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1、江苏省南京师大苏州实验学校2020届高三数学上学期第二次模拟考试试题(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1. 已知集合A0，1，2，3，Bx|00)的焦点与双曲线x21的右焦点重合，则实数p的值为_ 7. 在等差数列an中，若a5，8a62a4a2，则an的前6项和S6的值为_ 8. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为1，则该正四棱锥的侧面积为_ 9. 已知a，bR，函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)上是减函数，则关于x的不等式f(2x)0的解集为_10. 已知a0, b0，且a3b，则b的最大值为_11. 将函数f(x)
2、sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则以函数f(x)与g(x)的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为_12. 在ABC中，AB2，AC3，BAC60，P为ABC所在平面内的一点，满足2，则的值为_13. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2y22mx(4m6)y40(mR)与以C2(2，3)为圆心的圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足xxyy，则实数m的值为_14. 已知x0，y0，z0，且xyz6，则x3y23z的最小值为_二、 解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分) 在ABC
3、中，sin A，A.(1) 求sin 2A的值；(2) 若sin B，求cos C的值16. (本小题满分14分) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点(1) 求证：EF平面A1BD；(2) 若A1B1A1C1，求证：平面A1BD平面BB1C1C.17. (本小题满分14分) 如图，某公园内有两条道路AB，AP，现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把ABC所在的区域改造成绿化区域已知BAC，AB2 km. (1) 若绿化区域ABC的面积为1 km2，求道路BC的长度； (2) 若绿化区域ABC改造成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10
4、万元/km.设ABC，当为何值时，该计划所需的总费用最少？18. (本小题满分16分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上的一点M(m，0)(m为常数，且m(0，2)的直线与椭圆C交于A，B两点，与右准线l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与右准线l交于点Q.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由19. (本小题满分16分) 已知函数f(x)(xa)ln x(aR) (1) 若a1，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2) 若对于任意
5、的正数x，f(x)0恒成立，求实数a的值； (3) 若函数f(x)存在两个极值点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)，求实数a的取值范围20. (本小题满分16分) 已知数列an满足对任意的nN*，都有an(qnan1)2qnanan1an1(1qnan1)，且an1an0，其中a12，q0.记Tna1qa2q2a3qn1an. (1) 若q1，求T2 019的值； (2) 设数列bn满足bn(1q)Tnqnan. 求数列bn的通项公式； 若数列cn满足c11，且当n2时，cn2bn11，是否存在正整数k，t，使c1，ckc1，ctck成等比数列？若存在，求出所有k，t的值；若不存在，请
6、说明理由2019届高三年级第一次模拟考试(六)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A，B，求A1B.B. 选修44：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C：2cos .以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，设过点A(3，0)的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的斜率C. 选修45：不等式选讲(本小题满分10分)已知函数f(x)|x1|.(1)
7、解不等式f(x1)f(x3)6；(2) 若|a|1，|b|a|f.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分) 如图，在三棱锥DABC中，DA平面ABC，CAB90，且ACAD1，AB2，E为BD的中点(1) 求异面直线AE与BC所成角的余弦值；(2) 求二面角ACEB的余弦值 23. (本小题满分10分) 已知数列an满足a1，an12a2an，nN*.(1) 用数学归纳法证明：an；数学参考答案1. 1，22. 53. 24. 215. 6. 47. 8. 89. (0，4)10. 11. 12. 113. 614
8、. 15. (1) 由sin A，A，则cos A，(2分)所以sin 2A2sin Acos A. (6分)(2)由A，则B为锐角，又sin B，所以cos B， (8分)所以cos Ccos(AB)(cos Acos Bsin Asin B) (12分).(14分)16. (1) 因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EFA1B.(3分)因为EF平面A1BD，A1B平面A1BD，所以EF平面A1BD.(6分)(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面A1B1C1，因为A1D平面A1B1C1，所以BB1A1D. (8分)因为A1B1A1C1，且D是B1C1的中点，所以A1DB1C1.
9、(10分)因为BB1B1C1B1，B1C1，BB1平面BB1C1C，所以A1D平面BB1C1C.(12分)因为A1D平面A1BD，所以平面A1BD平面BB1C1C. (14分)17. (1) 因为在ABC中，已知BAC，AB2 km，所以ABC的面积SABACsin 1，解得AC2. (2分)在ABC中，由余弦定理得：BC2AB2AC22ABACcos 2222222cos 84，(4分)所以BC.(5分)(2) 由ABC，则ACB，0.在ABC中，BAC，AB2 km，由正弦定理得，所以BC，AC.(7分)记该计划所需费用为F()，则F()21010.(10分)令f()，则f()， (11分
10、)由f()0，得，所以当时，f()0，f()单调递增， (12分)所以时，该计划所需费用最小(14分)18. (1) 由题意，得解得所以a22，b21，所以椭圆C的标准方程为y21.(4分)(2) 由题意，当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意；所以设AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(xm)，又准线方程为x2，所以点P的坐标为P(2，k(2m)(6分)由得，x22k2(xm)22，即(12k2)x24k2mx2k2m220，所以xD，yDk(m)，(8分)所以kOD，从而直线OD的方程为yx，(也可用点差法求解)所以点Q的坐标为Q，(10分)所以以P，Q为直径的圆的方程为(x2)2
11、yk(2m)0，即x24x2my2y0，(14分)因为该式对k0恒成立，令y0，得x2，所以以PQ为直径的圆经过定点(2，0)(16分)19. (1) 因为f(x)(xa)ln x(aR)，所以当a1时，f(x)(x1)ln x，则f(x)ln x1， (1分)当x1时，f(1)0，f(1)0，所以f(x)在x1处的切线方程为y0.(3分)(2) 因为对于任意的正数x，f(x)0恒成立，所以当ln x0时，即x1时，f(x)0，aR；(5分)当ln x0时，即x1时，xa恒成立，所以a1；(6分)当ln x0时，即x0，所以g(x)单调递增，至多一个零点(9分)当a0时，因为x(0，a)时，g
12、(x)0，g(x)单调递增，所以xa时，g(x)ming(a)ln(a)2.(11分)因为g(x)存在两个不相等的零点，所以ln(a)20，解得e2a0.因为e2ae2a.因为glna210，所以在(a ，)上存在一个零点. (13分)因为e2a0，所以a2a.又因为g(a2)ln a212ln(a)1，设ta，则y2ln t1，因为y2lne21e230，所以g(a2)ln a210，所以在(0，a)上存在一个零点综上可知：e2a|a|f，只要证|ab1|ba|，只需证(ab1)2(ba)2，而(ab1)2(ba)2a2b2a2b21(a21)(b21)0，从而原不等式成立. (10分)22
13、. 因为DA平面ABC，CAB90，所以可以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.因为ACAD1，AB2，所以A(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，2，0)，D(0，0，1)，因为E为线段BD的中点，所以E.(1) ，(1，2，0)，所以cos，所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.(5分)(2) 设平面ACE的法向量为n1(x，y，z)，因为(1，0，0)，所以n10，n10，即x0且yz0，取y1，得x0，z2，所以n1(0，1，2)是平面ACE的一个法向量设平面BCE的法向量为n2(x，y，z)，因为(1，2，0)，所以n20，n20，即x2y0且yz0，取y1，
14、得x2，z2，所以n2(2，1，2)是平面BCE的一个法向量所以cosn1，n2. (8分)所以二面角ACEB的余弦值为.(10分)23. (1) 证明：当n1时，a1，结论显然成立；假设当nk，k2，kN*时，ak，则当nk1时，ak12a2ak2(ak)2，综上，an.(4分)(2) 由(1)知，an，所以bnan.因为an12a2an，所以an1(2a2an)2a2an2，即bn12b，于是log2bn12log2bn1，所以(log2bn11)2(log2bn1)，故log2bn1构成以2为公比的等比数列，其首项为log2b11log21log2.于是log2bn12n1，从而log2(2bn)2n1log2，所以2bn，即bn，于是232n1，(8分)因为当i1，2时，2i1i，当i3时，2i1(11)i1CCCCCi，所以对iN*，有2i1i，所以32i13i，所以232i123i，