)K l z2(z 1)(z 2)z 1K 2z 2解得K I =2,K 2=2进而F(z)2z z 12z z 2所以f(n)2(n)2(2)n(n)2(2n1)(n)(d)由于2F(z)3z z (z 0.2)(z 0.4)故 57F(z)z3z l(z 0.2)(z 0.4)K l z 0.2K 2z 0.4解得K 8113K 23
40、故有8z1F(z)33z 0.2z 0.4所以f(n)83(0.2)n In3(0.4)(n)(e)由于F(z)z(z 2)(z 1)2故F(z)KlKHK12zl(z 2)(z 1)2z 2(z 1)2z 1解得K 1=1,K11=1,K12=1从而有F(z)zzz 2z(z 1)2z 1故得f(n)(2nn 1)(n)8-3试 用z变换的性质求以下序列的z变换。(a)f(n)(n 3)(n 3)(b)f(n)(n)(n N)解(a)由时延性质,有F(z)z 3l(z 1)2zz2(z 1)2(b)F(z)z Nz 1zNz z z 1z 1(1 z)8-4 试证明初值定理f(0)l i m
41、 zF(z)58证明因为F(z)f (n)z n f (0)f (l)z 1 f (2)z 2n 0当 z 时，则上式右边除f(0)外均为零，故f (0)l i m z F(z)8-5 试用卷和定理证明以下关系：(a)f(n)(n m)f(n m)(b)(n)(n)(n 1)(n)证 明（a）因由卷和定理f (n)(n m)F (z)z m而f (n m)z m F(z)故得f (n)(n m)f (n m)(b)因为2(n)(n)zz 1 zz 1 z(z 1)2而2(n 1)(n)n (n)(n)z z(z 1)2z 1 z(z 1)2所以(n)(n)(n 1)(n)8-6 已 知(n)(
42、n)(n 1)(n),试求 n (n)的 Z 变换。解因由卷和定理(n)(n)z 2(z 1)2而n(n)(n 1)(n)(n)所 以59n(n)z22(z 1)zz 1 z(z 1)28-7已知因果序列的Z变换为F(z),试分别求下列原序列的初值f(0)。(1)F(z)(2)F(z)解F(z)所以f(0)limF(z)1 z 1(1 0.5z)(1 0.5z Iz 1 1)1 1.5z 1 0.5zl 21 0.25z 2 z22z 0.25(2)F(z)所以 zz 1.5z 0.52f(0)limF(z)Oz8-8已知系统的差分方程、输入和初始状态如下，试 用Z变换法求系统的完全响应。y(
43、n)12y(n 1)f(n)12f(n 1)f(n)(n),y(1)1。解 对方程取Z变换，有Y(z)0.5zY(z)0.5 F(z)0.5z 1 IF(z)即(1 0.5z 1)Y (z)(1 0.5z 1)zz 1 0.5故Y (z)zz 1 0.5zz 0.5所以y (n)(n)0.5(0.5)n8-9 设系统差分方程为y (n)5y (n 1)6y (n 2)f (n)60起始状态丫(1)=3,y(2)=2,当 f(n )=z (n )B 寸，求系统的响应y(n )。解对差分方程取z 变换，得Y(z)5 z 1Y (z)y(1)6 z 2Y (z)zIy(1)y(2)F(z)即Y(z)
44、5z 1Y(z)15 6z 2Y(z)18z1122z z 1从而有2z18z13Y(z)1 5z 16z25z 321z 218z(z 1)(z 2)(z 3)故Y(z)K l K 2K 3zz 1z 2z 3解得K 1 二 1,K2=4,K3=0则有Y(z)zz 14zz 2得全响应y(n)(n)4(2)n(n)8-10设一系统的输入f(n)(n)4(n 1)2(n 2),系统函数H(z)1(1 z1)(1 0.5z1)试求系统的零状态响应。解因为2H(z)Zz 21.5z 0.5z2(z 0.5)(z 1)所以H (z)zK l K 2z(z 0.5)(z 1)z 0.5z 1解得K I
45、 =1,K 2=261故I I (z)zz 0.5 2zz 1得h(n)(0.5)2(n)n所以y(n)h(n)f(n)(0.5)n 2(n)(n)4(n 1)2(n 2)4(n)2(n)(0.5)n(n)8-11设有系统方程y(n)0.2y(n 1)0.8y(n 2)f(n)2f(n 1)试画出其Z域的模拟框图。解在零状态下对方程取z变换，得Y(z)0.2z lY(z)0.8z 2Y(z)F(z)2z IF(z)即(1 0.2z 1 0.8z 2)Y(z)(1 2z l)F(z)故有1H(z)Y(z)F(z)1 2z1 0.2z 1 0.8z 2由此可以画出模拟图如图p 8-ll所示。图 p
46、8-ll8-12如题8-12图所示z域框图，试写出其差分方程。62题8T 2图解由图可得1Y (z)b z1 az IF(z)故有(1 az 1)Y (z)(b z l)F(z)所以y(n)ay(n 1)bf(n)f(n 1)8-13如题8 T 3图所示z域框图，是写出其差分方程。题8-13图解由图可得X(z)11 az IF(z)Y (z)(1 bz l)X(z)故有1Y(z)1 bz1 az lF(z)63即(1 az 1)Y (z)(1 bz 1)F(z)从而有差分方程y(n)ay(n 1)f(n)bf(n 1)8-14对于题8-12和8 T 3,试分别写出系统函数H(z)解 对 于 题
47、8-1 2,因X(z)F(z)a z I X(z)F(z)(1 a z l)X(z)而 Y(z)b X(z)z I X(z)(b z l)X(z)故1I I(z)Y(z)F(z)b z1 a z 1对于题8-1 3,因X(z)11 a z I F(z)Y (z)(1 b z l)X(z)故1I I(z)Y (z)b zF(z)11 a z 18-1 5 已知某数字滤波器的差分方程为y(n)0.7y(n 1)0.12y(n 2)2f(n)f (n 1)(1)求系统函数H(z )；(2)求单位响应h(n)o解(1)在零状态下对方程取z 变换，得(1 0.7z 1 0.12z 2)Y(z)2F(z)
48、z l F(z)故系统函数12z 2I I (z)2 z z1 0.7z 1 0.12z 2 z 2 0.7z 0.12(2)由于I I(z)2z 2 z 4z 2zz 2 0.7z 0.12 z 0.3 z 0.464故单位响应h(n)4(0.3)2(0.4)(n)n n8-1 6如题8-16图所示系统，试求其系统函数日(8-16 图解由模拟图可得2H(z)0.6z 2 3.6z 13z )和单位响应h(n)o1 0.l z 1 0.2z 2 3z 3.6z 0.6z 2 0.I z0.23z 2 3.6z0.6K l z K 2z(z 0.5)(z 0.4)K O z 0.5z 0.4可得
49、K O=3,K I1,K 27故得h(n)3(n)(0.5)n(n)7(0.4)n (n)8-1 7设阶系统为y(n)13y(n 1)f(n)(1)求单位响应h(n)；(2)若系统的零状态响应为y (n)3 (I n i n2)(3)(n)试求输入信号。65解(1)对方程取z 变换，得(113z1)Y(z)F(z)故H(z)1113z1z z13所以h(n)(I n3)(n)(2)由 y(n)可得 Y(z )Y(z)3z z z 0.53z13故有F(z)Y(z)0.5H(z)z 0.5最后输入f(n)0.5(0.5)n(n 1)8-18设离散系统输入f(n)(n)时，零状态响应y(n)f (
50、n)0.5n(n)时，求系统的响应；该系统是否稳定？解Y(z)2z 2z z 10.5n)(n)；z 0.5Y(z)z z 1故H(z)Y(z)l)F(z)22(z z 0.5当 f(n)0.5n (n)时，则F(z)z z 0.5所以Y (z)H(z)F (z)2z 2z(z l)z 0.5(z 0.5)2最后得y (n)2n (0.5)n(n)若输入668-19设有一个二阶横向滤波器，它可对输入序列的当前值及以前的两个采样值进行平均，即y (n)13f(n)f(n 1)f(n 2)问该系统是否稳定？若稳定试求其幅频特性和相频特性。解 对 方 程 取z变换，得H(z)Hz23(1 z 1 z