2021年中考数学压轴题专题11以四边形为载体的几何综合问题.pdf

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1、专 题 1 1以 四 边 形 为 载 体 的 几 何 综 合 问 题(1)(2020-AD)(M4)(2O19.UM4)jXe-D(2020UWQ二)(3t 2)(2020*IM i)爻 式 6-3)(2019尢 t l)【考 点 6】关 于 四 边 形 证 照 与 计 D 的 综 合 基【考 点 1】特 殊 四 边 把 的 判 定 B B tt-V(2020lt)(X X1-3)(2020B)(XJU-2(M20.IMH)【加】(2020.KW)(M7(2020.ftlS=)【建 式 7 1(2O 19.iM)【零 点 7】关 于 四 边 形 I0 J折 与 旋 转 的 解 答 题(SC7-

2、31(2 0 M K)(M81(2020ttN)1J 2 0 2 0.x a r)C2 2(2O19.S*H)(M3)(2020常 Hi)(9 it3 1(20202tf M)tt3 2(2O2O.fMS(2O2O.JI|&REW)S 1(2 0 2 0.B-)【受 型】（2020窣 州-）5t2 3(2019*ttif)5 2(2020常 怖 T)典 例 剖 析【考 点 1】特 殊 四 边 形 的 判 定【例 1】（2020宿 迁）如 图，在 正 方 形 A8C。中，点 E,尸 在 A C上,且 A F=C E.求 证：四 边 形 BE。尸 是 菱 形.【变 式 1-1】（2020淮 安）如

3、 图，在 W W CD中，点 E、尸 分 别 在 BC、AD,A C与 E尸 相 交 于 点 O,且 AO=CO.（1）求 证：ZVIOF四 COE；（2）连 接 4 E、C F,则 四 边 形 A E C F（填“是 或“不 是”）平 行 四 边 形.【变 式 1-2（2020扬 州）如 图，A B C D 的 对 角 线 A C、B D 相 交 于 点。，过 点 O 作 EF1.A C,分 别 交 A B、O C于 点 E、F,连 接 A F、CE.（1）若 OE=求 E尸 的 长；（2）判 断 四 边 形 A E C F的 形 状，并 说 明 理 由.【变 式 1-3（2020连 云 港

4、）如 图，在 四 边 形 A B C Q中，AD/BC,对 角 线 的 垂 直 平 分 线 与 边 A。、8 c 分 别 相 交 于 点 M、N.（1）求 证：四 边 形 是 菱 形；【考 点 2 四 边 形 的 线 段 计 算 问 题【例 2】（2020盐 城）如 图，在 菱 形 A 8 C D中，对 角 线 4 C、相 交 于 点 O,H 为 B C 中 点,AC=6,B D=8.则 线 段 O H的 长 为（）【变 式 2-1（2019镇 江）如 图，菱 形 ABC。的 顶 点 8、C 在 x 轴 上（8 在 C 的 左 侧），顶 点A、。在 x 轴 上 方，对 角 线 8。的 长 是

5、1 标，点 E（-2,0）为 B C的 中 点，点 P在 菱 形 A8CO的 边 上 运 动.当 点 尸（0,6）到 EP所 在 直 线 的 距 离 取 得 最 大 值 时，点 P恰 好 落 在 A B的 中 点 处，则 菱 形 A 8 8 的 边 长 等 于（）【变 式 2-2（2019苏 州）如 图，菱 形 A8CZ）的 对 角 线 AC,B D 交 于 点 O,AC=4,BD=16,将 ABO沿 点 A 到 点 C 的 方 向 平 移，得 到 A 8 O：当 点 4 与 点 C重 合 时，点 A 与 点 夕 A.6 B.8 C.10 D.1 2【变 式 2-3（2019宿 迁）如 图，矩

6、 形 A8CZ）中，AB=4,B C=2,点 E、F 分 别 在 4 8、CD上，且 B E=O F=.（1）求 证：四 边 形 AECF是 菱 形；（2）求 线 段 E尸 的 长.【考 点 3】四 边 形 与 点 的 坐 标 问 题【例 3】（2020常,州）数 学 家 笛 卡 尔 在 几 何 一 书 中 阐 述 了 坐 标 几 何 的 思 想，主 张 取 代 数 和 几 何 中 最 好 的 东 西，互 相 以 长 补 短.在 菱 形 ABCZ）中，AB=2,ZDAB=120.如 图，建 立 平 面 直 角 坐 标 系 xOy,使 得 边 A B 在 x 轴 正 半 轴 上，点。在 y 轴

7、正 半 轴 上，则 点 C 的 坐 标【变 式 3-1（2020高 邮 市 一 模）如 图，已 知 菱 形 A B C O 的 顶 点 A 的 坐 标 为（1,0）,顶 点 8 的 坐 标 为（4,4）,若 将 菱 形 A B C O 绕 原 点。逆 时 针 旋 转 45称 为 1次 变 换，则 经 过 C.(-9,-4)D.(-4,-9)【变 式 3-2（2020海 门 市 校 级 模 拟）如 图，已 知 梯 形 4 8 8 中 BC AZ）,A B=B C=C D=A D,点 A 与 原 点 重 合，点。（4,0）在 x 轴 上，则 点 C 的 坐 标 是（）A.(3,2)B.(3,V3)

8、C.(V3,2)D.(2,3)【变 式 3-3（2020连 云 港）如 图，将 5 个 大 小 相 同 的 正 方 形 置 于 平 面 直 角 坐 标 系 中，若 顶 点 M、N 的 坐 标 分 别 为（3,9）、（12,9）,则 顶 点 A 的 坐 标 为【考 点 4】四 边 形 与 三 角 形 函 数 问 题【例 4】（2020 常 州）如 图，点 C 在 线 段 AB上，且 A C=2 B C,分 别 以 AC、B C为 边 在 线 段 A B的 同 侧 作 正 方 形 ACDE、B C F G,连 接 EC、E G,则 ta n/C E G=【变 式 4-1（2020吴 江 区 三 模

9、）如 图，正 方 形 ABC。中，内 部 有 4 个 全 等 的 正 方 形，小 正 方 形 的 顶 点 E、F、G、，分 别 在 边 4 8、BC、C D、A D上，则 tanNAE”=（）【变 式 4-2（2020扬 中 市 模 拟）如 图，菱 形 4 8 C D 的 边 长 为 15,s i n/B A C=|,则 s i n/B A D=_【变 式 4-3（2020金 湖 县 一 模）如 图，菱 形 ABCQ中，对 角 线 A C=8,8。=6,点 E 是 AB边 上 的 中 点，连 接 C E,则 ta n/A C E的 值 为D,CA E B【考 点 5】四 边 形 综 合 判 断

10、 型 问 题【例 5】（2020崇 川 区 校 级 三 模）在 矩 形 ABCO中，M,N,P,。分 别 为 边 AB,BC,CD,上 的 点（不 与 端 点 重 合），对 于 任 意 矩 形 ABC。，下 面 四 个 结 论 中，存 在 无 数 个 四 边 形 M N P Q 是 平 行 四 边 形；存 在 无 数 个 四 边 形 M N P Q 是 矩 形；存 在 无 数 个 四 边 形 M N P Q 是 菱 形；至 少 存 在 一 个 四 边 形 M N P Q 是 正 方 形，其 中 正 确 的 结 论 的 个 数 为（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【变 式 5-1（

11、2020灌 南 县 一 模）如 图，正 方 形 A B C C中，E、F 分 别 为 BC、的 中 点，A F与 D E交 于 点 G.则 下 列 结 论 中：A F 1 D E：A D=B G；G E+G F=&G C；S AGB=2S四 边 形 ECFG.其 中 正 确 的 是（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【变 式 5-2（2020常 州 一 模）如 图，四 边 形 ABC。、CEFG是 正 方 形，E 在 C D上 且 8 E平 分 N D B C,。是 B D中 点，直 线 BE、D G 交 于 H.BD,A H交 于 M,连 接 O H,下 列 四 个 结 论：BE

12、1.GD；O H=N A”O=45；G D=y 2AM,其 中 正 确 的 结 论 个 数 有（)【变 式 5-3（2019东 海 县 一 模）如 图，P 为 正 方 形 A 8 C D的 对 角 线 8 0 上 任 一 点，过 点 P作 PE，3 c 于 点 E,P F L C D于 点 F,连 接 E F.给 出 以 下 4 个 结 论：是 等 腰 直 角 三 角 形；A P=EF；（3）AD=PD；NPFE=/BAP.其 中，所 有 正 确 的 结 论 是（）A.B.C.D.【考 点 6 关 于 四 边 形 证 明 与 计 算 的 综 合 题【例 6】（2019扬 州）如 图，在 平 行

13、 四 边 形 4 8 c o 中，A E平 分 N D 4 B,已 知 C E=6,BE=8,=10.(1)求 证：Z B C=90；(2)求 cos/D 4E.【变 式 6-1（2020建 邺 区 二 模）数 学 课 上，陈 老 师 布 置 了 一 道 题 目：如 图，在 a A B C中,4。是 8 c 边 上 的 高，如 果 A 8+B O=A C+C Q,那 么 A 3=A C吗？悦 悦 的 思 考:如 图，延 长。8 至 点 E,使 B E=8 A,延 长。C 至 点 F,使 C F=C A,连 接 AE、AF.由 A D 是 所 的 垂 直 平 分 线，易 证/E=/F.由 N E

14、=N F,易 证 NA8C=NAC8.得 到 AB=AC.如 图，在 四 边 形 A3CZ）中，AD/BC,AB+ADCD+CB.求 证：四 边 形 A 8 C O 是 平 行 四 边 形.图 图【变 式 6-2（2020扬 州）如 图 1,已 知 点。在 四 边 形 A8C。的 边 A B 上，S.O A=O B=O COD=2,O C 平 分/B O。，与 B O 交 于 点 G,4 c 分 别 与 B。、0。交 于 点 E、F.(1)求 证：OC AO；(2)力 E如 图 2,若 但。F,求 而 的 值;DE(3)当 四 边 形 A 8 8 的 周 长 取 最 大 值 时,求 而 的 值

15、.【变 式 6-3（2019无 锡）如 图，在 回 A 8 C O 中，点 E、F 分 别 在 边 A。、8 c 上，K DE=BF,直 线 E尸 与 84、D C 的 延 长 线 分 别 交 于 点 G,H.求 证:(1)A D E H/BFG；(2)AG=CH.【考 点 7 关 于 四 边 形 翻 折 与 旋 转 的 解 答 题【例 7】(2020南 通 二 模)如 图，在 矩 形 A 8C O中，AB=10,BC=m,E 为 8 c 边 上 一 点,沿 A E翻 折 4 B E,点 8 落 在 点 尸 处.(1)连 接 C F,若 CF A E,求 E C的 长(用 含，的 代 数 式

16、表 示)；若 EC=,当 点 尸 落 在 矩 形 A B C 3的 边 上 时，求 机 的 值；(3)连 接)尸，在 B C边 上 是 否 存 在 两 个 不 同 位 置 的 点 E,使 得 SM)F=/S M B C D?若 存 在，直 接 写 出，的 取 值 范 围；若 不 存 在，说 明 理 由.【变 式 7-1(2019盐 城)如 图 是 一 张 矩 形 纸 片，按 以 下 步 骤 进 行 操 作：(I)将 矩 形 纸 片 沿。尸 折 叠，使 点 A落 在 C。边 上 点 E 处，如 图；(I I)在 第 一 次 折 叠 的 基 础 上，过 点 C 再 次 折 叠，使 得 点 B 落

17、在 边 C D 上 点 B 处，如 图，两 次 折 痕 交 于 点。；(I I I)展 开 纸 片，分 别 连 接 0 8、OE、OC、F D,如 图.【探 究】(1)证 明：A O B C 会 A O E D；(2)若 AB=8,设 8 c 为 x,O B?为 y,求 y 关 于 x 的 关 系【变 式 7-2(2019扬 州)如 图，四 边 形 A B C 3是 矩 形，AB=20,B C=1 0,以 C D 为 一 边 向 矩 形 外 部 作 等 腰 直 角 GOC,N G=90.点”在 线 段 A 8上，且 A M=a,点 P 沿 折 线A。-。G 运 动，点。沿 折 线 B C-C

18、G运 动（与 点 G 不 重 合），在 运 动 过 程 中 始 终 保 持 线 PQ/AB.设 P Q与 A B之 间 的 距 离 为 x.（1）若 a=1 2.如 图 1,当 点 P 在 线 段 A。上 时，若 四 边 形 4M Q P的 面 积 为 4 8,则 x 的 值 为 3；在 运 动 过 程 中，求 四 边 形 AM QP的 最 大 面 积；（2）如 图 2,若 点 P 在 线 段 D G 上 时，要 使 四 边 形 AM QP的 面 积 始 终 不 小 于 5 0,求 的 取 值 范 围.【变 式 7-3（2019连 云 港）问 题 情 境：如 图 1,在 正 方 形 ABCQ中

19、，E 为 边 B C 上 一 点（不 与 点 8、C 重 合），垂 直 于 A E的 一 条 直 线 M N分 别 交 AB、AE、8 于 点 M、P、N.判 断 线 段。N、M B、E C之 间 的 数 量 关 系，并 说 明 理 由.问 题 探 究：在“问 题 情 境”的 基 础 上.（1）如 图 2,若 垂 足 P 恰 好 为 A E的 中 点，连 接 B Q,交 M N 于 点、Q,连 接 E Q,并 延 长 交 边 A O于 点 F.求 N A E F的 度 数；（2）如 图 3,当 垂 足 P 在 正 方 形 4 8 c 4 的 对 角 线 8 0 上 时，连 接 A V,将 A

20、A PN沿 着 AN翻 折，点 P 落 在 点 严 处，若 正 方 形 4 8 C D的 边 长 为 4,4。的 中 点 为 S,求 P S 的 最 小 值.问 题 拓 展：如 图 4,在 边 长 为 4 的 正 方 形 ABCQ中，点 M、N 分 别 为 功 AB、8 上 的 点，将 正 方 形 A B C D 沿 着 M N 翻 折，使 得 B C 的 对 应 边 恰 好 经 过 点 A,C N 交 A D 于 点 F.分 别 过 点 A、尸 作 AG1_MN,F H 1 M N,垂 足 分 别 为 G、H.若 A G=,请 直 接 写 出 F H 的 长.图 1 图 2 图 3【考 点

21、8 关 于 四 边 形 动 点 综 合 问 题 的 解 答 题【例 8】（2020盐 城）木 门 常 常 需 要 雕 刻 美 丽 的 图 案.（1）图 为 某 矩 形 木 门 示 意 图，其 中 A 8 长 为 200厘 米，A D 长 为 100厘 米，阴 影 部 分 是 边 长 为 30厘 米 的 正 方 形 雕 刻 模 具，刻 刀 的 位 置 在 模 具 的 中 心 点 尸 处，在 雕 刻 时 始 终 保 持 模 具 的 一 边 紧 贴 木 门 的 一 边，所 刻 图 案 如 虚 线 所 示，求 图 案 的 周 长；（2）如 图，对 于（1）中 的 木 门，当 模 具 换 成 边 长 为

22、 30百 厘 米 的 等 边 三 角 形 时，刻 刀 的 位 置 仍 在 模 具 的 中 心 点 尸 处，雕 刻 时 也 始 终 保 持 模 具 的 一 边 紧 贴 木 门 的 一 边，使 模 具 进 行 滑 动 雕 刻.但 当 模 具 的 一 个 顶 点 与 木 门 的 一 个 顶 点 重 合 时，需 将 模 具 绕 着 重 合 点 进 行 旋 转 雕 刻，直 到 模 具 的 另 一 边 与 木 门 的 另 一 边 重 合.再 滑 动 模 具 进 行 雕 刻，如 此 雕 刻 一 周，请 在 图 中 画 出 雕 刻 所 得 图 案 的 草 图，并 求 其 周 长.【变 式 8-1（2020东

23、海 县 二 模）如 图 1,矩 形 ABC。中，AB=3,B C=4,点 P 是 线 段 4。延 长 线 上 的 一 个 动 点，连 接 C P,以 C P 为 一 边,在 C P 的 左 侧 作 矩 形 CPFE.如 图 1,当 矩 形 CPFE的 顶 点 尸 恰 好 落 在 C D 的 延 长 线 上，求 P F 的 长；如 图 2,求 证：点 A 一 定 在 矩 形 CPFE的 边 CE所 在 的 直 线 上；如 图 3,连 接 EP,易 知 EP 中 点。在 CP 的 垂 直 平 分 线 上，设 C P 的 垂 直 平 分 线 交 的 延 长 线 于 点 G,连 接 B0,求 58O+

24、3OG的 最 小 值；(2)如 图 4,若 所 作 矩 形 CPFE始 终 保 持 CE=在 B C 的 延 长 线 上 取 一 点 H,使 CH=2,连 接，尸，试 探 究 点 P 移 动 过 程 中，”尸 是 否 存 在 最 小 值，若 存 在，请 直 接 写 出 尸 的 最 小 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【变 式 8-2(2019无 锡)如 图 1,在 矩 形 ABCC中，B C=3,动 点 尸 从 B 出 发，以 每 秒 1个 单 位 的 速 度，沿 射 线 8c 方 向 移 动，作 8 关 于 直 线 以 的 对 称 力 8,设 点 P 的 运 动 时 间 为，().(

25、1)若 AB=2g.如 图 2,当 点 B 落 在 A C 上 时，显 然 以 夕 是 直 角 三 角 形，求 此 时，的 值；是 否 存 在 异 于 图 2 的 时 刻，使 得 A P C B 是 直 角 三 角 形？若 存 在，请 直 接 写 出 所 有 符 合 题 意 的/的 值？若 不 存 在，请 说 明 理 由.(2)当 P 点 不 与 C 点 重 合 时，若 直 线 PB与 直 线 C Q 相 交 于 点“，且 当 t3的 任 意 时 刻，结 论“/B4M=45”是 否 总 是 成 立？请 说 明 理 由.【考 点 9 关 于 四 边 形 类 比 探 究 问 题 的 解 答 题【例

26、 9】(2019苏 州)已 知 矩 形 A 8 C D 中，AB=5c?，点 尸 为 对 角 线 A C 上 的 一 点，且 AP=2限 m.如 图，动 点 M 从 点 A 出 发，在 矩 形 边 上 沿 着 A-B f C 的 方 向 匀 速 运 动(不 包 含 点 C).设 动 点 M 的 运 动 时 间 为 r(s),A A P M 的 面 积 为 S(cm2),S 与 t的 函 数 关 系 如 图 所 示.(1)直 接 写 出 动 点 M 的 运 动 速 度 为 cm/s,8 c 的 长 度 为 cm；(2)如 图，动 点 M 重 新 从 点 4 出 发，在 矩 形 边 上 按 原 来

27、 的 速 度 和 方 向 匀 速 运 动，同 时，另 一 个 动 点 N 从 点。出 发，在 矩 形 边 上 沿 着。f C f 8 的 方 向 匀 速 运 动，设 动 点 N的 运 动 速 度 为 v(cm/s).已 知 两 动 点 M,N 经 过 时 间 x(s)在 线 段 B C 上 相 遇(不 包 含 点 C),动 点 M,N 相 遇 后 立 即 同 时 停 止 运 动,记 此 时 A A P M 与 的 面 积 分 别 为 Si(cW),52(cw2)求 动 点 N 运 动 速 度 丫(cm/s)的 取 值 范 围；试 探 究 Si-S2是 否 存 在 最 大 值，若 存 在，求 出

28、 Sr52的 最 大 值 并 确 定 运 动 时 间 x 的 值；若 不 存 在，i【变 式 9-1(2019常 州)数 学 中，常 对 同 一 个 量(图 形 的 面 积、点 的 个 数、三 角 形 的 内 角 和 等)用 两 种 不 同 的 方 法 计 算，从 而 建 立 相 等 关 系，我 们 把 这 一 思 想 称 为“算 两 次”.“算 两 次”也 称 做 富 比 尼 原 理，是 一 种 重 要 的 数 学 思 想.【理 解】（1）如 图 1,两 个 直 角 边 长 分 别 为 心 反 斜 边 长 为 c 的 直 角 三 角 形 和 一 个 两 条 直 角 边 都 是 c 的 直 角

29、 三 角 形 拼 成 一 个 梯 形.用 两 种 不 同 的 方 法 计 算 梯 形 的 面 积，并 写 出 你 发 现 的 结 论；（2）如 图 2,n 行 n 列 的 棋 子 排 成 一 个 正 方 形，用 两 种 不 同 的 方 法 计 算 棋 子 的 个 数，可 得 等 式：2=_ 一；【运 用】（3）“边 形 有 个 顶 点，在 它 的 内 部 再 画，个 点，以（?+）个 点 为 顶 点，把 边 形 剪 成 若 干 个 三 角 形，设 最 多 可 以 剪 得 y 个 这 样 的 三 角 形.当 附=3,m=3时，如 图 3,最 多 可 以 剪 得 7个 这 样 的 三 角 形，所

30、以 y=7.当”=4,m=2 时，如 图 4,y=；当”=5,/=时，y=9；对 于 一 般 的 情 形,在“边 形 内 画 烧 个 点,通 过 归 纳 猜 想，可 得 y=（用 含?、的 代 数 式 表 示）.请 对 同 一 个 量 用 算 两 次 的 方 法 说 明 你 的 猜 想 成 立.11-【变 式 9-2（2020,曷 淳 区 二 模）在 菱 形 ABC。中，NABC=60,点 P 是 射 线 8。上 一 动 点，以 A P为 边 向 右 侧 作 等 边 A P E,点 E 的 位 置 随 点 P 的 位 置 变 化 而 变 化.（1）如 图 1,当 点 E 在 菱 形 A B C

31、 D 内 部 或 边 上 时，连 接 C E,则 B P 与 C E 的 数 量 关 系 是,CE与 A O的 位 置 关 系 是；（2）如 图 2、3,当 点 E 在 菱 形 A8CO外 部 时，（1）中 的 结 论 是 否 还 成 立？若 成 立，请 予 以 证 明；若 不 成 立，请 说 明 理 由；（选 择 图 3 予 以 证 明 或 说 理）（3）如 图 4,当 点 P 在 线 段 8 D 上，点 E 在 菱 形 A8CD外 部 时，连 接 8E、D E,若 A8=2遍，B E=6,求 四 边 形 APDE的 面 积.图 1 图 2 图 3 图 4【变 式 9-3（2020吴 江 区

32、 三 模）如 图，在 正 方 形 ABC。中，E 是 A B 上 一 点，尸 是 4。延 长 线 上 一 点，且。F=BE.（1）求 证：C E=C F；（2）图 1 中，若 G 在 4。上，且 NGCE=45,则 GE=BE+G。成 立 吗？为 什 么？（3）运 用（1）、（2）解 答 中 所 积 累 的 经 验 和 知 识，完 成 下 题：如 图 2,在 直 角 梯 形 ABC。中，AD/BC（B C A D）,ZB=90,AB=BC=6,E 是 AB 上 一 点,且 NDCE=45,B E=2,求 的 长.压 轴 精 练 一.选 择 题（共 5 小 题）1.（2019无 锡）下 列 结

33、论 中，矩 形 具 有 而 菱 形 不 一 定 具 有 的 性 质 是（）A.内 角 和 为 360。B.对 角 线 互 相 平 分 C.对 角 线 相 等 D.对 角 线 互 相 垂 直 2.（2020连 云 港）如 图，将 矩 形 纸 片 A B C D 沿 B E 折 叠，使 点 A 落 在 对 角 线 B D 上 的 A处.若 NDBC=24,则/4,EB 等 于（）A.66 B.60 C.57 D.483.（2020吴 江 区 二 模）如 图，四 边 形 A B C D 是 矩 形，N B D C 的 平 分 线 交 A B 的 延 长 线 于 点 E,若 AD=4,A E=1 0,

34、则 A3 的 长 为（）DC.5.2 D.5.54.（2020扬 州）如 图，小 明 从 点 A 出 发 沿 直 线 前 进 1 0米 到 达 点 8,向 左 转 4 5 后 又 沿 直 线 前 进 10米 到 达 点 C,再 向 左 转 4 5 后 沿 直 线 前 进 10米 到 达 点。照 这 样 走 下 去，小 明 第 一 次 回 到 出 发 点 A 时 所 走 的 路 程 为（）C.60 米 D.4 0米 5.（2020江 阴 市 二 模）如 图：正 方 形 ABCQ边 长 为 1,P 是 A O边 中 点,点 B 与 点 E 关 于 直 线 C P对 称，连 接 CE,射 线 E D

35、 与 C P 交 于 点 F,则 E F 的 值 为（)B.Vio235/5C.52例 5D.3V5A.-2二.填 空 题（共 5 小 题）6.（2020镇 江）如 图，点 P 是 正 方 形 A B C 3内 位 于 对 角 线 A C下 方 的 一 点，Z1=Z 2,则 N B P C 的 度 数 为7.（2020宿 迁）如 图，在 矩 形 ABC。中，4 8=1,4 0=旧，P 为 上 一 个 动 点，连 接 BP,线 段 BA与 线 段 B Q关 于 B P所 在 的 直 线 对 称，连 接 P Q,当 点 P 从 点 A 运 动 到 点。时,线 段 P Q 在 平 面 内 扫 过 的

36、 面 积 为.8.（2020天 水）如 图，将 正 方 形 OEFG放 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，。是 坐 标 原 点，点 E 的 坐 标 为（2,3）,则 点 F 的 坐 标 为 9.（2019绍 兴）如 图，在 直 线 A P上 方 有 一 个 正 方 形 A8CZ）,/必。=30,以 点 8 为 圆 心，4 8 长 为 半 径 作 弧，与 A P交 于 点 4,M,分 别 以 点 4,M 为 圆 心，4 M 长 为 半 径 作 弧，两 弧 交 于 点 E,连 结 即，则 N A O E的 度 数 为.10.（2020扬 州）如 图，在 回 ABC。中，N B=60,4B=1 0

37、,8 c=8,点 E 为 边 A8 上 的 一 个 动 点，连 接 并 延 长 至 点 F,使 得 DF=；D E,以 EC、E F为 邻 边 构 造 团 E F G C,连 接 E G,则 E G的 最 小 值 为.D三.解 答 题(共 12小 题)11.(2019淮 安)已 知：如 图，在 团 ABCO中，点 E、尸 分 别 是 边 A。、B C 的 中 点.求 证:BE=DF.12.(2020惠 山 区 二 模)如 图，在 团 ABCC中，点 E、尸 分 别 在 边 C、AB 上，且 满 足 CE=AF.(1)求 证：AAOE四 C8F；(2)连 接 AC,若 4 c 恰 好 平 分 N

38、E4F,试 判 断 四 边 形 AEC尸 为 何 种 特 殊 的 四 边 形？并 说 明 理 由.13.(2019泰 州)如 图，线 段 AB=8,射 线 BG_LAB,P 为 射 线 B G 上 一 点，以 A P 为 边 作 正 方 形 APCD,且 点 C、。与 点 8 在 AP 两 侧，在 线 段 D P 上 取 一 点 E,使 NBAP,直 线 CE 与 线 段 4B 相 交 于 点 F(点 F 与 点 A、B 不 重 合).(1)求 证：NAEP 盥 M C E P：(2)判 断 C尸 与 A B 的 位 置 关 系，并 说 明 理 由；(3)求 斗 尸 的 周 长.14.(202

39、0淮 阴 区 模 拟)如 图，在 团 ABCO中，已 知 E、F 分 别 为 边 A3、C 的 中 点.(1)求 证：A A D E 丝 ZCBF；(2)若 AB=2,ZADB=90,求 四 边 形 BED尸 的 周 长.15.(2020江 都 区 三 模)【阅 读 理 解】设 点 P 在 矩 形 A8C。内 部，当 点 尸 到 矩 形 的 一 条 边 的 两 个 端 点 距 离 相 等 时，称 点 P 为 该 边 的“和 谐 点”.例 如：如 图 1,矩 形 ABC。中，若 以=P。，则 称 P 为 边 A D 的“和 谐 点”.【解 题 运 用】已 知，点 P 在 矩 形 A8CD内 部，

40、且 AB=10,BC=6.(1)设 尸 是 边 的“和 谐 点”，则 P 边 B C 的“和 谐 点”(填“是”或“不 是”)；(2)若 P 是 边 BC 的“和 谐 点”，连 接 刑,P B,当 以 8 是 直 角 三 角 形 时，求 心 的 值；(3)如 图 2,若 P 是 边 A O 的“和 谐 点”，连 接 用，PB,P D,求 的 最 小 值.16.(2020滨 湖 区 模 拟)如 图 1,在 菱 形 A8CC中，AB=5,lan/ABC=$点 E 从 点。出 发，以 每 秒 1个 单 位 长 度 的 速 度 沿 着 射 线 D A 的 方 向 匀 速 运 动，设 运 动 时 间 为

41、，(秒)，将 线 段 CE绕 点 C 顺 时 针 旋 转 一 个 角 a(a=N B C D),得 到 对 应 线 段 CF.(1)求 证：B E=D F；（2）当，=秒 时，的 长 度 有 最 小 值，最 小 值 等 于；（3）如 图 2,连 接 80、EF、B D 交 EC、E F 于 点 P、Q,当 f为 何 值 时，EPQ是 直 角 三 角 形？（4）在 点 E 的 运 动 过 程 中，是 否 存 在 到 直 线 A D 的 距 离 为 1 的 点 F,若 存 在 直 接 写 出 t的 值，若 不 存 在，请 说 明 理 由.17.（2020高 淳 区 二 模）如 图，在 四 边 形

42、中，AD/BC,Ji.AD+AB=BC+CD.证 明 四 边 形 A8C。是 平 行 四 边 形.小 明 同 学 在 证 明 该 题 时，他 根 据 题 目 中 条 件“AO+AB=BC+CQ”想 到 延 长 D 4 至 E,使 AE=AB,则 DE=AD+AE=AD+AB；延 长 BC 至 F,使 CF=C,则 BF=BC+CF=BC+CD,连 接 E8、DF.请 在 小 明 想 法 的 启 示 下 完 成 并 写 出 该 问 题 证 明 的 全 过 程.18.（2020惠 山 区 校 级 二 模）如 图 1,边 长 为 6 的 正 方 形 ABCD,动 点 P,。各 从 点 A,。同（1）

43、A Q 与 关 系 为（2）如 图 2,当 点 尸 运 动 到 线 段 A Q 的 中 点 处 时，A。与 交 于 点 E,试 探 究 N C E Q 和/BCE满 足 怎 样 的 数 量 关 系.(3)如 图 3,将 正 方 形 变 为 菱 形 且 NBAO=60,其 余 条 件 不 变，设 运 动，秒 后，点 P 仍 在 线 段 A O上，A Q 交 3。于 F,且 A B P。的 面 积 为 S,试 求 S 的 最 小 值，及 当 S取 最 小 值 时 4 D P F的 正 切 值.19.(2020江 阴 市 模 拟)【提 出 问 题】在 一 个 图 形 上 画 一 条 直 线，若 这

44、条 直 线 既 平 分 该 图 形 的 面 积，又 平 分 该 图 形 的 周 长，我 们 称 这 条 直 线 为 这 个 图 形 的“好 线”.【探 究 问 题】(1)如 图 1,ABCD有 条“好 线(2)如 图 2.在 4BC中，A B=B C.且 B C K A C.过 点 C 画 一 条 直 线 C E.交 A B 于 点、E.你 觉 得 C E可 能 是 ABC的“好 线”吗？请 说 明 理 由.【解 决 问 题】(3)某 小 区 中 有 一 块 如 图 3 所 示 的 五 边 形 空 地 A B C D E.其 中/A=N B=/C=9 0,AE=2,AB=1,BC=5,C D=

45、3.现 要 经 过 8 c 上 一 点 尸 修 建 一 条 笔 直 的 水 渠(水 渠 宽 度 不 计)，使 这 条 水 渠 所 在 的 直 线 是 五 边 形 空 地 ABCQ E的“好 线”.试 求 出 B F 的 长 度.20.(2020亭 湖 区 校 级 三 模)四 边 形 ABC。是 边 长 为 2 的 正 方 形，点”在 边 A O 所 在 的 直 线 上，连 接 C M,以 M 为 直 角 顶 点 在 C M 右 侧 作 等 腰 RtZCM N,连 接 8N.图 1 图 2 备 用 图(1)如 图 1,当 点 M 在 点 4 左 侧，且 4、B、N 三 点 共 线 时:B N=；

46、(2)如 图 2,当 点 M 在 点 A 右 侧，且 4M=|时，求 B N 的 长；(3)若 点 M 在 边 A O 所 在 直 线 上，且 BN=属，求 A M 的 长.21.(2020南 京)如 图，要 在 一 条 笔 直 的 路 边/上 建 一 个 燃 气 站，向/同 侧 的 A、8 两 个 城 镇 分 别 铺 设 管 道 输 送 燃 气.试 确 定 燃 气 站 的 位 置，使 铺 设 管 道 的 路 线 最 短.(1)如 图，作 出 点 A 关 于/的 对 称 点 A I 线 段 AB与 直 线/的 交 点 C 的 位 置 即 为 所 求，即 在 点 C 处 建 燃 气 站，所 得

47、路 线 ACB是 最 短 的.为 了 证 明 点 C 的 位 置 即 为 所 求，不 妨 在 直 线/上 另 外 任 取 一 点 C,连 接 A C、B C,证 明 AC+CBAC+C B.请 完 成 这 个 证 明.(2)如 果 在 A、8 两 个 城 镇 之 间 规 划 一 个 生 态 保 护 区，燃 气 管 道 不 能 穿 过 该 区 域.请 分 别 给 出 下 列 两 种 情 形 的 铺 设 管 道 的 方 案(不 需 说 明 理 由).生 态 保 护 区 是 正 方 形 区 域，位 置 如 图 所 示；生 态 保 护 区 是 圆 形 区 域，位 置 如 图 所 示.22.(2020南

48、 通)【了 解 概 念】有 一 组 对 角 互 余 的 凸 四 边 形 称 为 对 余 四 边 形，连 接 这 两 个 角 的 顶 点 的 线 段 称 为 对 余 线.【理 解 运 用】(1)如 图，对 余 四 边 形 ABCD 中，AB=5,BC=6,C D=4,连 接 AC.若 AC=A8,求 sin/CAO的 值；(2)如 图，凸 四 边 形 ABC。中，AD=BD,ADBD,2CD2+CB2=CA2 判 断 四 边 形 ABC。是 否 为 对 余 四 边 形.证 明 你 的 结 论；【拓 展 提 升】(3)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 4(-1,0),B(3,0),C(1,2

49、),四 边 形 A8CO是 对 力 E余 四 边 形，点 E 在 对 余 线 8。上，且 位 于 ABC内 部，NAEC=90+ZABC.设 一=u,BE点。的 纵 坐 标 为/,请 直 接 写 出 关 于，的 函 数 解 析 式.专 题 1 1以 四 边 形 为 载 体 的 几 何 综 合 问 题(1)(2020 宿 迁)M(2019.UHM)【变 式 6 F（2020建 施 区 二 樽）【考 点 1】特 殊 四 边 形（2020渔 安）【变 武 6-2（2020扬 州）【变 武 6-3（2019无 便）【考 点 6】关 于 四 边 形 证 明 与 计 算 的 综 合 超 的 判 定【受 4

50、 1-2(2020娜)（2020连 元 港）M2)(2020*ttM)7(2020 由 通 模)【变 贰 7-1】(2O19.M)【变 式 7-2（2019扬 州）【变 式 7 3（2019连 云 滋）【考 点 7】关 于 四 边 形 翻 折 与 旋 转 的 解 答 题【考 点 2】四 边 形 的 线 段 计 算 问 蔻【变 式 2 1】（2019恒 江）【变 式 2-2（2019苏 州）【变 式 2-3(2O19.mif)M8(2020.A5W)2020东 海 且 二 根）【变 式 8-2（2019租）【考 点 8】关 于 四 边 形 动 点 综 合 问 迤 的 解 答 题 专 题 11以