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1、初中数学优质课件初中数学优质课件最新精品课件最新精品课件4.2 正 切导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第4章 锐角三角函数1.理解锐角的三角函数中正切的概念及其与现实生活的联系；（重点）2.能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算；(重点)学习目标智者乐水，仁者乐山 图片欣赏导入新课导入新课思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？铅铅直直高高度度水平宽度水平宽度 梯子与地面的夹角称为倾斜角 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度ACB讲授新课讲授新课正切的定义一相关概念
2、问题1:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？合作探究1ABCDEF倾斜角越大倾斜角越大梯子越陡梯子越陡问题2:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡甲甲乙乙问题3:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡3m6mDEFC2mB4mA数学优秀课件数学优秀课件初中初中问题4:如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.3m2m6m5mABCDEF倾斜角越大，梯子越陡.若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离B1
3、C1,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？AC1C2B2B1合作探究2两个直角三角形相似(1)RtAB1C1和RtAB2C2有什么关系?(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?思考：由此你得出什么结论?AB1C2C1B2C3B3想一想相等相似三角形的对应边相等 在RtABC中,如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做A的正切,记作tanA,即ABCA的对边A的邻边tanA=归纳总结结论：tanA的值越大，梯子越陡.定义中的几点说明：1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，A是一个锐角.2.tanA是一个完整的符号，它表示A的正切.但BAC的
4、正切表示为:tanBAC.1的正切表示为:tan1.3.tanA0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角A的对边与邻边的比（注意顺序：）.4.tanA不表示“tan”乘以“A”.5.tanA的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.ABC 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.议一议例1：下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?解:甲梯中,6m乙8m5m甲13m 乙梯中,tantan,乙梯更陡.提示:在生活中,常用一个锐角的正
5、切表示梯子的倾斜程度.典例精析 1.在RtABC中，C=90，AC=7，BC=5，则 tan A=_，tan B=_练一练互余两互余两锐角的正切角的正切值互互为倒数倒数.2.下图中ACB=90，CDAB,垂足为D.指出A和B的对边、邻边.ABCD(1)tanA=AC()CD()(2)tanB=BC()CD()BCADBDAC4.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（）A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定ABCC3.已知A,B为锐角，(1)若A=B,则tanA tanB;(2)若tanA=tanB,则A B.=求 tan30，tan60的值
6、.从而AC2=AB2-BC2=(2BC)2-BC2=3BC2.解：如图，构造一个RtABC，使C=90，A=30，于是 BC=AB，B=60.由此得出 AC=BC.因此 因此合作探究说一说tan 45的值tan45=1 30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：锐角a三角函数 30 45 60sin acos atan a归纳：1对于一般锐角（30，45，60除外）的正切值，我们也可用计算器来求.用计算器求锐角的正切值或根据正切值求角二例如求25角的正切值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为0.4663如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知tan=0.839
7、1，依次按键 ，显示结果为40.000，表示角约等于40.总结归纳 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角，都有唯一确定的比值sin(或cos，tan)与它对应，并且我们还知道，当锐角变化时，它的比值sin(或cos，tan)也随之变化.因此我们把锐角的正弦、余弦和正切统称为角的锐角三角函数.定义中应该注意的几个问题:w1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).w2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示A的正弦,余弦,正切(习惯省去“”号).w3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA
8、,cosA,tanA均0,无单位.w4.sinA,cosA,tanA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.w5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.例2 求下列各式的值：提示：cos260表示(cos60)2，即(cos60)(cos60).解：cos260+sin260典例精析(1)cos260+sin260；(2)解：练一练计算：(1)sin30+cos45；解：原式=(2)sin230+cos230tan45.解：原式=例3 已知 ABC 中的 A 与 B 满足(1tanA)2|sinB|0，试判断 ABC 的形状解：(1tanA)2|sin
9、B|0，tanA1，sinB A45，B60，C180456075，ABC 是锐角三角形练一练解：|tanB|(2 sinA )2 0，tanB ，sinA B60，A60.1.已知：已知：|tanB|(2 sinA )2 0，求，求A，B的度数的度数.2.已知已知 为锐角，且为锐角，且 tan 是方程是方程 x2+2x 3=0 的一的一 个根，求个根，求 2 sin2+cos2 tan(+15)的值的值解：解方程 x2+2x 3=0，得 x1=1，x2=3.tan 0，tan=1，=45.2 sin2+cos2 tan(+15)=2 sin245+cos245 tan60B C A(1)在R
10、tABC中C=90，BC=5,AC=12,tanA=().(2)在RtABC中C=90，BC=5,AB=13,tanA=(),tanB=().(3)在RtABC中C=90，BC=5,tanA=,AC=().1.完成下列填空：当堂练习当堂练习2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=（）A.B.C.D.D这个图呢？CAB CAB3.如图,P是 的边 OA 上一点，点 P的坐标为 ，则 =_.M记得构造直角三角形哦！OP(12,5)Axy5.在等腰ABC中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.提示:过点A作AD垂直于BC于点D.求锐角三角函数时,勾股
11、定理的运用是很重要的.ACBD解：如图，过点A作ADBC于点D，在RtABD中，易知BD=5，AD=12.6.在RtABC中,C=90,AB=15,tanA=,求AC和BC.4kACB153k7.如图，在RtABC中，C90，AB=10，BC6，求sinA、cosA、tanA的值解：又ABC610变式1：如图，在RtABC中，C90，cosA ，求sinA、tanA的值解：ABC设AC=15k，则AB=17k所以变式2：如图，在RtABC中，C90，AC8，tanA ，求sinA、cosB的值ABC8解：如图，在平面直角坐标系中，P(x,y)是第一象限内直线y=-x+6上的点,点A(5,0)，O是坐标原点，PAO 的面积为S.（1）求S与x的函数关系式；（2）当S=10时,求tanPAO 的值.M能力提升解：(1)过点P作PMOA于点M，（2）当S=10时,求tanPAO 的值.M解：又点P在直线y=-x+6上，x=2.AM=OA-OM=5-2=3.正切正切的概念：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做角的正切课堂小结课堂小结正弦的性质：确定的情况下，tan为定值，与三角形的大小无关用计算器解决正切问题课堂小结课堂小结正切定 义A越大，tanA越大,梯子越陡与梯子倾斜程度的关系同学们同学们,加油！加油！