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1、山东省临沂市罗庄区2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题1.复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，复平面内所对应点的坐标为，故选D考点：复数的运算2.在的展开式中，含的正整数次幂的项共有 （ ）A. 4项B. 3项C. 2项D. 1项【答案】B【解析】的展开式的通项为 为整数， 项，即 ，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某
2、一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.详解：设2名男同学为，3名女同学为，从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能则选中的2人都是女同学的概率为，故选D.点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事
3、件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.4.若的展开式中所有二项式系数的之和为，则展开式中的常数项是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由二项式定理及展开式通项公式得：，由的展开式的通项为，令得，即可求得展开式中的常数项【详解】解：由的展开式中所有二项式系数的之和为32，得，解得，由的展开式的通项为，令得，即该展开式中的常数项是，故选：B【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于基础题5.函数有（ ）A. 极大值，极小值B. 极大值，极小值C. 极大值，无极小值D. 极小值，无极大值【答案】C【解析】【分析
4、】利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.【详解】当时，函数单调递增；当时，函数单调递减当时，函数取极大值，极大值为；无极小值故选：【点睛】本题考查函数极值的求解问题，关键是能够根据导函数的符号准确判断出原函数的单调性，属于基础题.6.设随机变量，若，则的值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据二项分布的期望公式求出，再根据4次独立重复试验的概率公式计算可得【详解】解：，故选：B【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望与方程，属于基础题7.设，其中为虚数单位，是实数，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案
5、】D【解析】 ，是实数, 故选D.8.素数指整数在一个大于的自然数中，除了和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可【详解】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有种，和等于30的有，共3种，则对应的概率，故选：C【点睛】本题主
6、要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键，属于基础题9.已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】随机变量服从正态分布，即对称轴是，故选10.编号为的位同学随意入座编号为的个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是，则的方差为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】的所有可能取值为0，1，3，求出概率后，再求出期望和方差【详解】解：的所有可能取值为0，1，3，故选：D【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于基础题11.10张奖券中含有张中奖的奖券，每人购买张，则前个购买者中，恰有一人中奖的概率
7、为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出基本事件总数，再按照分别乘法法则求出满足前个购买者中，恰有一人中奖的事件总数，最后根据古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：依题意三人抽奖情况总数为，则个购买者中，恰有一人中奖，分两步：第一步三个人中两人从7张不中奖奖券拿到2张，有种；第二步剩下一人从3张中奖奖券拿到1张，有种；其中拿到中奖奖券的人有3种可能，按照分别乘法计算原理一共有，故前3个购买者中，恰有1人中奖的概率为 故选：D【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，古典概型的概率公式的应用，属于基础题12.设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（
8、）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题13.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言（用数字作答）【答案】1560【解析】试题分析：通过题意，列出排列关系式，求解即可解：某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=
9、4039=1560条故答案为1560点评：本题考查排列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的关键14.已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为，那么第四个顶点对应的复数是 【答案】【解析】试题分析：三个复数在复平面内对应的点分别为设第四个顶点在复平面内对应的点为，因为为正方形，所以，即，即则第四个顶点对应的复数是考点：1向量；2复数与复平面内的点一一对应15.已知，则 【答案】【解析】试题分析：因为，所以.考点：二项式定理.16.若函数的图象在点处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点的个数为_.【答案】【解析】【分析】求得函数，的导数，可得切线的斜率和方程，由两直线重合的条件，解方
10、程可得，即可得到所求的个数【详解】解：函数的导数为，可得点，处的切线斜率为，切线方程为，函数的导数为，设与相切的切点为，可得切线斜率为，切线方程为，由题意可得，可得，解得或则满足条件的的个数为2，故答案为：2【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，以及化简运算能力，属于中档题三、解答题17.某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布N（，2），下表用茎叶图列举出来抽样出的10名学生的成绩（1）计算这10名学生的成绩的均值和方差；（2）给出正态分布的数据：P（X+）=0.6826，P（2X+2）=0.9544由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在（76，9
11、7）的概率【答案】（1）49（2）0.8185【解析】分析：（1）根据茎叶图所给数据，求出总和，求得平均值；利用方差计算公式可得方差值（2）由3原则可知，成绩在（76，97）之间即在 之间的概率值，因而可求得概率值详解：（1） =90，S2= =49（2）由（1）可估计，=90，=7P（76x97）=P（2x）+P（x+）= + =0.8185点睛：本题考查了茎叶图的简单应用，利用3原则求落在某区间内的概率值，关键是理解好定义，属于简单题18.如表是某位文科生连续次月考的历史、政治的成绩，结果如下：月份91011121历史（分）7981838587政治（分）7779798283（1）求该生次月
12、考历史成绩的平均分和政治成绩的平均数；（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量 的线性回归方程.参考公式：，表示样本均值.【答案】（1）83，80（2）【解析】【分析】（1）直接由表格中的数据结合平均数公式求解；（2）求出与的值，则线性回归方程可求【详解】（1）根据题意，计算，；（2）计算，所以回归系数为，故所求线性回归方程为.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题19.已知函数，.（1）求函数的极值；（2）设函数，若函数恰有一个零点，求函数的解析式.【答案】（1）极小值1，函数没有极大值.（2）【解析】【分析】（1）先
13、求出函数的导数，再利用导数求函数的极值（2）先求出的导数，再利用导数求函数的极值，根据函数恰有一个零点，可得极值等于零，从而求得的值，可得函数的解析式【详解】解：（1）因为，令，解得.因为，当时，函数在上是减函数；当，函数在上是增函数.所以，当时，函数有极小值，函数没有极大值.（2），函数的定义域为，所以，令得，当时，函数在上是减函数；当，函数在上是增函数.当时，当时，但是比的增长速度要快， ，故函数的极小值为，因为函数恰有一个零点，故，所以，所以.所以函数.【点睛】本题主要考查求函数的导数，函数的导数与函数的单调性之间的关系，利用导数求函数的极值，属于中档题20.为评估大气污染防治效果，调查
14、区域空气质量状况，某调研机构从两地分别随机抽取了天的观测数据，得到两地区的空气质量指数（AQI），绘制如图频率分布直方图：根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：空气质量指数（AQI）空气质量状况优良轻中度污染中度污染（1）试根据样本数据估计地区当年（天）的空气质量状况“优良”的天数；（2）若分别在两地区上述天中，且空气质量指数均不小于的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率.【答案】（1）274天（2）【解析】【分析】（1）从地区选出的20天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为0.75，由估计地区当年天）的空气质量状况“优良”的频率为0
15、.75，从而能求出地区当年天）的空气质量状况“优良”的天数（2）地20天中空气质量指数在，内为3个，设为，空气质量指数在，内为1个，设为，地20天中空气质量指数在，内为2个，设为，空气质量指数在，内为3个，设为，设“，两地区的空气质量等级均为“重度污染”为，利用列举法能求出，两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率【详解】解：（1）从地区选出的天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为，估计地区当年（天）的空气质量状况“优良”的频率为，地区当年（天）的空气质量状况“优良”的天数约为天.（2）地天中空气质量指数在内，为个，设为，空气质量指数在内，为个，设为，地天中空气质量指数在内，为
16、个，设为，空气质量指数在内，为个，设为，设“两地区的空气质量等级均为“重度污染”为，则基本事件空间基本事件个数为，包含基本事件个数，所以两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查列举法、频率分布表等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题21.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示
17、抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）答案见解析；（ii）【解析】分析：（）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为详解：（）由已知，甲、乙、丙三个部门员工人
18、数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3）所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=BC，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以，事件A发生的概率为点睛：本题主要在考查超几何分布和分
19、层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数超几何分布的特征是：考查对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比22.设函数（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（2）若在上为减函数，求的取值范围【答案】（1），切线方程为；（2）.【解析】试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得试题解析：（1）对求导得因为在处取得极值，所以，即.当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得（2）由（1）得，,令由，解得.当时，,故为减函数；当时，,故为增函数；当时，,故为减函数；由在上为减函数，知，解得故a的取值范围为.考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力