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1、专题1.4 多角度解决追及相遇问题一、追及和相遇问题的概述1. 当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，这时就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题。2. 追及与相遇问题的实质是研究两个物体的时空关系，只要满足两个物体在同一时间到达同一地点，即说明两个物体相遇。二、追及、相遇问题两种典型情况1. 速度小者追速度大者追及类型图像描述相关结论匀加速追匀速设x0为开始时两物体间的距离，则应有下面结论：tt0以前，后面物体与前面物体间的距离增大；、tt0时，两物体相距最远，为x0x；tt0以后，后面物体与前面物体间的距离减小；一定能追上且只能相遇一次匀速追
2、匀减速匀加速追匀减速2. 速度大者追速度小者追及类型图像描述相关结论匀减速追匀速设x0为开始时两物体间的距离，开始追及时，后面物体与前面物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即tt0时刻：若xx0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件；若xx0，则相遇两次，设t1时刻两物体第一次相遇，则t22t0t1时刻两物体第二次相遇匀速追匀加速匀减速追匀加速三、追及与相遇问题的求解方法1. 分析法应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程，再求解。(1) 一个条件：二者速度相等。它往往是能否追上或距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点
3、。(2) 两个关系：即时间关系和位移关系。可通过画草图找出两物体的位移关系，也是解题的突破口。2. 极值法设相遇时间为t，根据条件列出方程，得到关于t的一元二次方程，再利用数学求极值的方法求解。在这里，常用到配方法、判别式法、重要不等式法等。3. 图象法在同一坐标系中画出两物体的运动图线。位移图线的交点表示相遇，速度图线抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。4. 能否追上的判断方法常见情形：物体A追物体B，开始二者相距x0，则(1) A 追上B 时，必有xAxBx0，且vAvB。(2) 要使两物体恰不相撞，必有xAxBx0，且vAvB。5. 若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上
4、前该物体是否已经停止运动。四、求解追及和相遇问题的思路和技巧1. 解题思路分析两物体运动过程画运动示意图找两物体位移关系列位移方程2. 两点解题技巧【典例1】（2017届河北省衡水中学高三摸底联考）如图所示，两条曲线为汽车a、b在同一条平直公路上的速度时间图像，已知在时刻，两车相遇，下列说法正确的是（ ）Aa车速度先减小后增大，b车速度先增大后减小 B时刻a车在前，b车在后C汽车a、b的位移相同 Da车加速度先减小后增大，b车加速度先减小后增大【答案】D【典例2】 （2017届河南省洛阳市高三上期中）随着我国经济的发展，小汽车的人均拥有率越来越高，交通事故也越来越频繁。交通路口是交通事故的多发
5、地，驾驶员到交通路口时应格外小心。现有甲、乙汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为= 9 m/s。当两车快要到某十字路口时，甲车司机看到绿灯已转换成黄灯，立即紧急刹车，乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车。已知甲车紧急刹车的加速度大小 = 5 m/s2，乙车紧急刹车的加速度大小a2 = 4.5 m/s2，乙车司机的反应时间 t = 0.3 s（即乙车司机看到甲车刹车后0.3 s才开始刹车），为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车在行驶过程中应保持多大距离？【答案】3.6 m【方法技巧】在追及和相遇问题中，要注意两个物体在时间、位移、速度和加速度上的关系，
6、要特别注意临界状态的确定，并且记住一些常用结论：1追上并超过的条件：某时刻两个物体位于同一位置(位移关系)，且后面物体的瞬时速度大于前面物体的瞬时速度在追上之前，当后面物体和前面物体速度相等时，两个物体之间有最大距离。2追上且不相碰的条件：后面物体和前面物体位置相同(位移关系)时速度相等(速度关系)。3若后面物体和前面物体速度相等且以后两者间距逐渐增大，则此时两者间距最小。4充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。【针对训练】1（2017届湖北省华中师大第一附中高三上期中）在同一条平直公路上行驶的a车和b车，其速度-时间图像分别
7、为图中直线a和曲线b，由图可知（ ）Aa车与b车一定相遇两次B在t2时刻b车的运动方向发生改变Ct1到t2时间内某时刻两车的加速度可能相同Dt1到t2时间内b车会追上并超越a车【解析】由于不明确二者的起始位置，故不能确定二者是否能相遇两次，故A错误；由图可知，b车的速度一直沿正方向，故没有发生变化，故B错误；图象的斜率表示加速度，则由图可知，到时间内某时刻两车的加速度可能相同，故C正确；由于不能明确起始位置，故无法确定能否追上并超超a车，故D错误。【答案】C2. 某物理小组进行如下实验：如图(a)所示，在光滑的水平轨道上停放相距x010 m的甲、乙两车，其中乙车是风力驱动车在弹射装置使甲车获得
8、v040 m/s的瞬时速度向乙车运动的同时，乙车的风洞开始工作，将风吹向固定在甲车上的挡风板，从而使乙车获得了速度，测绘装置得到了甲、乙两车的vt图像如图(b)所示，设两车始终未相撞(1) 若甲车的质量与其加速度大小的乘积等于乙车的质量与其加速度大小的乘积，求甲、乙两车的质量比；(2) 求两车相距最近时的距离。 (2)在t1时刻，甲、乙两车的速度相等，均为v10 m/s，此时两车相距最近对乙车有va乙t1对甲车有va甲(0.4 st1)解得t10.3 s车的位移等于vt图线与坐标轴所围面积，有x甲 m7.5 mx乙 m1.5 m两车相距最近时的距离为xminx0x乙x甲4.0 m.【答案】(1
9、)13(2)4.0 m【一题多解】【典例3】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v6 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？【审题指导】第一步：读题画图(将过程形象化)第二步：分析将解题过程问题化(大题小做)(1)从十字路口开始汽车和自行车各做什么运动？汽车做v00的匀加速运动，自行车做匀速运动。(2)甲、乙两车何时达到速度相等？v汽at1v自即t12 s(3)追上前两车相距最远的条件是什么？汽车和自行车的速度相等。(4)从汽车开始运动到二者速度相等
10、这段时间内，汽车、自行车的位移各为多少，相距多远？x汽at322 m6 m，x自v自t112 mxmx自x汽6 m解法二极值法设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则xv自t1at代入已知数据得x6t1t由二次函数求极值的条件知：t12 s时，x有最大值6 m。所以经过t12 s后，两车相距最远，为x6 m。解法三图象法自行车和汽车的vt图象如图所示。由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有t1 s2 sx m6 m。【答案】2 s6 m【典例4】 一火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s处有另一火车沿同方向以速度v2(相对地且v1v2)做匀速运动。司机立即以大小为a的加速度紧急刹车。要使两车不相撞，试求加速度a的大小应满足的条件。方法二函数方程法设经过时间t两车相撞，则后面的火车的位移为s1v1t(a)t2，前面的火车的位移为s2v2t，且s1s2s，故有at2(v2v1)ts0。若两车不相撞，则该方程无解，即0，得(v2v1)22as0，解得a。方法三图象法画出两火车运动的速度时间图象，如图所示，当两车速度相等时所用时间t0，后面火车比前面火车多走的位移大小等于图中阴影部分的面积，即(v1v2)t0s，解得a，故当a时，两车不相撞。【答案】a