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1、四川省成都外国语学校2019届高三上学期第一次月考数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合B，根据交集的定义写出即可【详解】解：集合，则故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2.若复数z满足（i是虚数单位），则z的虚部为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，即可求出结果【详解】解：由，得，则z的虚部为： 故选：A【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3.已知，则（）A. B
2、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知，结合诱导公式及倍角公式求解，即可得出结果.【详解】解：由，得故选：D【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式，熟记公式即可，属于基础题型.4.宋元时期数学名著算学启蒙中有关“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，竹松何日而长等.如图是源于思想的一个程序框图，若输入的，分别为和，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】模拟程序运行，可得：，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，不满足条件，执行循环体，满足条件，退出循环，输出的值为故选5.如图是函数（，）在区间上图象，为了得到这个函数
3、的图象，只需将（）的图象上的所有的点（）A. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】【分析】由图可知，从而可求得，再由可求得，利用函数的图象变换即可求得答案【详解】解：由图可知，又（）， （），又 ，为了得到这个函数的图象，只需将（）的图象上的所有向左平移个长度单位，得到的图象，再将的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）即可故选：A【点
4、睛】本题考查由的部分图象确定其解析式，考查函数的图象变换，属于常考题型6.已知不共线的两个向量，满足，且，则（）A. B. 2C. D. 4【答案】B【解析】向量，两边平方得到 化简得到联立两式得到。故答案为：B。7.已知O，A，B，C是不同的四个点，且，则“”是“A，B，C共线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的共线定理结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：若得，则由得 ，即，则，即，即A，B，C共线，即充分性成立反之若A，B，C共线，则存在一个实数x，满足，即，则，令，则，即必要性成立
5、，则“”是“A，B，C共线”的充要条件，故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量共线定理进行转化证明是解决本题的关键8.我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写九章算术注这篇注记内提出了数学史上著名的“割圆术”在“割圆术”中，用到了下图（圆内接一个正六边形），如果我们在该圆中任取一点，则该点落在弓形内的概率为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由圆的面积公式，正六边形的面积公式可得：， ，由几何概型中的面积型可得：，得解【详解】解：设圆的半径为R，则，设事件A为“在该圆中任取一点，则该点落在弓形内“，由几何概型中的面积型可得：，故选：D【点睛】本题考查了
6、圆的面积公式，正六边形的面积公式及几何概型中的面积型，属于常考题型9.已知，是双曲线(，)的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若，则（）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义，可得，结合， ，得，则【详解】解：如图，根据双曲线的定义，可得， ，则，则，故选：B【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，关键是对双曲线定义的灵活应用，属于常考题型.10.已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D重合于P），三棱锥P-AEF的外接球表面积为（）A. B. C. D. 【
7、答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，把三棱锥P-AEF补形为长方体，求出长方体的对角线长，得到三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式求解【详解】解：如图，由题意可得，三棱锥P-AEF的三条侧棱PA，PE，PF两两互相垂直，且，把三棱锥P-AEF补形为长方体，则长方体的体对角线长为，则三棱锥P-AEF的外接球的半径为，外接球的表面积为故选：C【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，属于常考题型11.中，A，B，C的对边分别记a，b，c，若，BC边上的中线，则（）A. 15B. -15C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积公式可知，计算出是关键，因此结
8、合平行四边法则，利用余弦定理求解【详解】解：如图所示，根据平面向量的加法平行四边形法则可知，所以故选：D【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算以及平行四边形法则，是常考题型12.已知函数若且，记，则下列关系式中正确的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数在R上是增函数，且函数图象向下凸出，不妨设，结合a、b和c的几何意义，判断出它们的大小即可【详解】解：函数在R上是增函数，且，且， ，不妨设，则有，根据表示曲线上两点，连线的斜率，是曲线在处切线的斜率，是曲线上A、B两点纵坐标的等差中项，结合函数的图象知，故选：B【点睛】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结
9、合的应用问题，是中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】要使得函数有意义，则需满足 ，解出x的范围即可【详解】解：要使有意义，则：；解得，或；的定义域为 故答案为： 【点睛】考查函数的定义域概念及求法，熟记对数函数的定义域、正弦函数的性质等即可，属于常考题型.14.已知实数满足约束条件，则的最大值为_【答案】4【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z2x-y可得y2x-z，则z表示直线y2x-z在y轴上截距的相反数，纵截距越小，z越大，结合图象即可求解z的最大值【详解】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域， 由z2x-y可得
10、y2x-z，则z表示直线y2x-z在y轴上截距的相反数，纵截距越大，z越小，作直线2x-y0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过F（2,0）时，z最大，代入z=2x-y=4故答案为：4【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础题.15.已知直线与圆：相交于A，B两点，点P是圆：上的动点，则面积的最大值是_【答案】【解析】【分析】由题意，直线恒过定点，即圆的圆心，圆心到直线的最大距离为，可得P到直线的最大距离为，即可求出面积的最大值【详解】解：由题意，直线恒过定点，即圆的圆心，圆心到直线的最大距离为 ，到直线的最大距离为，面积的最大值是，故答案为
11、【点睛】本题考查直线过定点，考查点到直线的距离公式，考查三角形面积的计算，属于常考题型16.已知抛物线C：，焦点为F，过点作斜率为k（）的直线l与抛物线C交于A，B两点，连接AF，BF（），若，则k=_【答案】【解析】【分析】设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，联立即可求得，由，即可求得k的值【详解】解：抛物线的焦点，直线AB的方程为，设，代入抛物线化简可得， ，由抛物线的焦半径公式可知：，由，则，由解得： ， ，整理得： ，解得：，由，则 ，故答案为： 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及抛物线的焦半径公式，考查计算能力，属于中档题三、解答题（
12、本大题共7小题，共80.0分）17.已知数列是等差数列，且，数列满足，且（）求的值；（）求数列的通项公式【答案】（1）-3（2）【解析】【分析】（）根据，先求出，进而可得数列的公差，即可求出；（）由（）先求出，再由累加法即可求出数列的通项公式【详解】解：（）由数列满足，（，），数列是等差数列，的值-3；（）由（）可知数列是以-3为首项，以2为公差的等差数列，当时，将上述等式相加整理得：，（），当时，也满足，（）【点睛】本题主要考查等差数列以及累加法求数列的通项，熟记等差数列的通项公式等即可，属于常考题型.18.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，M是棱PC上一点，且，平面M
13、BD（1）求实数的值；（2）若平面平面ABCD，为等边三角形，且三棱锥P-MBD的体积为2，求PA的长【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先连结AC，设AC交BD于点E，连结EM，根据平面MBD，结合题意得到，进而可求出结果；（2）先由平面MBD，得到，设，求出；再过点P作于O，证明平面ABD，设点M到平面ABD的距离为d，最后由，即可求出结果.【详解】解：（1）连结AC，设AC交BD于点E，连结EM，平面MBD，平面平面MBD=EM，又在直角梯形ABCD中，且，在中，实数的值为（2）由已知平面MBD，设，在直角梯形ABCD中，过点P作于O，平面平面ABCD，平面ABD，设点M到平面AB
14、D的距离为d，由（1）可知：，解得，【点睛】本题主要考查线面平行的性质，以及等体积法的应用，熟记线面平行的性质定理等即可，属于常考题型.19.已知椭圆：()，F为左焦点，A为上顶点，为右顶点，若，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1）求的标准方程；（2）是否存在过F点的直线，与和交点分别是P，Q和M，N，使得？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）或【解析】分析：（1）由题设有，再根据可得的值，从而得到椭圆的标准方程.（2）因为，故，设直线方程为，分别联立直线与椭圆、直线与抛物线的方程，消去后利用韦达定理用表示，解出后即得直线方程.详解：（1）依题意可知，即，由
15、右顶点为得，解得，所以的标准方程为.（2）依题意可知的方程为，假设存在符合题意的直线，设直线方程为，联立方程组，得，由韦达定理得，则，联立方程组，得，由韦达定理得，所以，若，则，即，解得，所以存在符合题意的直线方程为或.点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.20.在2018年10月考考试中，成都外国语学校共有250名高三文科学生参加考试，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为
16、特别优秀，这250名学生中本次考试数学成绩特别优秀的大约多少人？（2）如果这次考试语文特别优秀的有5人，语文和数学两科都特别优秀的共有2人，从（1）中的数学成绩特别优秀的人中随机抽取2人，求选出的2人中恰有1名两科都特别优秀的概率（3）根据（1），（2）的数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？P（）0.500.400.0100.0050.001k00.4550.7086.6357.87910.828【答案】（1）6（2）（3）有99%以上的把握【解析】【分析】（1）先求出数学成绩特别优秀的概率，即可得出数学特别优秀的同学人数；（2）先将数学成绩特别优秀的有6人，语
17、文数学两科都优秀的有2人，记为A，B，只有语文优秀的有4人，记为a，b，c，d，用列举法列举出“选出的2人中恰有1名两科都特别优秀”所包含的基本事件，即可得出结果；（3）根据题中数据先写出列联表，根据求出，最后结合临界值表，即可得出结果【详解】解：（1）数学成绩特别优秀的概率为，数学特别优秀的同学有人（2）数学成绩特别优秀的有6人，语文数学两科都优秀的有2人，记为A，B，只有语文优秀的有4人，记为a，b，c，d，则基本事件有，共15种，满足题意的有8种，因此概率（3）列联表：语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀246数学不特别优秀3241244合计5245250 有99%以上的把握认为语
18、文特别优秀的同学，数学也特别优秀【点睛】本题主要考查古典概型以及独立性检验，数据古典概型的概率计算公式以及独立性检验的思想即可，属于常考题型.21.已知函数，其中e为自然对数的底数（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数a的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数a的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）根据题意，由函数的解析式计算可得，由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在区间上是为单调增函数和单调减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合即可得答案；（2）根据题意，对求导分析可得，由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，在区间
19、内存在零点，同理，在区间内存在零点，由（1）的结论，只需在区间内两个零点即可，利用导数研究函数的单调性，从而可得实数的取值范围.试题解析：（1）由题意得，当函数在区间上单调递增时，在区间上恒成立.（其中），解得；当函数在区间上单调递减时，在区间上恒成立，（其中），解得综上所述，实数取值范围是（2）由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调.在区间内存在零点，同理，在区间内存在零点.在区间内恰有两个零点由（1）知，当时，在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意当时，在区间上单调递减，故在区间内至多有一个零点，不合题意，令，得，函数区间上单调递减，在区间内单调递增记的两个
20、零点为， ,，必有，由，得.，又，综上所述，实数的取值范围为点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解22.已知曲线C的参数方程是（为参数）（1）将C参数方程化为普通方程；（2）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，Q为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线l的距离的最小值【答案】（1）；（2）【解析】
21、【分析】（1）利用 消参即可（2）直线l 的方程化为普通方程为，利用点到直线的距离即可求出.【详解】(1)消去参数得 （2）将直线l 的方程化为普通方程为 设，则， 最小值是【点睛】本题主要考查了椭圆的参数方程转化为普通方程，直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，属于中档题.23.已知函数（）（1）时，求不等式的解集；（2）若对于任意的，恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，分类讨论即可得出结果；（2）等价于，令，分类讨论，求出的最小值，即可得出结果.【详解】解：（1）当时，若，则，于是由，解得，综合得；若，则，显然不成立；若，则，于是由，解得，综合得不等式的解集为 （2）等价于，令，当时，显然，当时，此时，当时，当时，又，即，综上，a的取值范围是【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，灵活运用分类讨论的思想即可，属于常考题型.