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1、课时跟踪检测（十七） 平面向量基本定理层级一学业水平达标1已知平行四边形ABCD中，P是对角线AC所在直线上一点，且t(t1)，则t()A0B1C1 D任意实数解析：选B，共始点，且P，A，C三点共线，所以tt11，故t1，故选B.2设点O是ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是()与；与；与；与.A BC D解析：选B寻找不共线的向量组即可，在ABCD中，与不共线，与不共线；而，故可作为基底3若AD是ABC的中线，已知a，b，则以a，b为基底表示()A(ab) B(ab)C(ba) Dba解析：选B如图，AD是ABC的中线，则D为线段B
2、C的中点，从而，即，从而()(ab)4在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若e1，e2，则()A(e1e2) B(e1e2)C(2e2e1) D(e2e1)解析：选A因为O是矩形ABCD对角线的交点，e1，e2，所以()(e1e2)，故选A.5(全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()ABCD解析：选A由题意得.6已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy的值为_解析：a，b是一组基底，a与b不共线，(3x4y)a(2x3y)b6a3b，解得xy3.答案：37已知e1，e2是两个不共线向量，ak2e1e2与b2e13e2共线，则实数k_.解析：由
3、题设，知，3k25k20，解得k2或.答案：2或8如下图，在正方形ABCD中，设a，b，c，则在以a，b为基底时，可表示为_，在以a，c为基底时，可表示为_解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得答案：ab2ac9.如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将，表示出来解：ab，b(ab)ab，()(ab)10证明：三角形的三条中线共点证明：如图所示，设AD，BE，CF分别为ABC的三条中线，令a，b.则有ba.设G在AD上，且，则有a(ba)(ab)ba.(ab)aba.G在BE上，同理可证，即G在CF上故AD，BE，CF三线交
4、于同一点层级二应试能力达标1在ABC中，点D在BC边上，且2，设a，b，则可用基底a，b表示为()A.(ab)B.abC.ab D.(ab)解析：选C2，.()ab.2在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为()A. B.C. D1解析：选AM为边BC上任意一点，可设xy.(xy1)N为AM的中点，xy.(xy).3如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是()A若存在实数1，2，使得1e12e10，则120B平面内任一向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC1e12e2不一定在平面内，1，2RD对于平面内任一向量a，使a1e12e2的实数1，
5、2有无数对解析：选BA中，(12)e10，120，即12；B符合平面向量基本定理；C中，1e12e2一定在平面内；D中，1，2有且只有一对4已知非零向量，不共线，且2xy，若 (R)，则x，y满足的关系是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：选A由，得()，即(1) .又2xy，消去得xy2.5设e1，e2是平面内的一组基底，且ae12e2，be1e2，则e1e2_a_b.解析：由解得故e1e2ab.答案：6如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若 (，R)，则_.解析：因为EB，所以，所以，.答案：7设e1，e2是不共线的非零向量，且a
6、e12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c3e1e2的分解式；(3)若 4e13e2ab，求，的值解：(1)证明：若a，b共线，则存在R，使ab，则e12e2(e13e2)由e1，e2不共线，得不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底(2)设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.c2ab.(3)由4e13e2ab，得4e13e2(e12e2)(e13e2)()e1(23)e2.故所求，的值分别为3和1.8若点M是ABC所在平面内一点，且满足：.(1)求ABM与ABC的面积之比(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设xy，求x，y的值解：(1)如图，由可知M，B，C三点共线，令 ()(1) ，所以，即面积之比为14.(2)由xyx，y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线