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1、小 学 四 年 级 下 册 数 学 奥 数 知 识 点 讲 解 第 1课 乘 法 原 理 试 题 附 答 案 第 一 讲 乘 法 原 理 在 日 常 生 活 中 常 常 会 遇 到 这 样 一 些 问 题，就 是 在 做 一 件 事 时，要 分 几 步 才 能 完 成，而 在 完 成 每 一 步 时，又 有 几 种 不 同 的 方 法，要 知 道 完 成 这 件 事 一 共 有 多 少 种 方 法，就 用 我 们 将 讨 论 的 乘 法 原 理 来 解 决.例 如 某 人 要 从 北 京 到 大 连 拿 一 份 资 料，之 后 再 到 天 津 开 会.其 中，他 从 北 京 到 大 连 可 以
2、 乘 长 途 汽 车、火 车 或 飞 机，而 他 从 大 连 到 天 津 却 只 想 乘 船.那 么，他 从 北 京 经 大 连 到 天 津 共 有 多 少 种 不 同 的 走 法？分 析 这 个 问 题 发 现，某 人 从 北 京 到 天 津 要 分 两 步 走.第 一 步 是 从 北 京 到 大 连，可 以 有 三 种 走 法，即：第 二 步 是 从 大 连 到 天 津,有 下 面 的 三 种 走 法：只 选 择 乘 船 这 一 种 走 法，所 以 他 从 北 京 到 天 津 共 注 意 到 3X1=3.如 果 此 人 到 大 连 后，可 以 乘 船 或 飞 机 到 天 津，那 么 他 从
3、 北 京 到 天 津 则 有 以 下 的 走 法：共 有 六 种 走 法，注 意 到 3X2=6.在 上 面 讨 论 问 题 的 过 程 中，我 们 把 所 有 可 能 的 办 法 一 一 列 举 出 来.这 种 方 法 叫 穷 举 法.穷 举 法 对 于 讨 论 方 法 数 不 太 多 的 问 题 是 很 有 效 的.在 上 面 的 例 子 中，完 成 一 件 事 要 分 两 个 步 骤.由 穷 举 法 得 到 的 结 论 看 到，用 第 一 步 所 有 的 可 能 方 法 数 乘 以 第 二 步 所 有 的 可 能 方 法 数，就 是 完 成 这 件 事 所 有 的 方 法 数.例 1 某
4、 人 到 食 堂 去 买 饭，主 食 有 三 种，副 食 有 五 种，他 主 食 和 副 食 各 买 一 种，共 有 多 少 种 不 同 的 买 法？分 析 某 人 买 饭 要 分 两 步 完 成，即 先 买 一 种 主 食，再 买 一 种 副 食（或 先 买 副 食 后 买 主 食）.其 中，买 主 食 有 3种 不 同 的 方 法，买 副 食 有 5种 不 同 的 方 法.故 可 以 由 乘 法 原 理 解 决.例 2 右 图 中 有 7个 点 和 十 条 线 段，一 只 甲 虫 要 从 A点 沿 着 线 段 爬 到 B点，要 求 任 何 线 段 和 点 不 得 重 复 经 过.问：这 只
5、 甲 虫 最 多 有 几 种 不 同 的 走 法？例 3 书 架 上 有 6本 不 同 的 外 语 书，4本 不 同 的 语 文 书，从 中 任 取 外 语、语 文 书 各 一 本，有 多 少 种 不 同 的 取 法？例 4 王 英、赵 明、李 刚 三 人 约 好 每 人 报 名 参 加 学 校 运 动 会 的 跳 远、跳 高、100米 跑、200米 跑 四 项 中 的 一 项 比 赛，问：报 名 的 结 果 会 出 现 多 少 种 不 同 的 情 形?例 5 由 数 字 0、1、2、3组 成 三 位 数，问：可 组 成 多 少 个 不 相 等 的 三 位 数？可 组 成 多 少 个 没 有
6、重 复 数 字 的 三 位 数?例 6 由 数 字 1、2、3,4、5、6共 可 组 成 多 少 个 没 有 重 复 数 字 的 四 位 奇 数?例 7 右 图 中 共 有 16个 方 格，要 把 A、B、C、D四 个 不 同 的 棋 子 放 在 方 格 里，并 使 每 行 每 列 只 能 出 现 一 个 棋 子.问：共 有 多 少 种 不 同 的 放 法？例 8 现 有 一 角 的 人 民 币 4张，贰 角 的 人 民 币 2张，壹 元 的 人 民 币 3张，如 果 从 中 至 少 取 一 张，至 多 取 9张，那 么，共 可 以 K 成 多 少 种 不 同 的 钱 数？答 案 例 1 某
7、人 到 食 堂 去 买 饭，主 食 有 三 种，副 食 有 五 种，他 主 食 和 副 食 各 买 一 种，共 有 多 少 种 不 同 的 买 法？分 析 某 人 买 饭 要 分 两 步 完 成，即 先 买 一 种 主 食，再 买 一 种 副 食（或 先 买 副 食 后 买 主 食）.其 中，买 主 食 有 3种 不 同 的 方 法，买 副 食 有 5种 不 同 的 方 法.故 可 以 由 乘 法 原 理 解 决.解，由 乘 法 原 理，主 食 和 副 食 各 买 一 种 共 有 3X5=15种 不 同 的 方 法.补 充 说 明：由 例 题 可 以 看 出，乘 法 原 理 运 用 的 范 围
8、 是：这 件 事 要 分 几 个 彼 此 互 不 影 响 的 独 立 步 骤 来 完 成；每 个 步 骤 各 有 若 干 种 不 同 的 方 法 来 完 成.这 样 的 问 题 就 可 以 使 用 乘 法 原 理 解 决 问 题.例 2 右 图 中 有 7个 点 和 十 条 线 段，一 只 甲 虫 要 从 A点 沿 着 线 段 爬 到 B点，要 求 任 何 线 段 和 点 不 得 重 复 经 过.问：这 只 甲 虫 最 多 有 几 种 不 同 的 走 法？分 析 甲 虫 要 从 A点 沿 线 段 爬 到 B点，必 经 过 C点，所 以，完 成 这 段 路 分 两 况 即 由 A到 C,再 由
9、C到 B.而 由 A到 C有 三 种 走 法，由 C到 B也 有 三 种 走 法，所 以，由 乘 法 原 理 便 可 得 到 结 论.解：这 只 甲 虫 从 A到 B共 有 3X 3=9种 不 同 的 走 法.例 3 书 架 上 有 6本 不 同 的 外 语 书，4本 不 同 的 语 文 书，从 中 任 取 外 语、语 文 书 各 一 本，有 多 少 种 不 同 的 取 法？分 析 要 做 的 事 情 是 从 外 语、语 文 书 中 各 取 一 本.完 成 它 要 分 两 步：即 先 年 一 本 外 语 书（有 6种 取 法），再 取 一 本 语 文 书（有 4种 取 法）.（或 先 取 语
10、文 书，再 取 外 语 书.）所 以，用 乘 法 原 理 解 决.解：从 架 上 各 取 一 本 共 有 6X4=24种 不 同 的 取 法.例 4 王 英、赵 明、李 刚 三 人 约 好 每 人 报 名 参 加 学 校 运 动 会 的 跳 远、跳 高、100米 跑、200米 跑 四 项 中 的 一 项 比 赛，问：报 名 的 结 果 会 出 现 多 少 种 不 同 的 情 形？分 析 三 人 报 名 参 加 比 赛，彼 此 互 不 影 响 独 立 报 名.所 以 可 以 看 成 是 分 三 步 完 成，即 一 个 人 一 个 人 地 去 报 名.首 先，王 英 去 报 名，可 报 4个 项
11、目 中 的 一 项，有 4种 不 同 的 报 名 方 法.其 次，赵 明 去 报 名，也 有 4种 不 同 的 报 名 方 法.同 样，李 刚 也 有 4种 不 同 的 报 名 方 法.满 足 乘 法 原 理 的 条 件，可 由 乘 法 原 理 解 决.解：由 乘 法 原 理，报 名 的 结 果 共 有 4 X 4 X 4=6 4种 不 同 的 情 形.例 5 由 数 字 0、1、2、3组 成 三 位 数，问：可 组 成 多 少 个 不 相 等 的 三 位 数？可 组 成 多 少 个 没 有 重 复 数 字 的 三 位 数？分 析 在 确 定 由 0、1、2、3组 成 的 三 位 数 的 过
12、程 中，应 该 一 位 一 位 地 去 确 定.所 以，每 个 问 题 都 可 以 看 成 是 分 三 个 步 骤 来 完 成.要 求 组 成 不 相 等 的 三 位 数.所 以，数 字 可 以 重 复 使 用，百 位 上，不 能 取 0,故 有 3种 不 同 的 取 法；十 位 上，可 以 在 四 个 数 字 中 任 取 一 个，有 4种 不 同 的 取 法；个 位 上，也 有 4种 不 同 的 取 法，由 乘 法 原 理，共 可 组 成 3X4X4=48个 不 相 等 的 三 位 数.要 求 组 成 的 三 位 数 中 没 有 重 复 数 字，百 位 上，不 能 取 0,有 3种 不 同
13、的 取 法；十 位 上，由 于 百 位 已 在 1、2、3中 取 走 一 个，故 只 剩 下。和 其 余 两 个 数 字，故 有 3种 取 法；个 位 上，由 于 百 位 和 十 位 已 各 取 走 一 个 数 字，故 只 能 在 剩 下 的 两 个 数 字 中 取，有 2种 取 法，由 乘 法 原 理，共 有 3X3X2=18个 没 有 重 复 数 字 的 三 位 数.解：由 乘 法 原 理 共 可 组 成 3X4X4=48（个）不 同 的 三 位 数；共 可 组 成 3X3X2=18（个）没 有 重 复 数 字 的 三 位 数.例 6 由 数 字 1、2、3、4、5、6共 可 组 成 多
14、少 个 没 有 重 复 数 字 的 四 位 奇 数？分 析 要 组 成 四 位 数，需 一 位 一 位 地 确 定 各 个 数 位 上 的 数 字，即 分 四 步 完 成，由 于 要 求 组 成 的 数 是 奇 数，故 个 位 上 只 有 能 取 L 3、5中 的 一 个，有 3种 不 同 的 取 法；十 位 上，可 以 从 余 下 的 五 个 数 字 中 取 一 个，有 5种 取 法；百 位 上 有 4种 取 法；千 位 上 有 3种 取 法，故 可 由 乘 法 原 理 解 决.解：由 1、2,3、4、5、6共 可 组 成 3X4X5X3=180个 没 有 重 复 数 字 的 四 位 奇 数
15、.例 7 右 图 中 共 有 16个 方 格，要 把 A、B、C、D四 个 不 同 的 棋 子 放 在 方 格 里，并 使 每 行 每 列 只 能 出 现 一 个 棋 子.问：共 有 多 少 种 不 同 的 放 法？分 析 由 于 四 个 棋 子 要 一 个 一 个 地 放 入 方 格 内.故 可 看 成 是 分 四 步 完 成 这 件 事.第 一 步 放 棋 子 A,A可 以 放 在 16个 方 格 中 的 任 意 一 个 中，故 有 16种 不 同 的 放 法；第 二 步 放 棋 子 B,由 于 A已 放 定，那 么 放 A的 那 一 行 和 一 列 中 的 其 他 方 格 内 也 不 能
16、 放 B,故 还 剩 下 9个 方 格 可 以 放 B,B有 9种 放 法；第 三 步 放 C,再 去 掉 B所 在 的 行 和 列 的 方 格，还 剩 下 四 个 方 格 可 以 放 C,C有 4种 放 法；最 后 一 步 放 D,再 去 掉 C所 在 的 行 和 列 的 方 格，只 剩 下 一 个 方 格 可 以 放 D,D有 1种 放 法，本 题 要 由 乘 法 原 理 解 决.解：由 乘 法 原 理，共 有 16X9X4X1=576种 不 同 的 放 法.例 8 现 有 一 角 的 人 民 币 4张，贰 角 的 人 民 币 2张，壹 元 的 人 民 币 3张，如 果 从 中 至 少 取
17、 一 张，至 多 取 9张，那 么，共 可 以 S已 成 多 少 种 不 同 的 钱 数？分 析 要 从 三 种 面 值 的 人 民 币 中 任 取 几 张，构 成 一 个 钱 数，需 一 步 一 步 地 来 做.如 先 取 一 角 的，再 取 贰 角 的，最 后 取 壹 元 的.但 注 意 到，取 2张 一 角 的 人 民 币 和 取 1张 贰 角 的 人 民 币，得 到 的 钱 数 是 相 同 的.这 就 会 产 生 重 复，如 何 解 决 这 一 问 题 呢？我 们 可 以 把 壹 角 的 人 民 币 4张 和 贰 角 的 人 民 币 2张 统 一 起 来 考 虑.即 从 中 取 出 几
18、 张 组 成 一 种 面 值，看 共 可 以 组 成 多 少 种.分 析 知，共 可 以 组 成 从 壹 角 到 捌 角 间 的 任 何 一 种 面 值，共 8种 情 况.（即 取 两 张 壹 角 的 人 民 币 与 取 一 张 贰 角 的 人 民 币 是 一 种 情 况；取 4张 壹 角 的 人 民 币 与 取 2张 贰 角 的 人 民 币 是 一 种 情 况.）这 样 一 来，可 以 把 它 们 看 成 是 8张 壹 角 的 人 民 币.整 个 问 题 就 变 成 了 从 8张 壹 角 的 人 民 币 和 3张 壹 元 的 人 民 币 中 分 别 取 钱.这 样，第 一 步，从 8张 壹
19、角 的 人 民 币 中 取，共 9种 取 法，即 0、1、2、3、4、5、6、7,8；第 二 步,从 3张 壹 元 的 人 民 币 中 取 共 4种 取 泊 即 0、1、2,3.由 乘 法 原 理,共 有 9X4=36种 情 形，但 注 意 到，要 求“至 少 取 一 张”而 现 在 包 含 了 一 张 都 不 取 的 这 一 种 情 形，应 减 掉.解：取 出 的 总 钱 数 是 9X4-1=35种 不 同 的 情 形.习 题 一 1.某 罪 犯 要 从 甲 地 途 经 乙 地 和 丙 地 逃 到 丁 地，现 在 知 道 从 甲 地 到 乙 地 有 3条 路 可 以 走，从 乙 地 到 丙
20、地 有 2条 路 可 以 走，从 丙 地 到 丁 地 有 4条 路 可 以 走.问，罪 犯 共 有 多 少 种 逃 走 的 方 法？2.如 右 图，在 三 条 平 行 线 上 分 别 有 一 个 点，四 个 点，三 个 点（且 不 在 同 一 条 直 线 上 的 三 个 点 不 共 线）.在 每 条 直 线 上 各 取 一 个 点，可 以 画 出 一 个 三 角 形.问：一 共 可 以 画 出 多 少 个 这 样 的 三 角 形？B C D EF G H3.在 自 然 数 中，用 两 位 数 做 被 减 数，用 一 位 数 做 减 数.共 可 以 组 成 多 少 个 不 同 的 减 法 算 式
21、？4.一 个 篮 球 队，五 名 队 员 A、B、C、D、E,由 于 某 种 原 因，C不 能 做 中 锋,而 其 余 四 人 可 以 分 配 到 五 个 位 置 的 任 何 一 个 上.问：共 有 多 少 种 不 同 的 站 位 方 法？5.由 数 字 1、2,3、4、5、6,7、8可 组 成 多 少 个 三 位 数？三 位 偶 数？没 有 重 复 数 字 的 三 位 偶 数？百 位 为 8的 没 有 重 复 数 字 的 三 位 数？百 位 为 8的 没 有 重 复 数 字 的 三 位 偶 数？6.某 市 的 电 话 号 码 是 六 位 数 的，首 位 不 能 是 0,其 余 各 位 数 上
22、 可 以 是。9中 的 任 何 一 个，并 且 不 同 位 上 的 数 字 可 以 重 复.那 么，这 个 城 市 最 多 可 容 纳 多 少 部 电 话 机？四 年 级 奥 数 下 册：第 一 讲 乘 法 原 理 习 题 解 答习 题 一 解 答 1.3X2X4=24（种）.2.1X4X3=12（个）.3.90X9=810（个）.4.4X4X3X2X1=96（种）.5.8X8X8=512（个）；4X8X8=256（个）4X7X6=168（个）；IX7X6=42（个）；（5）1X3X6=18（个）6.9X10X10X10X10X10=900000（部）.小 学 四 年 级 下 册 数 学 奥
23、数 知 识 点 讲 解 第 2 课 加 法 原 理 试 题 附 答 案 笫 二 讲 加 法 原 理 生 活 中 常 有 这 样 的 情 况，就 是 在 做 一 件 事 时，有 几 类 不 同 的 方 法，而 每 一 类 方 法 中，又 有 几 种 可 能 的 做 法.那 么，考 虑 完 成 这 件 事 所 有 可 能 的 做 法，就 要 用 我 们 将 讨 论 的 加 法 原 理 来 解 决.例 如 某 人 从 北 京 到 天 津，他 可 以 乘 火 车 也 可 以 乘 长 途 汽 车，现 在 知 道 每 天 有 五 次 火 车 从 北 京 到 天 津，有 4趟 长 途 汽 车 从 北 京 到
24、 天 津.那 么 他 在 一 天 中 去 天 津 能 有 多 少 种 不 同 的 走 法？分 析 这 个 问 题 发 现，此 人 去 天 津 要 么 乘 火 车，要 么 乘 长 途 汽 车，有 这 两 大 类 走 法，如 果 乘 火 车，有 5种 走 法，如 果 乘 长 途 汽 车，有 4种 走 法.上 面 的 每 一 种 走 法 都 可 以 从 北 京 到 天 津，故 共 有 5+4=9种 不 同 的 走 法.在 上 面 的 问 题 中，完 成 一 件 事 有 两 大 类 不 同 的 方 法.在 具 体 做 的 时 候，只 要 采 用 一 类 中 的 一 种 方 法 就 可 以 完 成.并
25、且 两 大 类 方 法 是 互 无 影 响 的，那 么 完 成 这 件 事 的 全 部 做 法 数 就 是 用 第 一 类 的 方 法 数 加 上 第 二 类 的 方 法 数.例 1 学 校 组 织 读 书 活 动，要 求 每 个 同 学 读 一 本 书.小 明 到 图 书 馆 借 书 时，图 书 馆 有 不 同 的 外 语 书 150本，不 同 的 科 技 书 200本，不 同 的 小 说 100本.那 么，小 明 借 一 本 书 可 以 有 多 少 种 不 同 的 选 法？例 2 一 个 口 袋 内 装 有 3个 小 球，另 一 个 口 袋 内 装 有 8个 小 球，所 有 这 些 小 球
26、 颜 色 各 不 相 同.问：从 两 个 口 袋 内 任 取 一 个 小 球，有 多 少 种 不 同 的 取 怯？从 两 个 口 袋 内 各 取 一 个 小 球，有 多 少 种 不 同 的 取 法？例 3 如 右 图，从 甲 地 到 乙 地 有 4条 路 可 走，从 乙 地 到 丙 地 有 2条 路 可 走，从 甲 地 到 丙 地 有 3条 路 可 走.那 么，从 甲 地 到 丙 地 共 有 多 少 种 走 法？例 4 如 下 页 图，一 只 小 甲 虫 要 从 A点 出 发 沿 着 线 段 爬 到 B点，要 求 任 何 点 和 线 段 不 可 重 复 经 过.问：这 只 甲 虫 有 多 少
27、种 不 同 的 走 法？例 5 有 两 个 相 同 的 正 方 体，每 个 正 方 体 的 六 个 面 上 分 别 标 有 数 字 1、2,3,4,5、6.将 两 个 正 方 体 放 到 桌 面 上，向 上 的 一 面 数 字 之 和 为 偶 数 的 有 多 少 种 情 形？例 6 从 1到 500的 所 有 自 然 数 中，不 含 有 数 字 4的 自 然 数 有 多 少 个?例 7 如 下 贝 左 图，要 从 A点 沿 线 段 走 到 B,要 求 每 一 步 都 是 向 右、向 上 或 者 向 斜 上 方.问 有 多 少 种 不 同 的 走 法？答 案 例 1 学 校 组 织 读 书 活
28、动，要 求 每 个 同 学 读 一 本 书.小 明 到 图 书 馆 借 书 时，图 书 馆 有 不 同 的 外 语 书 150本，不 同 的 科 技 书 200本，不 同 的 小 说 100本.那 么，小 明 借 一 本 书 可 以 有 多 少 种 不 同 的 选 法？分 析 在 这 个 问 题 中，小 明 选 一 本 书 有 三 类 方 法.即 要 么 选 外 语 书，要 么 选 科 技 书，要 么 选 小 说.所 以，是 应 用 加 法 原 理 的 问 题.解：小 明 借 一 本 书 共 有:150+200+100=450（种）不 同 的 选 法.例 2 一 个 口 袋 内 装 有 3个
29、小 球，另 一 个 口 袋 内 装 有 8个 小 球，所 有 这 些 小 球 颜 色 各 不 相 同.问：从 两 个 口 袋 内 任 取 一 个 小 球，有 多 少 种 不 同 的 取 法？从 两 个 口 袋 内 各 取 一 个 小 球，有 多 少 种 不 同 的 取 法？分 析 中，从 两 个 口 袋 中 只 需 取 一 个 小 球，则 这 个 小 球 要 么 从 第 一 个 口 袋 中 取，要 么 从 第 二 个 口 袋 中 取，共 有 两 大 类 方 法.所 以 是 加 法 原 理 的 问 题.中，要 从 两 个 口 袋 中 各 取 一 个 小 球，则 可 看 成 先 从 第 一 个 口
30、 袋 中 取 一 个，再 从 第 二 个 口 袋 中 取 一 个，分 两 步 完 成，是 乘 法 原 理 的 问 题.解：从 两 个 口 袋 中 任 取 一 个 小 球 共 有 3+8=11（种），不 同 的 取 法.从 两 个 口 袋 中 各 取 一 个 小 球 共 有 3X8=24（种）不 同 的 取 法.补 充 说 明：由 本 题 应 注 意 加 法 原 理 和 乘 法 原 理 的 区 别 及 使 用 范 围 的 不 同，乘 法 原 理 中，做 完 一 件 事 要 分 成 若 干 个 步 骤，一 步 接 一 步 地 去 做 才 能 完 成 这 件 事；加 法 原 理 中，做 完 一 件
31、事 可 以 有 几 类 方 法，每 一 类 方 法 中 的 一 种 做 法 都 可 以 完 成 这 件 事.事 实 上，住 住 有 许 多 事 情 是 有 几 大 类 方 法 来 做 的，而 每 一 类 方 法 又 要 由 几 步 来 完 成，这 就 要 熟 悉 加 法 原 理 和 乘 法 原 理 的 内 容，综 合 使 用 这 两 个 原 理.例 3 如 右 图，从 甲 地 到 乙 地 有 4条 路 可 走，从 乙 地 到 丙 地 有 2条 路 可 走，从 甲 地 到 丙 地 有 3条 路 可 走.那 么，从 甲 地 到 丙 地 共 有 多 少 种 走 法？分 析 从 甲 地 到 丙 地 共
32、 有 两 大 类 不 同 的 走 法.第 一 类，由 甲 地 途 经 乙 地 到 丙 地.这 时，要 分 两 步 走，第 一 步 从 甲 地 到 乙 地，有 4种 走 法；第 二 步 从 乙 地 到 丙 地 共 2种 走 法，所 以 由 乘 法 原 理，这 时 共 有 4X 2=8种 不 同 的 走 法.第 二 类，由 甲 地 直 接 到 丙 地，由 条 件 知，有 3种 不 同 的 走 法.解：由 加 法 原 理 知，由 甲 地 到 丙 地 共 有：4X2+3=11（种）不 同 的 走 法.例 4 如 下 页 图，一 只 小 甲 虫 要 从 A点 出 发 沿 着 线 段 爬 到 B点，要 求
33、 任 何 点 和 线 段 不 可 重 复 经 过.问：这 只 甲 虫 有 多 少 种 不 同 的 走 法？分 析 从 A点 到 B点 有 两 类 走 法，一 类 是 从 A点 先 经 过 C点 到 B点，一 类 是 从 A点 先 经 过 D点 到 B点.两 类 中 的 每 一 种 具 体 走 法 都 要 分 两 步 完 成，所 以 每 一 类 中，都 要 用 乘 法 原 理，而 最 后 计 算 从 A到 B的 全 部 走 法 时，只 要 用 加 法 原 理 求 和 即 可.解：从 A点 先 经 过 C到 B点 共 有：1X3=3（种）不 同 的 走 法.从 A点 先 经 过 D到 B点 共 有
34、：2义 3=6（种）不 同 的 走 法.所 以，从 A点 到 B点 共 有：3+6=9（种）不 同 的 走 法.例 5 有 两 个 相 同 的 正 方 体，每 个 正 方 体 的 六 个 面 上 分 别 标 有 数 字 1、2,3、4、5、6.将 两 个 正 方 体 放 到 桌 面 上，向 上 的 一 面 数 字 之 和 为 偶 数 的 有 多 少 种 情 形？分 析 要 使 两 个 数 字 之 和 为 偶 数，只 要 这 两 个 数 字 的 奇 偶 性 相 同，即 这 两 个 数 字 要 么 同 为 奇 数，要 么 同 为 偶 数，所 以，要 分 两 大 类 来 考 虑.第 一 类，两 个
35、数 字 同 为 奇 数.由 于 放 两 个 正 方 体 可 认 为 是 一 个 一 个 地 放.放 第 一 个 正 方 体 时，出 现 奇 数 有 三 种 可 能，即 1,3,5；放 第 二 个 正 方 体，出 现 奇 数 也 有 三 种 可 能，由 乘 法 原 理，这 时 共 有 3X3=9种 不 同 的 情 形.第 二 类，两 个 数 字 同 为 偶 数，类 似 第 一 类 的 讨 论 方 法，也 有 3X3=9种 不 同 情 形.最 后 再 由 加 法 原 理 即 可 求 解.解：两 个 正 方 体 向 上 的 一 面 同 为 奇 数 共 有 3X3=9（种）不 同 的 情 形；两 个
36、正 方 体 向 上 的 一 面 同 为 偶 数 共 有 3X3=9（种）不 同 的 情 形.所 以，两 个 正 方 体 向 上 的 一 面 数 字 之 和 为 偶 数 的 共 有 3X3+3X3=18（种）不 同 的 情 形.例 6 从 1到 500的 所 有 自 然 数 中，不 含 有 数 字 4的 自 然 数 有 多 少 个？分 析 从 1到 500的 所 有 自 然 数 可 分 为 三 大 类，即 一 位 数，两 位 数，三 位 数.一 位 数 中，不 含 4的 有 8个，它 们 是 1、2,3、5、6、7、8、9；两 位 数 中，不 含 4的 可 以 这 样 考 虑：十 位 上，不 含
37、 4的 有 1、2、3、5,6、7,8,9这 八 种 情 况.个 位 上,不 含 4的 有 0、1、2,3、5、6、7,8、9这 九 种 情 况，要 确 定 一 个 两 位 数，可 以 先 取 十 位 数，再 取 个 位 数，应 用 乘 法 原 理，这 时 共 有 8X9=72个 数 不 含 4.三 位 数 中，小 于 500并 且 不 含 数 字 4的 可 以 这 样 考 虑：百 位 上，不 含 4的 有 1、2、3、这 三 种 情 况.十 位 上，不 含 4的 有 0、1、2,3、5、6、7、8、9这 九 种 情 况，个 位 上，不 含 4的 也 有 九 种 情 况.要 确 定 一 个 三
38、 位 数，可 以 先 取 百 位 数，再 取 十 位 数，最 后 取 个 位 数，应 用 乘 法 原 理，这 时 共 有 3X9X9=243个 三 位 数.由 于 500也 是 一 个 不 含 4的 三 位 数.所 以，1500中，不 含 4的 三 位 数 共 有 3X 9X9+1=244个.解：在 1500中，不 含 4的 一 位 数 有 8个；不 含 4的 两 位 数 有 8X9=72个；不 含 4的 三 位 数 有 3X9X9+1=244个，由 加 法 原 理，在 1500中，共 有：8+8X9+3X9X9+1=324（个）不 含 4的 自 然 数.补 充 说 明：这 道 题 也 可 以
39、 这 样 想：把 一 位 数 看 成 是 前 面 有 两 个 0的 三 位 数，如：把 1看 成 是 0 0 1.把 两 位 数 看 成 是 前 面 有 一 个。的 三 位 数.如：把 11看 成 0 1 1.那 么 所 有 的 从 1到 500的 自 然 数 都 可 以 看 成 是“三 位 数”，除 去 500外，考 虑 不 含 有 4的 这 样 的“三 位 数 百 位 上，有 0、1、2、3这 四 种 选 法；十 位 上，有 0、1、2,3、5、6、7、8、9这 九 种 选 法；个 位 上，也 有 九 种 选 法.所 以，除 500外，有 4X9X9=324个 不 含 4的“三 位 数”.
40、注 意 到，这 里 面 有 一 个 数 是 0 0 0,应 该 去 掉.而 500还 没 有 算 进 去，应 该 加 进 去.所 以，从 1到 500中，不 含 4的 自 然 数 仍 有 324个.这 是 一 种 特 殊 的 思 考 问 题 的 方 法，注 意 到 当 我 们 对“三 位 数”重 新 给 予 规 定 之 后，问 题 很 简 捷 地 得 到 解 决.例 7 如 下 或 左 图，要 从 A点 沿 线 段 走 到 B,要 求 每 一 步 都 是 向 右、向 上 或 者 向 斜 上 方.问 有 多 少 种 不 同 的 走 法？分 析 观 察 下 页 左 图，注 意 到，从 A到 B要
41、一 直 向 右、向 上，那 么，经 过 下 贯 右 图 中 C、D、E、F四 点 中 的 某 一 点 的 路 线 一 定 不 再 经 过 其 他 的 点.也 就 是 说 从 A到 B点 的 路 线 共 分 为 四 类，它 们 是 分 别 经 过 C、D、E、F的 路 线.第 一 类，经 过 C的 路 线，分 为 两 步，从 A到 C再 从 C到 B,从 A到 C有 2条 路 可 走，从 C到 B也 有 两 条 路 可 走，由 乘 法 原 理，从 第 直 到 B共 有 2X 2=4条 不 同 的 路 线.第 二 类，经 过 D点 的 路 线，分 为 两 步，从 A到 D有 4条 路，从 D到 B
42、有 4条 路，由 乘 法 原 理，从 M至 D到 B共 有 4X 4=16种 不 同 的 走 法.第 三 类，经 过 E点 的 路 线，分 为 两 步，从 A到 E再 从 E到 B,观 察 发 现.各 有 一 条 路.所 以，从 的 变 到 B共 有 1种 走 法.第 四 类，经 过 F点 的 路 线，从 M登 到 B只 有 一 种 走 法.最 后 由 加 法 原 理 即 可 求 解.解：如 上 右 图，从 A到 B共 有 下 面 的 走 法：从 M直 到 B共 有 2 X 2=4种 走 法；从 M至 D到 B共 有 4 X 4=16种 走 法；从 M迎 到 B共 有 1种 走 法；从 M卸
43、到 B共 有 1种 走 法.所 以，从 A到 B共 有：4+16+1+1=22科 不 目 的 去 注习 题 二 1.如 右 图，从 甲 地 到 乙 地 有 三 条 路，从 乙 地 到 丙 地 有 三 条 路，从 甲 地 到 丁 地 有 两 条 路，从 丁 地 到 丙 地 有 四 条 路，问：从 甲 地 到 丙 地 共 有 多 少 种 走 法？三 2.书 架 上 有 6本 不 同 的 画 报 和 7本 不 同 的 书，从 中 最 多 拿 两 本（不 能 不 拿），有 多 少 种 不 同 的 拿 法？3.如 下 图 中，沿 线 段 从 点 A 走 最 短 的 路 线 到 B,各 有 多 少 种 走
44、 法?4.在 11000的 自 然 数 中，一 共 有 多 少 个 数 字 0?5.在 1500的 自 然 数 中，不 含 数 字 0和 1的 数 有 多 少 个？6.十 把 钥 匙 开 十 把 锁，但 不 知 道 哪 把 钥 匙 开 哪 把 锁，问：最 多 试 开 多 少 次，就 能 把 锁 和 知 匙 配 起 来？四 年 级 奥 数 下 册：第 二 讲 加 法 原 理 习 题 解 答 习 题 二 解 答 1.3X3+2X4=17（种）.2.6+7+15+21+6X7=91（种）.提 示：拿 两 本 的 情 况 分 为 2本 画 报 或 2本 书 或 一 本 画 报 一 本 书.3.（1）6
45、；（2）10；（3）20；（4）35.4.9+180+3=192（个）.5.8+8X8+3X8X8=264（个）.6.9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）.小 学 四 年 级 下 册 数 学 奥 数 知 识 点 讲 解 第 3 课 排 列 试 题 附 答 案第 三 讲 排 列 在 实 际 生 活 中 常 遇 到 这 样 的 问 题，就 是 要 把 一 些 事 物 排 在 一 起，构 成 一 列，计 算 有 多 少 种 排 法.就 是 排 列 问 题.在 排 的 过 程 中，不 仅 与 参 加 排 列 的 事 物 有 关，而 且 与 各 事 物 所 在 的 先 后 顺 序 有 关.例
46、如 某 客 轮 航 行 于 天 津、青 岛、大 连 三 个 城 市 之 间.问：应 准 备 有 多 少 种 不 同 船 票？分 析 这 个 问 题，可 以 用 枚 举 法 解 决，三 个 城 市 之 间，船 票 有 下 面 六 种 设 置 方 式：船 票 天 津-青 岛 天 津-大 连 青 岛-天 津 青 岛-大 连 大 连-天 津,、今 如 果 不 用 枚 举 法，注 意 到 要 准 备 的 船 票 的 种 类 不 仅 与 所 选 的 两 个 城 市 有 关，而 且 与 这 两 个 城 市 作 为 起 点、终 点 的 顺 序 有 关，所 以，要 考 虑 共 准 备 多 少 种 不 同 的 船
47、 票，就 要 在 三 个 城 市 之 间 每 次 取 出 两 个，按 照 起 点、终 点 的 顺 序 排 列.首 先 确 定 起 点 站，在 三 个 城 市 中，任 取 一 个 为 起 点 站，共 有 三 种 选 法.其 次 确 定 终 点 站，每 次 确 定 了 一 个 起 点 站 后，只 能 从 剩 下 的 两 个 城 市 之 中 选 终 点 站，共 有 两 种 选 法.由 乘 法 原 理，共 需 准 备:3X2=6种 不 同 的 船 票.为 叙 述 方 便，我 们 把 研 究 对 象（如 天 津、青 岛、大 连）看 作 元 素，那 么 上 面 的 问 题 就 是 在 三 个 不 同 的
48、元 素 中 取 出 两 个，按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一 列 的 问 题.我 们 把 每 一 种 推 法 叫 做 一 个 排 列（如 天 津 一 一 青 岛 就 是 一 个 排 列），把 所 有 排 列 的 个 数 叫 做 排 列 数.那 么 上 面 的 问 题 就 是 求 排 列 数 的 问 题.一 般 地，从 n个 不 同 的 元 素 中 任 取 出 m 个（n n）元 素，按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一 列.叫 做 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 一 个 排 列.由 排 列 的 定 义 可 以 看 出，两 个 排 列 相 同，不 仅 要 求 这
49、 两 个 排 列 中 的 元 素 完 全 相 同，而 且 各 元 素 的 先 后 顺 序 也 一 样.如 果 两 个 排 列 的 元 素 不 完 全 相 同.或 者 各 元 素 的 排 列 顺 序 不 完 全 一 样，则 这 就 是 两 个 不 同 的 排 列.从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m 个（M n）元 素 的 所 有 排 列 的 个 数，叫 做 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m个 元 素 的 排 列 数，我 们 把 它 记 做 P弋.例 1 计 算（l）P。（2）P；-2P；.例 2 有 五 面 颜 色 不 同 的 小 旗，任 意 取 出 三 面 排 成 一 行 表 示
50、 一 种 信 号，问：共 可 以 表 示 多 少 种 不 同 的 信 号？例 3 用 1、2、3,4、5、6、7、8可 组 成 多 少 个 没 有 重 复 数 字 的 五 位 数?例 4 幼 儿 园 里 的 6名 小 朋 友 去 坐 优 不 同 的 椅 子，有 多 少 种 坐 法?例 5 幼 儿 园 里 3名 小 朋 友 去 坐 6把 不 同 的 椅 子（每 人 只 能 坐 一 把），有 多 少 种 不 同 的 坐 法？例 6 有 4个 同 学 一 起 去 郊 游，照 相 时，必 须 有 一 名 同 学 给 其 他 3人 拍 照，共 可 能 有 多 少 种 拍 照 情 况？（照 相 时 3人