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1、【备 战 2019年 高 考 高 三*逸 热 点、难 点 一 网 丁 尽】专 题 12 一 条 特 殊 的 线 一 函 数 的 切 线 基 础 知 识 回 顾：(-)与 切 线 相 关 的 定 义 1、切 线 的 定 义：在 曲 线 的 某 点/附 近 取 点 8,并 使 6沿 曲 线 不 断 接 近 儿 这 样 直 线 的 极 限 位 置 就 是 曲 线 在 点 力 的 切 线。(1)此 为 切 线 的 确 切 定 义，一 方 面 在 图 像 上 可 定 性 的 理 解 为 直 线 刚 好 与 曲 线 相 碰，另 一 方 面 也 可 理 解 为 一 个 动 态 的 过 程，让 切 点 4 附
2、 近 的 点 向 A 不 断 接 近，当 与 A 距 离 非 常 小 时，观 察 直 线 A 8 是 否 稳 定 在 一 个 位 置 上(2)判 断 一 条 直 线 是 否 为 曲 线 的 切 线，不 再 能 用 公 共 点 的 个 数 来 判 定。例 如 函 数 y=V 在(一 1,一 1)处 的 切 线，与 曲 线 有 两 个 公 共 点。(3)在 定 义 中，点 8 不 断 接 近 A 包 含 两 个 方 向，A 点 右 边 的 点 向 左 接 近，左 边 的 点 向 右 接 近，只 有 无 论 从 哪 个 方 向 接 近，直 线 A 3 的 极 限 位 置 唯 一 时，这 个 极 限
3、位 置 才 能 够 成 为 在 点 A 处 的 切 线。对 于 一 个 函 数，并 不 能 保 证 在 每 一 个 点 处 均 有 切 线。例 如 y=|R在(0,0)处，通 过 观 察 图 像 可 知，当 x=()左 边 的 点 向 其 无 限 接 近 时，割 线 的 极 限 位 置 为 y=-x,而 当 x=0右 边 的 点 向 其 无 限 接 近 时，割 线 的 极 限 位 置 为 y=x,两 个 不 同 的 方 向 极 限 位 置 不 相 同，故 y=N 在(0,0)处 不 含 切 线(4)由 于 点 8 沿 函 数 曲 线 不 断 向 A 接 近，所 以 若/(x)在 A 处 有 切
4、 线，那 么 必 须 在 A 点 及 其 附 近 有 定 义(包 括 左 边 与 右 边)2、切 线 与 导 数：设 函 数 y=/(x)上 点 A(x,/(xo),/(x)在 A 附 近 有 定 义 且 附 近 的 点 8(Xo+Ax,Xo+Ax),则 割 线 A8 斜 率 为：k=/(%+)-/(x。)_/(一+下)一%)(x0+Ax)-x0 Ax当 6 无 限 接 近 A 时，即 接 近 于 零，.直 线 A B 到 达 极 限 位 置 时 的 斜 率 表 示 为：E i m A S-Ax即 切 线 斜 率，由 导 数 定 义 可 知：k=%/（.+y-（，）=/（X。）.故/（垢）为/
5、（X）在 4（/，/（%）处 切 线 的 斜 率。这 是 导 数 的 几 何 意 义。3、从 导 数 的 几 何 意 义 中 可 通 过 数 形 结 合 解 释 儿 类 不 含 导 数 的 点：（1）函 数 的 边 界 点：此 类 点 左 侧（或 右 侧）的 点 不 在 定 义 域 中，从 而 某 一 侧 不 含 割 线，也 就 无 从 谈 起 极 限 位 置。故 切 线 不 存 在，导 数 不 存 在；与 此 类 似 还 有 分 段 函 数 如 果 不 连 续，则 断 开 处 的 边 界 值 也 不 存 在 导 数（2）已 知 点 与 左 右 附 近 点 的 割 线 极 限 位 置 不 相
6、同，则 不 存 在 切 线，故 不 存 在 导 数。例 如 前 面 例 子），=凶 在（0,0）处 不 存 在 导 数。此 类 情 况 多 出 现 在 单 调 区 间 变 化 的 分 界 处，判 断 时 只 需 选 点 向 已 知 点 左 右 靠 近，观 察 极 限 位 置 是 否 相 同 即 可（3）若 在 已 知 点 处 存 在 切 线，但 切 线 垂 直 x 轴，则 其 斜 率 不 存 在，在 该 点 处 导 数 也 不 存 在。例 如：y=W在（0,0）处 不 可 导 综 上 所 述：（1）-（3）所 谈 的 点 均 不 存 在 导 数，而（1）（2）所 谈 的 点 不 存 在 切 线
7、，（3）中 的 点 存 在 切 线，但 没 有 导 数。由 此 可 见：某 点 有 导 数 则 必 有 切 线，有 切 线 则 未 必 有 导 数。方 法 与 技 巧：1、求 切 线 方 程 的 方 法：一 点 一 方 向 可 确 定 一 条 直 线，在 求 切 线 时 可 考 虑 先 求 出 切 线 的 斜 率（切 点 导 数）与 切 点，在 利 用 点 斜 式 写 出 直 线 方 程 2、若 函 数 的 导 函 数 可 求，则 求 切 线 方 程 的 核 心 要 素 为 切 点 A 的 横 坐 标 不，因 为 玉）可“一 点 两 代”，代 入 到 原 函 数，即 可 得 到 切 点 的 纵
8、 坐 标/（毛），代 入 到 导 函 数 中 可 得 到 切 线 的 斜 率/（%）=左，从 而 一 点 一 斜 率，切 线 即 可 求。所 以 在 解 切 线 问 题 时 一 定 要 盯 住 切 点 横 坐 标，千 方 百 计 的 把 它 求 解 出 来。3、求 切 线 的 问 题 主 要 分 为 两 大 类，一 类 是 切 点 己 知，那 么 只 需 将 切 点 横 坐 标 代 入 到 原 函 数 与 导 函 数 中 求 出 切 点 与 斜 率 即 可，另 一 类 是 切 点 未 知，那 么 先 要 设 出 切 点 坐 标（玉），%），再 考 虑 利 用 条 件 解 出 核 心 要 素 尤
9、 0,进 而 转 化 成 第 一 类 问 题 4、在 解 析 几 何 中 也 学 习 了 求 切 线 的 方 法，即 先 设 出 切 线 方 程，再 与 二 次 方 程 联 立 利 用 A=0 求 出 参 数 值 进 而 解 出 切 线 方 程。解 析 几 何 中 的 曲 线 与 函 数 同 在 坐 标 系 下，所 以 两 个 方 法 可 以 互 通。若 某 函 数 的 图 像 为 圆 锥 曲 线，二 次 曲 线 的 一 部 分，则 在 求 切 线 时 可 用 解 析 的 方 法 求 解，例 如：y=-x2（图 像 为 圆 的 一 部 分）在 乎 J处 的 切 线 方 程，则 可 考 虑 利
10、用 圆 的 切 线 的 求 法 进 行 解 决。若 圆 锥 曲 线 可 用 函 数 解 析 式 表 示，像 焦 点 在 y 轴 的 抛 物 线，可 看 作 y 关 于 x 的 函 数，则 在 求 切 线 时 可 利 用 导 数 进 行 快 速 求 解(此 方 法 也 为 解 析 几 何 中 处 理 焦 点 在 y 轴 的 抛 物 线 切 线 问 题 的 重 要 方 法)5、在 处 理 切 线 问 题 时 要 注 意 审 清 所 给 已 知 点 是 否 为 切 点.“在 某 点 处 的 切 线”意 味 着 该 点 即 为 切 点，而“过 某 点 的 切 线”则 意 味 着 该 点 有 可 能 是
11、 切 点，有 可 能 不 是 切 点。如 果 该 点 恰 好 在 曲 线 上 那 就 需 要 进 行 分 类 讨 论 了。应 用 举 例：【例 1】【山 西 省 榆 社 中 学 2018届 高 三 诊 断 性 模 拟 考 试】若 曲 线 y=G 的 一 条 切 线 经 过 点(8,3),则 此 切 线 的 斜 率 为()1 1 1 1 1 1A.4 B.2 C.4或 d D.2或 4【答 案】C【解 析】由 题 意，可 设 切 点 坐 标 为(，),由,，=*,则 丁=盍，切 线 斜 翱=余，由 点 斜 式 可 得 切 线 方 程 为 y-一 又 切 线 过 点(8，3),所 以 3-J x。
12、=(8 加)，整 理 得 X。-6J 需+8=0,解 得 病=4或 2,所 以 切 线 斜 士=强 给.故 正 确 答 案 为 C.【例 2】设 a e R,函 数=的 导 函 数 尸(x)是 奇 函 数，若 曲 线 y=/(x)的 一 条 切 线 的 斜 率 是 士，则 切 点 的 横 坐 标 为()2A.-B.-In 2 C.D.In22 2【答 案】D【解 析】分 析：由 函 数/(x)为 奇 函 数，得 a=l,求 的/(%)=统 一 用、，设 曲 线 上 切 点 的 横 坐 标 为 公 解 得 e&=2,即 可 求 得 切 点 的 横 坐 标 的 值.详 解：由 题 意，函 数”X)
13、为 奇 函 数，则 必 有 了(0)=l a=0,解 得 a=l,即 x)=e*+eT,所 以/(x)=e,设 曲 线 上 切 点 的 横 坐 标 为 天，则 根 据 题 意 得/(%)=e凤 一 丝 一 出,解 得=2,故 切 点 的 横 坐 标 x0=ln2,故 选 D.点 睛：曲 线 的 切 线 的 求 法：若 已 知 曲 线 过 点 尸（%,%），求 曲 线 过 点 尸 的 切 线，则 需 分 点 尸（%）,%）是 切 点 和 不 是 切 点 两 种 情 况 求 解.（1）当 点 P（M，%）是 切 点 时,切 线 方 程 为 y%=7（%）（兀 一 天）；（2）当 点 P（$,%）不
14、 是 切 点 时，可 分 以 下 几 步 完 成：第 一 步：设 出 切 点 坐 标 P（x，y）；第 二 步：写 出 过 的 切 线 方 程 为 一 乂=/（%）（工%）；第 三 步：将 点 尸 的 坐 标（七,为）代 入 切 线 方 程 求 出 司；第 四 步：将 士 的 值 代 入 方 程 y 一 乂=/（玉）（x 玉），可 得 过 点 的 切 线 方 程.【例 3】【云 南 省 昆 明 第 一 中 学 2018届 高 三 第 八 次 月 考】已 知 定 义 在（。，+8）上 的 函 数/（x）=x2-=6lnx-4x,设 两 曲 线 y=f（x）与 y=M）在 公 共 点 处 的 切
15、线 相 同，则 m 值 等 于（）A.-3 B.1 C.3 D.5【答 案】D【解 析】分 析：根 据 题 意 设 出 切 点 坐 标 为（%,%）,根 据 导 数 的 几 何 意 义 及 两 曲 线 y=fG）与 y=Mx）在 公 共 点 处 的 切 线 相 同 可 得 Z%；?）,解 方 程 组 即 可 求 得 m的 值 详 解：依 题 意 设 曲 线 y=fG）与 y=Mx）在 公 共 点（%o,比 处 的 切 线 相 同./（x）=x2-m?h（x）=61nx-4x：.f（_ x）=2x,h x）=;-4.（f（X o）=/i（X o）JV-m=61nx _ 4 XDR l（2xfl=
16、J-4.%o.%=1,m=5故 选 D.点 睛：本 题 考 查 导 数 的 几 何 意 义，解 答 本 题 的 关 键 是 列 出 方 程 组，方 程 组 主 要 是 从“两 曲 线 y=f（x）与 y=Mx）在 公 共 点 处 的 切 线 相 同”转 化 引 申 出 来 的，说 明 切 线 的 斜 率 相 等，且 这 个 切 点 在 两 个 函 数 的 图 象 上,即 切 点 的 导 数 相 等，且 切 点 的 坐 标 满 足 两 个 函 数 的 解 析 式.f（x）=alnx H-“、【例 4】【相 阳 教 育“簧 门 云”2018届 高 三 高 考 等 值 试 卷 模 拟 卷】设 函 数
17、 久+1,若 曲 线 y=f S）在 点（1，/1（1）处 的 切 线 方 程 为 刀-23/-1=0,则。（）1A.0 B.2 c.1 D.2【答 案】A【解 析】将 1 代 入 直 线 方 程 得 y=o,故 切 点 为。0）,直 线 斜 率 为 1.a X+1-X+1-/=-+2 x(X+l)22(*+1)2,f(l)=Q+；1,a=0.故 选 A.a=-+x 例 5【云 南 省 曲 靖 市 第 一 中 学 2018届 高 三 4 月 高 考 复 习 质 量 监 测 卷（七）】若 抛 物 线/=丁 在 工=1处 的 切 线 的 倾 斜 角 为。，贝 猿/2 0=（）4 1 4 1A.5
18、B.2 c.5 D.2【答 案】A【解 析】分 析：求 导，利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 出 切 线 的 斜 率，进 而 利 用 二 倍 角 公 式 和 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 进 行 求 解.详 解：因 为 y=x2,所 以 y，=2x,则 该 切 线 的 斜 率 tanf=y x=1=2,则 黑 4 故 选 A-点 睛：已 知 tanS 求 关 于 sinS cosS的 出 数 式 的 值,主 要 有 以 下 题 型:,、)_ 5 8 n 9+b c&in9-dcoB9 ctan9 K(2)asin29 4-bsin9cos9 4-ccos29asin2 0+
19、b8in&cos9+C O O S2 6sin2atanO+btanO+ctan20+1实 战 演 练：1.【江 西 省 南 昌 市 2017-2018学 年 度 高 三 第 二 轮 复 习 测 试 卷】已 知 函 数/(x)=X2+2(1-a)x+(1-a)2,0(x)=x 若/(灯 和 9(幻 图 象 有 三 条 公 切 线，贝 股 的 取 值 范 围 是()3 3 3 3a l+=a l+0 a l+1+a l+=(n 0).【详 解】设 公 切 线 与/(了)应(盼 分 别 相 切 于 点(m,/(m),(n,g(n),r(x)=2(x+1-a)g(x)=-：9 g)=f(xi)g(x
20、o)-f(xi)x o f-n 2=2(m 4-1-a)=n-1-(m+1-a)2n-mn-2 c n2 n-2 3m=-(1 Q)Q=1+2n H-=1+/+九+-14-解 得 2,代 入 化 简 得 4 4 V4(n 0),n2 1、z 1/?(n)=14-2n 4-(0/77=)(77=,+8)函 数 4 在 区 间(-8,0)递 增，在 区 间 寸 4 递 减，在 区 间 灯 4 递 增,3且 n-0,h(n)T+8,f+00,()-+:0可 知。无 上 界，即 V4 时，方 程。=h3),(“片 0)有 三 解，故 选 A.【点 睛】本 题 考 查 利 用 导 数 求 公 切 线 的
21、 斜 率，属 难 题.2.【江 西 省 南 昌 市 2018届 高 三 二 轮 复 习 测 试】已 知 函 数 f(x)=x2-4x+4,g(x)=xT,则/(x)和 g(x)的 公 切 线 的 条 数 为 A.三 条 B.二 条 C.一 条 D.0 条【答 案】A【解 析】【分 析】分 别 设 出 两 条 曲 线 的 切 点 坐 标，根 据 斜 率 相 等 得 到 方 程 8-加 工+1=。，构 造 函 数 3=8/-8炉+l f(x)=8x(3%-2),研 究 方 程 的 根 的 个 数，即 可 得 到 切 线 的 条 数.【详 解】设 公 切 线 与 y(x)和 幽 分 别 相 切 于
22、点 On，ron)H r o o)，r G)=2 x-4,g，C O=T T,g，5)=rOn)=+”,解 得 小=一 q+2,代 入 化 简 得 8M-8献+1=0,构 造 函 数 f t T n 4Ax)=8xa-8x2 4-L f(x)=8x(3x-2),原 函 数 在(-8,0”，(0,1),(；,+8)/,极 大 值 r(o)。,西 小 点，/,(1)o故 函 数 和 x轴 有 交 3个 点，方 程 8M-8n2+1=。有 三 解，故 切 线 有 3条.故 选 A.【点 睛】这 个 题 目 考 查 了 利 用 导 数 求 函 数 在 某 一 点 处 的 切 线 方 程；步 骤 一 般
23、 为：一，对 函 数 求 导，代 入 已 知 点 得 到 在 这 一 点 处 的 斜 率；二，求 出 这 个 点 的 横 纵 坐 标；三，利 用 点 斜 式 写 出 直 线 方 程.考 查 了 函 数 零 点 个 数 问 题,即 转 化 为 函 数 图 像 和 x 轴 的 交 点 问 题.B.y=-excy=-x-13.【山 东 省 日 照 市 2018届 高 三 5 月 校 际 联 考】已 知 f(x)=，(e为 自 然 对 数 的 底 数)，9(X)=)X+2,直 线，是 f(x)与 9(吗 的 公 切 线，则 直 线/的 方 程 为 1y=t 或 y=x-1A.eC.了=或 丫=%+1【
24、答 案】Cy=t 或 y=-x 4-1D.e【解 析】【分 析】设 直 线/与/(X)=e*的 切 点 为 述 1),与 g(x)=1nx+2的 切 点 为(，2+小 勺)，根 据 公 切 线 可 得 行 外 的 方 程 组,解 出 孙 可 得 公 切 线 方 程.【详 解】,1 1e=%22+lnx2-e%,X2-X1，消 去“1设 直 线/与 f（x）=，的 切 点 为）与 g（x）=E x+2的 切 点 为（积 2+5），则,得 到（“2-D O+%）=0,=1/1=0,_ 1故*2=1 或 者 1 2-6,所 以 切 线 方 程 为：丫=+1或 丫=,故 选 C.【点 睛】解 决 曲
25、线 的 切 线 问 题，核 心 是 设 出 切 点 的 横 坐 标，因 为 函 数 在 横 坐 标 处 的 导 数 就 是 切 线 的 斜 率.4.【湖 南 省 长 郡 中 学 2 0 1 9届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考（开 学 考 试）】曲 线/（）=2-在 点（0/（0）处 的 切 线 方 程 是（）A.2 x-y-l=0 B.x-y+l=0C.x-y=0 D.x-y-1=0【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 曲 线 上 点 的 导 数 值 为 在 点 处 切 线 的 方 程 斜 率，再 由 点 坐 标 即 可 得 到 切 线 方 程。【详 解】因 为 r（o）=-i，所
26、 以 曲 线 上 点 的 坐 标 为（。,一 1）因 为 r c o=2-铲，所 以 k=r（o）=1所 以 切 线 方 程 为 y+1=x，即 x-y-1=0所 以 选 D【点 睛】本 题 考 查 了 求 导 的 基 本 运 算，导 数 的 意 义 及 切 线 方 程 的 求 法，属 于 基 础 题。5.【陕 西 省 洛 南 中 学 2 0 1 8届 高 三 第 八 次 模 拟 考 试】函 数 f a）=lnx+-bx+a（b 0,a 6 R）的 图 像 在 点（b/（b）处 的 切 线 斜 率 的 最 小 值 是（）A.2 衣 B.A/5 C.1 D.2【答 案】D【解 析】【分 析】先
27、求 导 数,根 据 导 数 几 何 意 义 得 切 线 斜 率,再 根 据 基 本 不 等 式 求 最 值.【详 解】，1.1 11-f(x)=-+2x-b.k=f(b)=+b 2-b=2x b#，当 且 仅 当 b=l时 取 等 号，因 此 切 线 斜 率 的 最 小 值 是 2,选 D.【点 睛】利 用 导 数 的 几 何 意 义 解 题，主 要 是 利 用 导 数、切 点 坐 标、切 线 斜 率 之 间 的 关 系 来 进 行 转 化.在 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时.，要 特 别 注 意“拆、拼、凑”等 技 巧，使 其 满 足 基 本 不 等 式 中“正”(即 条 件 要
28、 求 中 字 母 为 正 数)、“定”(不 等 式 的 另 一 边 必 须 为 定 值)、“等”(等 号 取 得 的 条 件)的 条 件 才 能 应 用，否 则 会 出 现 错 误.7T 7T6.【陕 西 省 黄 陵 中 学 高 新 部 2018届 高 三 6 月 模 拟 考】已 知 函 数/0)=2隹 我 6-5。在 点 4 4 处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 则 s加 2 a=()4 5 3 5A.5 B.4 c.5 D.3【答 案】A【解 析】【分 析】先 求 导 数，再 根 据 导 数 几 何 意 义 得 tana,最 后 根 据 弦 化 切 得 结 果.【详 解】7 f(x)=2
29、媚 casx tana=/)=2,4*sm2a=-厂=：=一 魅 A.su ra-coaa tana+1 5【点 睛】利 用 导 数 的 几 何 意 义 解 题，主 要 是 利 用 导 数、切 点 坐 标、切 线 斜 率 之 间 的 关 系 来 进 行 转 化.以 平 行、垂 直 直 线 斜 率 间 的 关 系 为 载 体 求 参 数 的 值，则 要 求 掌 握 平 行、垂 直 与 斜 率 之 间 的 关 系，进 而 和 导 数 联 系 起 来 求 解.7.【河 北 省 衡 水 市 武 邑 中 学 2018届 高 三 下 学 期 第 六 次 模 拟 考 试】已 知 直 线 以-9-2=0。力
30、0)与 函 数 exf(x)=(x 0)X 的 图 象 相 切，则 切 点 的 横 坐 标 为()A.2 V2 B.2+2 C.2 D.1+&【答 案】A【解 析】【分 析】设 切 点 坐 标 为 On,n）（m 0）,根 据 导 数 的 几 何 意 义、点 在 直 线 上 且 在 曲 线 上，列 出 方 程 组 求 出 切 点 坐 标.【详 解】由&）=?&。）可 得（幻=号 之 设 切 点 坐 标 为（m,n）On 0）,（m tn-2=0 n）解 得 m=2 M,故 选 A._ 1m2 t【点 睛】本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 求 切 线 斜 率，属 于 难 题.应 用 导 数
31、 的 几 何 意 义 求 切 点 处 切 线 的 斜 率，主 要 体 现 在 以 下 几 个 方 面：（D 已 知 切 点 幺 求 斜 率 k 即 求 该 点 处 的 导 数 丸=，（孙）；（2）己 知 斜 率 士 求 切 点 即 解 方 程 巳 知 切 线 过 某 点（不 是 切 点）求 切 点，设 出 切 点 4（加/（加）为 用 4=吟 空 拈=求 解.8.【山 东 省 沂 水 县 第 一 中 学 2018届 高 三 第 三 轮 考 试】已 知 函 数，0）=析。+1）=05%-心 布（0/（0）处 的 切 线 倾 斜 角 为 45,则。=（）A.-2 B.-1 C.0 D.3【答 案】
32、C【解 析】【分 析】由 求 导 公 式 和 法 则 求 出 函 数 的 导 数，由 切 线 倾 斜 角 为 45。求 出 切 线 的 斜 率，即 可 求 出。的 值.【详 解】又 函 数/（X）=5（尤+1）-cosx-ax在（0/（0）处 的 切 线 倾 斜 角 为 45。,/.l-a=l,即 a=0故 选：c【点 睛】求 曲 线 的 切 线 方 程 是 导 数 的 重 要 应 用 之 一，用 导 数 求 切 线 方 程 的 关 键 在 于 求 出 切 点 p a。）及 斜 率，其 求 法 为：设，（工 3、0）是 曲 线 y=/（x）上 的 一 点，则 以 P的 切 点 的 切 线 方
33、程 为：y-几=/（*0）0-%）.若 曲 线 y=f（x）在 点 P（Xo/（X。）的 切 线 平 行 于 y轴（即 导 数 不 存 在）时，由 切 线 定 义 知，切 线 方 程 为 尤=勺.9.曲 线 f（x）=s讥 喳 点（0/（0）处 的 切 线 斜 率 为（）巫 A.0 B.-1 C.1 D.2【答 案】C【解 析】分 析：先 求 函 数 代 x）=e*也 的 导 数，因 为 函 数 图 象 在 点 处 的 切 线 的 斜 率 为 函 数 在 x=。处 的 导 数，就 可 求 出 切 线 的 斜 率.详 解：（x）=e*sinx+e*cosx,f=e CcosO+s i n O=1
34、,二 函 数 图 象 在 点（。，/0）处 的 切 线 的 斜 率 为 1.故 选：C.点 睛：本 题 考 查 了 导 数 的 运 算 及 导 数 的 几 何 意 义，以 及 直 线 的 倾 斜 角 与 斜 率 的 关 系，属 基 础 题.10.【山 东 省 潍 坊 市 青 州 市 2018届 高 三 第 三 次 高 考 模 拟 考 试】己 知 点 P是 曲 线、=宜 口+仇 上 任 意 一 点，记 直 线 P（为 坐 标 原 点）的 斜 率 为 L 则（）A.存 在 点 P使 得 2 1 B.对 于 任 意 点 P都 有 卜 1C.对 于 任 意 点 P都 有。D.至 少 存 在 两 个 点
35、 P使 得 k=-l【答 案】Bk y sirvc+Inx 卜 sinx+Inx【解 析】分 析：任 取 正 实 数 X,则 直 线 OP的 斜 率 为 一 1一,利 用 1 的 性 质，逐 一 判 定，即 可 求 解.k y sinx+Inx详 解：任 取 正 实 数 X,则 直 线 OP的 斜 率 为 一 1 4 一,因 为 y=sinx+e 工）工+1,又 由/+14%成 立，因 为 y=sinx+4%工 1和,x+1 工 工 中 两 个 个 等 号 成 立 条 件 不 一 样，sinx+Inxk=所 以 y=sinx+/恒 成 立，即 x 恒 成 立，排 除 A；n sinx 4-In
36、x x 0当 2 时，y=sinx-Inx 09 则%,排 除 C；sinx+Inx-=一 1对 于 D 选 项，至 少 存 在 两 个 点 P使 得 k=-l,即 x 至 少 存 在 两 解，.1(sinx+Inx 4-x)=cosx H-1-1 0即 sinx+/nx+x=O至 少 有 两 解，又 因 为 x 恒 成 立，所 以 sinx+ex+x=0至 多 有 一 个 解，排 除 D,综 上 所 述，选 项 B 是 正 确 的，故 选 B.点 睛：本 题 主 要 考 查 了 函 数 性 质 的 综 合 应 用，以 及 直 线 的 斜 率 公 式，导 数 在 函 数 中 的 应 用，其 中
37、 解 答 中 根 k sinx+Inx据 题 意 构 造 函 数 Q一,利 用 函 数 的 单 调 性 和 最 值 求 解 是 解 答 的 关 键，着 重 考 查 了 转 化 思 想 和 推 理、论 证 能 力.11.【江 西 省 临 川 一 中 2018届 高 三 模 拟 考 试】已 知 4(*1，力)、吃 泗 2)(右)是 函 数 f(x)=ln|x|图 像 上 的 两 个 不 同 的 点，且 在 人 B两 点 处 的 切 线 互 相 垂 直，则-叼 的 取 值 范 围 为()A.(0，+8)B.(0，2)c.1.+8)D.2,+8)【答 案】D【解 析】试 题 分 析：先 通 过 分 类
38、 讨 论 得 出 函 数 的 导 函 数 f(x)三，再 根 据 切 线 垂 直 得 出 x i-1,最 后 运 用 基 本 不 等 式 求 最 值.详 解：因 为 f(x)=ln|x|,所 以，x 0 时，f(x)=lnx,f(x)x 0 时，f(x)=ln(-x),f(x)=-(-，即 f(x)一,根 据 题 意，函 额 图 象 在 A,B 两 处 的 切 线 互 相 垂 直，所 以，f(X l)(X 2)=-=-1,*1 x2即 X 1 X 2=-1,且 所 以 X1OX2,i r i-pl因 此，吊 2,所 以，“2-%的 取 值 范 围 为：2,+8).故 选：D.点 睛：本 题 主
39、 要 考 查 了 对 数 函 数 的 图 象 与 性 质，涉 及 导 数 的 运 算 和 切 线 垂 直 的 转 化，以 及 运 用 基 本 不 等 式求 最 值，属 于 中 档 题.解 决 多 元 问 题，常 用 的 方 法 有：二 元 化 一 元，变 量 集 中，不 等 式 的 应 用，线 性 规 划 等.12.【江 西 省 抚 州 市 临 川 区 第 一 中 学 2018届 高 三 全 真 模 拟（最 后 一 模）】已 知 4（五 为）、8（勺 J2）921）是 函 数/（乃=因 图 象 上 的 两 个 不 同 的 点，且 在 A B两 点 处 的 切 线 互 相 垂 直，则 尤 2-Z
40、 的 取 值 范 围 为（）A.（。,+8）B.（。,2）C.口，+8）D.2,+oo）【答 案】D【解 析】分 析：先 根 据 导 数 几 何 意 义 得 孙，匕 关 系，再 根 据 函 额 性 质 确 定 M-必 的 取 值 范 围.详 解：由 题 意 得 力。Xi,而：3）=3 0 n（一 切：,；/（：；）=十/11）=X X*2因 为 4、B两 点 处 的 切 线 互 相 垂 直,所 以.孙%=孙+2 2 x2=2,XZ M x2 Y x2当 且 仅 当 必=1是 取 等 号，选 D.点 睛：利 用 导 数 的 几 何 意 义 解 题，主 要 是 利 用 导 数、切 点 坐 标、切
41、线 斜 率 之 间 的 关 系 来 进 行 转 化.以 平 行、垂 直 直 线 斜 率 间 的 关 系 为 载 体 求 参 数 的 值，则 要 求 掌 握 平 行、垂 直 与 斜 率 之 间 的 关 系，进 而 和 导 数 联 系 起 来 求 解.13.【河 南 省 2018届 高 三 最 后 一 次 模 拟 考 试】已 知 函 数 f（x）=4/的 图 象 在 点（%,4瘾）处 的 切 线 为/,若/也 与 函 数 g（x）=17ix（0 x 1）的 图 象 相 切，则 与 必 满 足（）1#A 1.5 X V n 0 X0yA.2 2 B.2出 c.T X o 1）.与 嫄【答 案】c【解
42、 析】分 析：由 题 意 首 先 得 到 函 数 在 两 个 切 点 处 横 坐 标 的 关 系，然 后 结 合 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性，据 此 整 理 计 算 即 可 求 得 最 终 结 果.详 解:由 于/（）=8,/（*0）=8%,所 以 直 线 的 方 程 为 y=8o（x-xo）+4 xo=8%x _因 为/也 与 函 数 9（幻=lnx（0 x 1）的 图 象 相 切，,1 1（x）=-.y=%+lnm-1令 切 点 为 七 所 以/的 方 程 为 m,因 此 有 1一=8%m4xg=1-Inm,又 因 为 所 以 4/24 XO=l+lnx0+ln8(1.1 8x
43、2-1、2 ln8-1(x-)h(x)=8x=-0令 60)=4，一 1冰-2，x%19+8)所 以 八(#)=4/-I n*5 8-1 是 2 上 的 增 函 数.因 为 哈)=心(4囱。,九=3(,所 以 叱 本 题 选 择 C选 项.点 睛：本 题 主 要 考 查 导 数 研 究 函 数 的 切 线 方 程，两 曲 线 公 切 线 的 求 解 方 法，函 数 零 点 存 在 定 理 及 其 应 用 等 知 识，意 在 考 查 学 生 的 转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力.14.【辽 宁 省 凌 源 二 中 2018届 高 考 三 模】已 知 函 数 f(x)=x(m-e-2)曲
44、 线 y=f(x)上 存 在 不 同 的 两 点，使 得 曲 线 在 这 两 点 处 的 切 线 都 与 直 线 V=x平 行,则 实 数 小 的 取 值 范 围 是 A.(l-e-2,l)B.(-1-e 2-1)C.(-e 2)D.(1,1+厂 2)【答 案】A【解 析】分 析：r(x)=-),二/=m-(1-2月 e-：*,问 题 转 化 为 n-1=(1-2桃 一 由 两 个 不 同 的 根，利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性，结 合 单 调 性 可 得 结 果.详 解：/=x(m-e-3x,)lf(x)=m(l-2x)e 2 x,令 m-(1-2x)e2x=1,得-1=(1
45、-2x)e 3 x,设 gCO=(1-2x)e-2 x,则。C O=4(x-l)e-3 x,所 以 gCO在 上 单 调 递 瀛 在(L+8)上 单 调 递 增，9 3 之 以 1)=-8-3当 XT+8,g(x)T0,v m-1=(l-2x)e2有 两 根 不 同 的 解，y=m-1与 y=(1-2x)e-2x的 图 象 有 两 个 不 同 的 交 点，e-2 m-1 0,解 得 l-e-2ml,实 数 m 的 取 值 范 围 是(l-e-i),故 选 人.点 睛：本 题 考 查 导 数 与 切 线 的 几 何 意 义，考 查 转 化 与 回 归、函 数 与 方 程 的 数 学 思 想 以
46、及 运 算 求 解 能 力 和 推 理 论 证 能 力，属 于 难 题.转 化 与 划 归 思 想 解 决 高 中 数 学 问 题 的 一 种 重 要 思 想 方 法，是 中 学 数 学 四 种 重 要 的 数学 思 想 之 一，尤 其 在 解 决 知 识 点 较 多 以 及 知 识 跨 度 较 大 的 问 题 发 挥 着 奇 特 功 效，大 大 提 高 了 解 题 能 力 与 速 度.运 用 这 种 方 法 的 关 键 是 将 题 设 条 件 研 究 透，这 样 才 能 快 速 找 准 突 破 点.以 便 将 问 题 转 化 为 我 们 所 熟 悉 的 知 识 领 域，进 而 顺 利 解 答
47、，希 望 同 学 们 能 够 熟 练 掌 握 并 应 用 于 解 题 当 中.15.【广 东 省 阳 春 市 第 一 中 学 2018届 高 三 第 九 次 月 考】如 果 曲 线 丁=/（乃 在 点（*。/（久。）处 的 切 线 方 程 为 xln3+y-V3=0,那 么（）A.f（*o）=B.）0 C.）0 D.fO）在 尤=勺 处 不 存 在【答 案】C【解 析】分 析：由 题 意 结 合 导 数 的 几 何 意 义 即 可 求 得 最 终 结 果.详 解：由 导 数 的 几 何 意 义 可 知：广（泡 速 示 函 数 动 在=的 处 切 线 的 斜 率，切 线 方 程*面 3+y-V
48、3=唧 y=（Tn3）x+y/3,其 斜 率 为 4=ln 3,即/G o）=-ln3 0.本 题 选 择 C选 项.点 睛：本 题 主 要 考 查 导 函 数 研 究 函 数 的 切 线，导 数 的 几 何 意 义 等 知 识，意 在 考 查 学 生 的 转 化 能 力 和 计 算 求 解 能 力.【备 战 2 0 1 9年 高 考 高 三 数 学 Tfc盘 点、难 点 一 丽 尽】专 题 13 导 数 法 巧 解 单 调 性 问 题 考 纲 要 求：1.了 解 函 数 单 调 性 和 导 数 的 关 系；能 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性，会 求 函 数 的 单 调 区 间
49、(对 多 项 式 函 数 不 超 过 三 次).2.了 解 函 数 在 某 点 取 得 极 值 的 必 要 条 件 和 充 分 条 件；会 用 导 数 求 函 数 的 极 大 值、极 小 值(对 多 项 式 函 数 不 超 过 三 次).基 础 知 识 回 顾：用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性(1)用 导 数 证 明 函 数 的 单 调 性 证 明 函 数 单 调 递 增(减)，只 需 证 明 在 函 数 的 定 义 域 内/(X)(0=/(x)在 这 个 区 间 是 增 函 数 一 般 地，函 数/(%)在 某 个 区 间 可 导，f(x)()0,此 处 不 能 带 上 等 号。单
50、 调 区 间 一 定 要 写 成 区 间，不 能 写 成 集 合 或 不 等 式；单 调 区 间 一 般 都 写 成 开 区 间，不 要 写 成 闭 区 间；如 果 一 种 区 间 有 多 个，中 间 不 能 用“”连 接。应 用 举 例：类 型 一、判 断 或 证 明 函 数 的 单 调 性Y 1 o=(x-2)e+-ax-ax【例 1】1.【河 南 省 郑 州 市 第 一 中 学 2019届 高 三 上 学 期 入 学 摸 底 测 试】设 函 数 2.(1)讨 论 f(x)的 单 调 性；(2)设。=1,当 时，/(x)k x-2,求 卜 的 取 值 范 围.【答 案】见 解 析(-8,-