《北师大版九年级下册数学(-第2章--二次函数)全章教学课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版九年级下册数学(-第2章--二次函数)全章教学课件.ppt（219页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、北师大版九年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二章 二次函数第1节 二次函数1 课堂讲解u二次函数的定义u二次函数的一般形式及函数值 u建立二次函数的模型2 课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？回顾旧知一次函数ykx b(k0)正比例函数ykx(k0)反比例函数一条直线双曲线导入新知正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为y6x2.这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2.这类函数具有哪些性质呢？这就是本
2、章要学习的二次函数1 知识点 二次函数的定义知1导问题1n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？比赛的场次数 m n(n1)，即m n2 n.知1导问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？两年后的产量y20(1 x)2，即y20 x240 x20.知1导思考：函数y=6x2，m n2 n,y20 x240 x20有什么共同点？1、函数解析式是整式；2、化简后自变量的最高次数是2；3、二次项系数不为0.可以发现一般地，形如y
3、ax2bx c(a，b，c 是常数，a0)的函数，叫做二次函数其中，x是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项知1讲定义下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项(1)y 7x1；(2)y 5x2；(3)y 3a32a2；(4)y x2x；(5)y 3(x 2)(x 5)；(6)y x2.知1讲例1知1讲解：(1)y 7x1；(2)y 5x2；(3)y 3a32a2；自变量的最高次数是1自变量的最高次数是2自变量的最高次数是3(4)y x2x；x2不是整式(5)y 3(x 2)(x 5)；整理得到y3x221x30，是二次函数(6)
4、y x2不是整式知1讲 解：二次项系数二次项系数一次项系数常数项(2)y 5x2所以y5x2的二次项系数为5，一次项系数为0，常数项为0.(5)化为一般式，得到y3x221x30，所以y3(x 2)(x 5)的二次项系数为3，一次项系数为21，常数项为30.下列函数中(x，t 是自变量)，哪些是二次函数?知1练 1解：2下列各式中，y是x的二次函数的是()A yax2bx cB x2y20C y2ax2D x2y210知1练 B3若函数y(m 2)x2 4x5(m 是常数)是二次函数，则()A m 2B m2C m3D m 3B4对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是()A ymx2 3x
5、1B y(m 1)x2C y(m 1)2x2D y(m2 1)x2知1练 D2 知识点 二次函数的一般形式及函数值知2导一般地，任何一个二次函数，经过整理，都能化成如下形式：y=ax+bx+c0(a0)这种形式叫做二次函数的一般形式.为什么规定a0，b，c 可以为0吗？知2讲二次函数的项和各项系数y=a x+b x+c二次项系数一次项系数a0二次项 一次项常数项指出方程各项的系数时要带上前面的符号.知2讲函数值：确定一个x的值，代入二次函数表达式中所得的y值为函数值.例2当x2和1时，对于二次函数yx2x2对应的函数值是多少？知2讲当x2时，y4(2)24，当x1时，y1122.所以，当x2时
6、，函数值y4，当x1时，函数值y2.解：已知二次函数y13x5x2，则它的二次项系数a，一次项系数b，常数项c 分别是()A a1，b 3，c 5B a1，b 3，c 5C a5，b 3，c 1D a5，b 3，c 1知2练 1D关于函数y(500 10 x)(40 x)，下列说法不正确的是()A y是x的二次函数B 二次项系数是10C 一次项是100D 常数项是20000知2练 2C3 知识点建立二次函数的模型知3讲1.根据实际问题列二次函数的解析式，一般要经历2.以下几个步骤：3.(1)确定自变量与函数代表的实际意义；4.(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等5.量关系列出方程或等
7、式6.(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式例3填空：(1)已知圆柱的高为14cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半径r(cm)之间的函数关系式是_；(2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，y与x之间的函数关系式是_(1)根据圆柱体积公式V r2h 求解；(2)有三种思路：如图，减少的面积yS 四边形AEMG S 四边形GMFD S 四边形MHCF x(10 x)x2x(10 x)x220 x，减少的面积yS 四边形AEFD S 四边形GHCDS 四边形GMFD 10 x10 xx2x220 x，减少的面积yS 四边形ABCD S 四边形EBHM 102(10 x)2 x
8、220 x.V 14r2(r 0)y x220 x(0 x10)导引：知3讲(1)求几何问题中二次函数的解析式，除了根据有关(2)面积、体积公式写出二次函数解析式以外，还应(3)考虑问题的实际意义，明确自变量的取值(在一些(4)问题中,自变量的取值可能是整数或者是在一定的(5)范围内)；(6)(2)判断自变量的取值范围，应结合问题，考虑全面，(7)不要漏掉一些约束条件列不等式组是求自变量的(8)取值范围的常见方法总 结知3讲 圆的半径是1cm，假设半径增加xcm 时，圆的面积增加ycm2.(1)写出y与x之间的关系式；知3练 1(1)y(1 x)2 12 x2 2x，即y与x之间的关系式为yx
9、2 2x.解：(2)当圆的半径分别增加1cm，cm，2cm 时，圆的面积各增加多少?知3练(2)当x1时，y 2 3；当x时，y2 2(2 2)；2m 200cm，当x200时，y40000 400 40400.故当圆的半径分别增加1cm，cm，2m 时，圆的面积各增加3cm2，(2 2)cm2，40400cm2.解：2一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为()A y60(1 x)2By60(1 x)C y60 x2D y60(1 x)2知3练 A如图，在Rt AOB 中，AB OB，且AB OB 3，设直线xt(0 t 3)截此三
10、角形所得阴影部分的面积为S，则S 与t 之间的函数关系式为()A S tB S t2C S t2D S t2 1知3练 3B1.关于二次函数的定义要理解三点：(1)函数表达式必须是整式，自变量的取值是全体实数，而在实际应用中，自变量的取值必须符合实际意义(2)确定二次函数表达式的各项系数及常数项时，要把函数表达式化为一般式(3)二次项系数不为0.1 知识小结2.根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤：(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式当a_时，函数y(a2)x2ax
11、1是二次函数易错点：利用二次函数的定义求字母的值时，易忽略二次项系数不为0这一条件而导致错误2 易错小结2根据题意，得a222，a20.由，得a2.由，得a2.所以a2.所以当a2时，函数y(a 2)x 2ax1是二次函数北师大版九年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二章 二次函数第3节 确定二次函数 的表达式1 课堂讲解u 用一般式(三点式)确定二次函数表达式u 用顶点式确定二次函数表达式u 用交点式确定二次函数表达式2 课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的表达式，那么要求一个二次函数的表达式需要哪些条件，用什
12、么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容.1知识点用一般式（三点式）确定二次函数的表达式知1讲已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；而用一般式求待定系数要经历以下四步：第一步：设一般式yax2bxc；第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一 个三元一次方程组；第三步：解方程组即可求出a，b，c的值；第四步：写出函数表达式.例1如果一个二次函数的图象经过(1，10)，(1，4)，(2，7)三点，试求这个二次函数的表达式.知1讲解：设所求二次函数的表达式为yax2bx c.由函数图象经过(1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a，b，c 的三元一次方程组所求二次函数表达式为y2
13、x23x5.解得1.设一般式2.点代入一般式3.解得方程组4.写出表达式1(1)已知二次函数y=x2+bx+c 的图象经过(1，1)与(2,3)两点，求这个二次函数的表达式；知1练 将点(1，1)和(2，3)的坐标分别代入表达式yx2bx c，得解这个方程组，得所求二次函数的表达式为yx2x1.解：(2)请更换第(1)题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数y=x2+bx+c 表达式的题目，使所求得的二次函数与第(1)题相同.知1练 将点(2，3)更换为点(0，1)将点(1，1)和(0，1)的坐标分别代入表达式yx2bx c，得解这个方程组，得所求二次函数的表达式为yx2x1.解：2已知二次
14、函数的图象经过点(0,2),(1，0)和(-2,3)，求这个二次函数的表达式.知1练设所求的二次函数的表达式为yax2bx c，由已知，将三点(0，2)，(1，0)，(2，3)的坐标分别代入表达式，得解这个方程组，得所求二次函数的表达式为yx2x2.解：3(中考 宁波)如图，已知二次函数yax2bx c 的图象过A(2，0)，B(0，1)和C(4，5)三点(1)求二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D 的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线yx1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值 知1练知1练(1)二次函数yax2bx c 的图象过A(2，0
15、)，B(0，1)和C(4，5)三点，a，b，c 1.二次函数的表达式为yx2x1.(2)当y0时，得x2x10，解得x12，x21，点D 的坐标为(1，0)解：知1练(3)如图当1x4时，一次函数的值大于二次函数的值【中考 黑龙江】如图，Rt AOB 的直角边OA在x轴上,OAB 90，OA2，AB 1，将Rt AOB 绕点O 逆时针旋转90 得到Rt COD，抛物线yx2bx c经过B，D 两点(1)求二次函数的表达式；(2)连接BD，点P 是抛物线上一点，直线OP 把BOD 的周长分成相等的两部分，求点P 的坐标 知1练4知1练(1)Rt AOB 绕点O 逆时针旋转90 得到Rt COD，
16、CD AB 1，OAOC2，则点B(2，1)，D(1，2)，代入表达式，得：解得二次函数的表达式为yx2x；解：知1练(2)如图，设OP 与BD 交于点Q.直线OP 把BOD 的周长分成相等的两部分，且OB OD，DQBQ，即点Q 为BD 的中点，点Q 的坐标为设直线OP 对应的函数表达式为ykx，将点Q 的坐标代入，得k，解：知1练解得k 3，直线OP 对应的函数表达式为y3x，代入yx2x，得x2x3x，解得x1或x4(舍去)当x1时，y3，点P 的坐标为(1，3)2 知识点 用顶点式确定二次函数表达式知2讲二次函数yax2bx c 可化成：ya(x-h)2 k，顶点是(h,k).如果已知
17、顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.例2已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0，3)求这条抛物线的表达式.解：依题意设ya(x-h)2 k，将顶点(4，-1)及交点(0，3)代入得3=a(0-4)2-1,解得a=，这条抛物线的表达式为：y=(x-4)2-1.知2讲总 结若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式ya(x-h)2 k(a0).知2讲1已知二次函数图象的顶点坐标是(-1，1)，且经过点(1，-3)，求这个二次函数的表达式.知2练 设二次函数的表达式为ya(x h)2 k.二次函数图象的顶点坐标为(1，1)，h 1，k 1.
18、又二次函数的图象经过点(1，3)，代入得3a(1 1)2 1，解得a1.所求二次函数的表达式为y(x 1)2 1x22x.解：2已知A(1，0)，B(0，1)，C(1，2)，D(2，1)，E(4，2)五个点，抛物线ya(x 1)2 k(a0)经过其中三个点(1)求证：C，E 两点不可能同时在抛物线ya(x 1)2k(a0)上(2)点A 在抛物线ya(x 1)2 k(a0)上吗？为什么？(3)求a和k 的值 知2练知2练(1)由题意可知，抛物线的对称轴为直线x1.若点C(1，2)在抛物线上，则点C 关于直线x1的对称点(3，2)也在这条抛物线上C，E 两点不可能同时在抛物线ya(x 1)2 k(
19、a 0)上证明：知2练(2)点A 不在抛物线上理由：若点A(1，0)在抛物线ya(x 1)2 k(a 0)上，则k 0.ya(x 1)2(a 0)易知B(0，1)，D(2，1)都不在抛物线上由(1)知C，E 两点不可能同时在抛物线上与抛物线经过其中三个点矛盾点A 不在抛物线上 解：知2练由(2)可知点A 不在抛物线上结合(1)的结论易知B，D 一定在抛物线ya(x 1)2 k(a 0)上若点C(1，2)在此抛物线上，则解得若点E(4，2)在此抛物线上，则解得综上可知，或解：知3讲3知识点 用交点式确定二次函数解析式例3 如图，已知抛物线yax2bxc与x轴交于 点A(1，0)，B(3，0)，且
20、过点C(0，3)(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物 线的顶点落在直线yx上，并写出平移 后抛物线的表达式导引：(1)利用交点式得出ya(x1)(x3)，进而求出a的 值，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据左加 右减得出抛物线的表达式为yx2，进而得出答案 知3讲(1)抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，可设抛物线表达式为ya(x 1)(x 3)，把(0，3)代入得：3a3，解得：a1，故抛物线的解析式为y(x 1)(x 3)，即yx24x3，yx24x3(x 2)2 1，顶点坐标为(2，1)(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
21、得到的抛物线的解析式为yx2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线yx上解：总 结知3讲（1）本题第（2）问是一个开放性题，平移方法不唯一，只需将原顶点平移成横纵坐标互为相反数即可.（2）已知图象与x轴的交点坐标，通常选择交点式.【中考 杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数y1(x a)(x a1)，其中a0.(1)若函数y1的图象经过点(1，2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2axb 的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b 满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m n，求x0的取值范围知3练 1知3练(1)由函数y1的图象经过点
22、(1，2)，得(a 1)(a)2，解得a12，a21.当a2时，函数y1的表达式为y(x 2)(x 21)，即yx2x2；当a1时，函数y1的表达式为y(x 1)(x 2)，即yx2x2.综上所述，函数y1的表达式为yx2x2.解：知3练(2)当y10时，(x a)(x a1)0，解得xa或xa1，所以y1的图象与x轴的交点是(a，0)，(a 1，0)当y2axb 的图象经过(a，0)时，a2b 0，即b a2；当y2axb 的图象经过(a 1，0)时，a2ab 0，即b a2a.知3练(3)由题易知y1的图象的对称轴为直线x.当P 在对称轴的左侧(含顶点)时，y随x的增大而减小，因为(1，n
23、)与(0，n)关于直线x对称，所以由m n，得0 x0；当P 在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由m n，得x01.综上所述，x0的取值范围为0 x01.设列解答步骤类型一般式（三点式）顶点式交点式待定系数法求二次函数表达式1 知识小结北师大版九年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二章 二次函数第4节 二次函数的应用第1课时 用二次函数解最值问题1 课堂讲解u二次函数的最值u图形的最值2 课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究1 知识点二次函数的最值1当自变量的取
24、值范围是全体实数时，函数在顶点处取得最值即当x时，y最值.当a0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；当a0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值知1讲知1讲2.当自变量的取值范围是x1xx2 时，(1)若在自变量的取值范围x1xx2 内，最大值与最小值同时存在，如图，当a0时，最小值在x处取得，最大值为函数在xx1，xx2时的较大的函数值；当a0时，最大值在x处取得，最小值为函数在xx1，xx2时的较小的函数值；知1讲(2)若不在自变量的取值范围x1xx2 内，最大值和最小值同时存在，且函数在xx1，xx2时的函数值中，较大的为最大值，较小的为最小值，如图.导引：先求出抛物线yx22x
25、3的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，利用图象求解例1分别在下列范围内求函数yx22x3的最值：(1)0 x2；(2)2x3.知1讲解：yx22x3(x 1)2 4，图象的顶点坐标为(1，4)(1)x1在0 x2范围内，且a10，当x1时，y有最小值，y最小值4.x1是0 x2范围的中点，在直线x1两侧的图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值知1讲知1讲(2)x1不在2x3 范围内(如图)，而函数yx22x3(2x3)的图象是抛物线yx22x3的一部分，且当2x3 时，y随x的增大而增大，当x3时，y最大值3223 30；当x2时，
26、y最小值2222 33.总 结知1讲 求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，借助于图象的直观性求解1二次函数yx24xc 的最小值为0，则c 的值为()A 2B 4C 4D 16已知0 x，那么函数y2x28x6的最大值是()A 6B 2.5C 2D 不能确定知1练 BB3已知yx(x 3a)1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1x5 时，若y在x1时取得最大值，则实数a的取值情况是()A a9B a5C a9D a54二次函数y2x26x1，当0 x5 时，y的取值范围是_知1练 D5若二次函数yx2ax5的图象关于直线x2对称，且当mx0 时，y
27、有最大值5，最小值1，则m 的取值范围是_知1练 2 知识点 图形的最值知2导如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB 和CD 分别在两直角边上.(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？问 题知2讲1利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：(1)引入自变量；(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量；(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积；(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值 知2讲例2某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半
28、圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01m2）知2讲解：7x+4y+x=15,设窗户的面积是Sm2,则S=x2+2xy当x=1.07 时，S 最大=4.02.因此，当x约为1.07m 时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积约为4.02m2.知2讲例3如图，已知ABC 的面积为2400cm2，底边BC 长为80cm.若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四边形BDEF 为平行四边形，设BD x(cm)，S BDEF y(cm2)，求：(1
29、)y 与x之间的函数关系式(2)自变量x的取值范围(3)当x为何值时，y取得最大值？最大值是多少？导引：(1)可分别设出DCE 的边CD 上的高和ABC 的边BC上的高，根据条件求出ABC 的边BC 上的高，再利用相似找出其他等量关系，然后设法用x表示BDEF 的边BD 上的高；(2)BD 在BC 边上，最长不超过BC；(3)根据x的取值范围及求最值的方法解题知2讲解：(1)设DCE 的边CD 上的高为hcm，ABC 的边BC 上的高为bcm，则有S BDEF xh(cm2)S ABC BCb，240080b.b 60.四边形BDEF 为平行四边形，DE AB.EDC ABC.yx x260
30、x，即yx260 x.知2讲(2)自变量x的取值范围是0 x80.(3)由(1)可得y(x 40)2 1200.a0，0 x80，当x40时，y取得最大值，最大值是1200.总 结知2讲 本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x表示出h，进而得到y与x之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积知2讲例4实际应用题，易错题张大伯准备用一面长15m 的墙和长38m 的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD，并在养殖场的一侧留出一个2m 宽的门(1)求养殖场的面积y(m2)与BC 边的长x(m)之间的函数关系式(
31、2)当BC 边的长为多少时，养殖场的面积最大？最大面积是多少？导引：由BC 边的长和栅栏的总长可以表示出AB 的长，故可求养殖场的面积y与BC 边的长x的函数关系式，再由二次函数的有关性质和自变量的取值范围可求出养殖场的最大面积知2讲解：(1)由题意得，AB m，yx x x220 x.由题意知0 x15.yx220 x，其中0 x15.知2讲(2)y x220 x(x2 40 x)(x 20)2 200.a0，0 x15，y随x的增大而增大当x15时，y最大(15 20)2 200187.5.答：BC 边的长为15m 时，养殖场的面积最大，最大面积是187.5m2.总 结知2讲 本题利用建模
32、思想，先由图形的面积公式建立函数模型，最后由函数的性质在自变量的取值范围内求出其最值1已知一个直角三角形两直角边长之和为20cm，则这个直角三角形的最大面积为()A 25cm2B 50cm2C 100cm2D 不确定2用一条长为40cm 的绳子围成一个面积为acm2 的长方形，a的值不可能为()A 20B 40C 100D 120知2练 BD3如图，在矩形ABCD 中，AD 1，AB 2，从较短边AD 上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在()A AD 的中点B AE ED(1)2C AE ED 1D AE ED(1)2知
33、2练 A如图，在ABC 中，B 90，AB 8cm，BC 6cm，点P 从点A 开始沿AB 向B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 以1cm/s 的速度移动如果P，Q 分别从A，B 同时出发，当PBQ 的面积最大时，运动时间为_知2练 411.2s利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题1 知识小结北师大版九年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二章 二次函数第4节 二次函数的应用第2课时 用二次函数解实际
34、中的“抛物线”型问题1 课堂讲解u 实际中二次函数模型的建立u 求实际中“抛物线”型的最值问题2 课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 前面我们已经学习了利用二次函数解决几何最值问题，实际问题中最值问题，本节课我们继续学习利用二次函数解决拱桥、隧道、以及一些运动类的“抛物线”型问题.1 知识点 实际中二次函数模型的建立知1讲1运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛(投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号知1讲 2利用二次函数解决实际问题的基本思路是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系
35、数法求出抛物线对应的函数表达式；(4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题导引：由题意可知拱桥为抛物线型，因此可建立以O 为坐标原点，AB 所在直线为x轴，OC所在直线为y轴的直角坐标系，利用二次函数yax2c 解决问题例1乌鲁木齐如图是一个抛物线型拱桥的示意图，桥的跨度AB 为100m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离均为10m(不考虑立柱的粗细)，其中距A 点10m 处的立柱FE 的高度为3.6m.(1)求正中间的立柱OC的高度(2)是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由知1讲知1讲(1)根据题意可得正中间立柱OC经过AB 的中点O，如图，以O 点为坐标原点
36、，AB 所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系，则B 点的坐标为(50，0)OF OAFA 40m，E 点的坐标为(40，3.6)由题意可设抛物线对应的函数表达式为yax2c，yx210.当x0时，y10，即正中间的立柱OC的高度是10m.解：知1讲(2)不存在理由：假设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这根立柱的高度是5m，则有5x210，解得x25.由题意知相邻立柱间的水平距离均为10m，正中间的立柱OC在y轴上，每根立柱上的点的横坐标均为10的整数倍x25 与题意不符不存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半总 结知1讲 本题运用待定系数法求二次函数yax2c的表达式.1(中考
37、铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为yx2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m 时，这时水面宽度AB 为()A 20mB10mC 20mD 10m知1练 C2(中考 金华)图是图中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O 为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y(x 80)2 16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC x轴，若OA10m，则桥面离水面的高度AC 为()A 16mB.mC 16mD.m知1练 B例2某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标
38、系中，抛物线对应的函数表达式为yx2c 且过点C(0，5).(长度单位：m)(1)直接写出c 的值；(2)现因做庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m 的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元；(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H，G 分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形EFGH 的周长为27.5m，求斜面EG 的倾斜角GEF 的度数(精确到0.1)知1讲导引：(1)将点C 的坐标代入计算即可；(2)首先应求出铺设地毯的台阶的表面积，而求表面积的关键在于求得所有台阶的水平和竖直的总长度，进而求得所需钱数；(3)求出点G 的坐标，在R
39、t EFG 中，利用三角函数求GEF 的度数解：(1)c 5.(2)由(1)知OC5.令y0，即x250，解得x110，x210.地毯的总长度为AB 2OC2025 30(m)301.520 900(元)购买地毯需要900元知1讲(3)可设G 的坐标为其中a0，则EF 2am，GF 由已知得2(EF GF)27.5m，即2解得a15，a235(不合题意，舍去)当a5时，552 53.75，点G 的坐标是(5，3.75)EF 10m，GF 3.75m.在Rt EFG 中，tan GEF 0.375，GEF20.6.知1讲 总 结知1讲 本题实际上是一道函数与几何的综合题主要考查根据题意和已知图形
40、，利用数形结合思想、方程思想等来解决问题，是中等难度的试题3(中考 绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽AB 为12m 时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时抛物线对应的函数表达式是y(x 6)2 4，则选取点B 为坐标原点时抛物线对应的函数表达式是_知1练 2 知识点求实际中“抛物线”型的最值问题知2导前面我们已学习了利用二次函数解决抛物线型建筑问题,下面我们学习建立坐标系解抛物线型运动问题.知2讲例3一题多解如图，某灌溉设备的喷头B 高出地面1.25m，喷出的抛物线型水流在与喷头底部A 的距离为1m处达到距离地面最大高度2.
41、25m，试建立恰当的直角坐标系并求出与该抛物线型水流对应的二次函数关系式导引：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定系数法求二次函数关系式知2讲解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为O(0，0)，且经过点B(1，1)于是设所求二次函数关系式为yax2，则有1a(1)2，得a1.抛物线型水流对应的二次函数关系式为yx2.知2讲方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(0，2.25)，且抛物线经过点B(1，1.25)于是设所求二次函数关系式为yax22.25，则有1.25a(1)2 2.25，解得a1.抛物线型水
42、流对应的二次函数关系式为yx22.25.知2讲方法三：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为D(1，2.25)，且经过点B(0，1.25)于是设所求二次函数关系式为ya(x 1)2 2.25，则有1.25a(1)22.25，解得a1.抛物线型水流对应的二次函数关系式为y(x 1)2 2.25.（来自 训练）总 结知2讲 解决抛物线型问题，其一般步骤为：(1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标；(2)根据图象设抛物线对应的函数表达式；(3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用二次函数的性质解题在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用1某广场有一喷水池
43、，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线yx24x(单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是()A 4mB 5mC 6mD 7m知2练 A【中考 临沂】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：知2练 2t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为20m；足球飞行路线的对称轴是直线t；足球被踢出9s 时落地；足球被踢出1.5s
44、时，距离地面的高度是11m 其中正确结论的个数是()A 1B 2C 3D 4知2练 B3向上发射一枚炮弹，经xs 后的高度为ym，且时间与高度之间的关系为yax2bx.若此炮弹在第7s 与第14s 时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的()A 第9.5sB 第10sC 第10.5sD 第11s知2练 C1.抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等解决这类问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求出函数解析式，然后利用函数解析式解决问题1 知识小结2.运动问题：(1)运动中的距离、时间、速度问题；这类问题多根据运动规律中的公
45、式求解(2)物体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据,运用待定系数法求出运动轨迹(抛物线)的解析式，再利用二次函数的性质去分析、解决问题北师大版九年级下册数学精品配套课件本课件来源于网络只供免费交流使用第二章 二次函数第4节 二次函数的应用第3课时 用二次函数解 实际中的应用问题1 课堂讲解u用二次函数表达式表示实际问题u用二次函数求实际应用中的最值问题2 课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价
46、格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题.1 知识点用二次函数表达式表示实际问题知1讲根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤：(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式例1如图，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10cm，AC 与MN 在同一直线上，开始时点A 与M 重合，让ABC 向右移动，最后点A 与点N 重合问题：(1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA 的长度x(cm)之间的函数关系式；(2)当MA 1cm 时
47、，重叠部分的面积是多少？知1讲知1讲(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA 的长度可得出y与x之间的函数关系式；(2)将x1代入可得出重叠部分的面积解：(1)由题意知，开始时A 点与M 点重合，让ABC 向右移动，两图形重叠部分为等腰直角三角形，所以yx2(0 x10)；(2)当MA 1cm 时，重叠部分的面积是cm2.导引：总 结知1讲 此题主要考查的是求动态几何图形中面积的函数关系式，判断出重叠部分是等腰直角三角形比较关键在确定实际问题中的函数关系式时，通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数关系式但要特别注意自变量的取值范围1心理学家发现：学生对概念的接受能力
48、y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13min 时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30min 时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数表达式为()A y(x 13)2 59.9B y0.1x22.6x31C y0.1x22.6x76.8D y0.1x22.6x43知1练 D2 知识点利用二次函数求实际应用中的最值问题知2导服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？知2讲利用
49、二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运用“总利润每件商品所获利润 销售件数”或“总利润总售价总成本”建立利润与销售单价之间的二次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值知2讲例2某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？知2讲设每间客房的日租金提高10 x元，则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元，则y=(160+10 x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440.x0,且120
50、-6x0，0 x20.当x=2 时，y最大=19440.这时每间客房的日租金为160+102=180(元).因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人最高，最高收入为19440元.解：知2讲例3沈阳一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(0 x1)(1)用含x的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为_元，今年生产的这种玩具每件的出