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1、有理数概念1（1）在正数前面加上“-”的数，叫做负数。负数0（2）0 既不是正数也不是负数 0 是正数和负数的分界 0 是最小的自然数，也是整数，也是偶数注意：正数前面的“+”号，可以省略 负数前面的“-”号，不可以省略正数和负数2（1）按整数和分数分类 正整数 整数 0 有理数 负整数 分数 正分数 负分数有理数分类自然数有限小数和无限循环小数3（2）按正数、负数、0 分类 正有理数 正整数 正分数 有理数 0 负有理数 负整数 负分数有理数分类4注意：非负数：正数和0 正整数：正数且整数非正数：负数和0 负整数：负数且整数非负整数：正整数和0 正分数：分数且正数（自然数）非正整数：负整数和
2、0 负分数：分数且负数有理数分类51、概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线。原点 三要素：正方向 单位长度 数轴62、数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以在数轴上表示 正有理数可以用原点右边的点表示 负有理数可以用原点左边的点表示 0 可以用原点表示数轴73、利用数轴比较有理数大小数轴上两个数右边的数总比左边的数大 正数0 负数0 正数负数（正数大于一切负数）数轴8画数轴时：（1）都是正数时，原点适当靠左 都是负数时，原点适当靠右（2）既有正数又有负数时，如果所表示的正数离原点较远，则原点适当靠左；如果所表示的负数离原点较远，则原点适当靠右数轴91、概念：代数定义：只有符号不同的两
3、个数叫做互为相反数。求一个数或者式子的相反数，只要在数和式子前面加上负号，EX：数a 的相反数为-a 正数的相反数是负数 负数的相反数是整数 0 的相反数是0相反数10几何定义：在原点两旁，且到原点的距离相等 的两个数互为相反数。2、相反数关系若a,b 互为相反数，则a+b=0若a+b=0，则a,b 互为相反数相反数113、相反数性质：任何一个数都有相反数，且只有一个 正数的相反数是负数，即当有理数a 0，-a 0 负数的相反数是正数，即当有理数a 0，-a 0 0 的相反数是0，即当有理数a=0，-a=0 所以-a 表示的数不一定是负数相反数12注意：（1）互为相反数的两个数一定是成对出现的
4、，不能单独存在。单独的一个数不能说是相反数。（2）互为相反数的两个数只是符号不同。相反数13多重符号化简“-”号的个数倒数：相乘为1 的两个数负倒数：相乘为-1 的两个数相反数奇数个“-”偶数个“+”14概念：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 到原点的距离，记作：，读作：a 的绝对值绝对值15性质：正数的绝对值等于它本身 负数的绝对值等于它的相反数 0 的绝对值等于0 a（a 0）=0（a=0）-a（a 0）绝对值绝对值的非负性：0 16注意：（1）任何一个实数都有唯一的绝对值，且任何一个数的绝对值都是非负数，其中 最小（2）绝对值相等的数一般有两个，且数字相同，符号相反 即：若，则m=n
5、 或m=-n（3）在进行绝对值相关化简时，首先要弄清这个数是正，是负，还是0，在进行化简，若题目未指清正负情况时，一般就要分情况考虑。绝对值17两个负数比较大小（1）先分别求出这两个负数的绝对值（2）比较这两个数绝对值大小（3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”做判断注：（1）在数轴上，右边的数总比左边的数大（2）负数0 正数 两个负数作比较，绝对值大的反而小绝对值18有理数加法法则：1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 互为相反数的两个数相加为03、一个数同0 相加，扔得这个数有理数加减法加
6、法法则19提示：有理数的加法运算遵循规律“一定二求三加减”即第一步：确定和的符号 第二步：求加数的绝对值 第三步：依据加法法则把绝对值相加还有相减加法法则20加数和符号 绝对值同号 相同的符号 相加异号绝对值不相等绝对值较大的加数的符号 相减（大减小）绝对值相等0与0相加 仍得这个数加法法则21互为相反数的两个数相加等于0即a 和b 互为相反数，那么a+b=0 a+b=0，那么a 和b 互为相反数加法法则22加法交换律：a+b=b+a 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和
7、不变加法法则23注意:(1)有理数的加法运算律不但适用于两个或者三个数相加，而且适合于多个有理数相加(2)在运用加法交换律交换加数的位置时，各加数连同其符号一起交换加法法则24知识拓展：(1)互为相反数的两个数可先相加相反数结合法(2)同分母的分数可先相加同分母结合法(3)几个数相加得整数时，可先相加凑整法(4)符号相同的数，可先相加同号结合法(5)带分数可拆成整数和正分数两部分再相加同形结合法加法法则25减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数注意：两变一不变即：一是减法变加法 二是把减数变成相反数，被减数不变注意：有理数的减法在转化为加法之前，被减数与减数的位置不能改变，因为对于减法来说
8、，没有交换律减法法则26任何数 0=任何数0任何数=它的相反数一个数减去它本身=0减法法则27注意：(1)两个有理数相加，和未必大于每个加数（当其中一个加数为负时，和就小于另外一个加数）(2)两个有理数相减，差未必就小于被减数（减数为负时，差就大于被减数）(3)在进行有理数加减运算时，式子中的任何数都可以调到任意位置，但是在调换时，要连同其运算符号和性质符号一同调换。减法法则28有理数的加减混合运算方法：（1）运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化 为加法，转化为加法后的式子是几个正数、负数的和的形式。（2）运用加法交换律、加法结合律运算 a+b-c=a+b+(-c)减法法则29提示：
9、根据有理数减法法则把有理数加减混合运算统一为加法运算按照从左往右的顺序计算：有括号的先算括号里边儿的减法法则30同级运算从左往右计算，有括号先算括号里面的，多重括号（先算小括号，再算中括号，最后算大括号）将有理数减法运算转化为有理数加法运算时，要注意运算符号与数的符号同时改变。减法法则31有理数加减法混合运算时，方法归纳：(1)正数和负数分别相结合(2)同分母分数或比较容易通分的分数相结合(3)互为相反数的两数相结合(4)和为正数的数相结合(5)带分数一般拆成整数和分数两部分，再分别相加减法法则32省略算式中的括号和加号 有理数的加减混合运算可统一成省略括号、加号的几个正数或负数的和的形式ex
10、：(-9)-(+12)+(-3)-(-7)=-9-12-3+7有理数加减法33提示：(1)只有把加减法统一成加法之后，才能写成省略加号和括号的和的形式(2)省略加号和括号的和的形式有两种读法：a、按加法的结果来读：应读作“负9、负12、负3、正7 的和 b、按运算来读，应读作“负9 减12 减3 加7减法法则34乘法法则：(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘(2)任何数与0 相乘都得0有理数乘除法乘法法则35提示：(1)确定积的符号是乘法运算中至关重要的一步。同号得正，异号得负：专指两数相乘，不要与加法法则混淆(2)有理数相乘的步骤：先观察各因数中有无0因数，若有，则乘积等于0；
11、若没有，先确定乘积的符号，再确定乘积的绝对值乘法法则36知识扩展：(1)任何数同1 相乘仍得原数，任何数同-1 相乘仍得原数的相反数(2)小数和带分数在进行有理数乘法运算时，应把小数化成分数，带分数化成假分数，这样便于约分乘法法则37倒数：乘积是1 的两个数互为倒数提示：（1）倒数是相互的，即若a 是b 的倒数，则b也是a 的倒数，单独一个数不能称其为倒数（2）正数的倒数仍是正数，负数的倒数仍是负数。因为没有一个数与0 相乘等于1，所以0 没有倒数有理数的倒数38（3）求有理数a(a0)的倒数的方法：当a 为整数时，即为a 的倒数当a 为分数（真分数或假分数，若为带分数，则化为假分数）时，把a
12、 的分子与分母颠倒位置，即可得到a 的倒数有理数的倒数39知识拓展：(1)两数互为相反数，则两数和为0 两数互为倒数，则两数积为1(2)相反数是它本身的数是0 倒数是它本身的数是 绝对值是它本身的数是非负数有理数的倒数40运算方法：(1)几个不是0 的数相乘：负因数的个数是偶数时，积为正数负因数的个数是奇数时，积为负数(2)几个数相乘，如果其中一个因数为0，那么积为0提示：多个有理数相乘，先确定乘积的符号，再求乘积的绝对值多个有理数相乘41乘法交换律：两数相乘，交换因数位置，积相等ab=ba乘法结合律：三数相乘，先把前两个数相乘，或 者先把后两个数相乘，积相等(ab)c=a(bc)分配律：一个
13、数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加a(b+c)=ab+ac有理数的乘法运算律42提示：（1）交换因数的位置时，要连同符号一起交换（2）利用分配律计算时，不要漏乘，不要弄错符号有理数的乘法运算律43除法法则：1、除以一个不等于0 的数，等于乘以这个数的倒数ab=a(b0)2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于0 得数，都得0除法法则有理数乘除法44提示：（1）如果被除数和除数都是整数，且能整除，一般用法2 进行计算，先确定商的符号，再将两数的绝对值相除（2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般
14、用法1除法法则45知识拓展：（1）分数可以理解为分子除以分母（2）两个数相除，若商是1，则这两个数相等，若商是-1，则这两个数互为相反数除法法则46运算顺序：按照从左往右的顺序计算，有括号的先算括号里边儿的步骤：1、一般将除法转化为乘法2、确定积的符号3、最后求出结果有理数的乘除混合运算47提示：乘除混合运算：将除法转化为乘法，算式化成乘积的形式，先由负因素的个数确定积的符号，同时将小数化成分数，带分数化成假分数，在进行计算。计算结果能约分的，必须约分有理数的除法没有运算律，只有统一为乘法时，才能按照乘法运算律进行简便计算。有理数的乘除混合运算48（1）有理数加减乘除混合运算的顺序：先乘除，后
15、加减，有括号先算括号里边儿的（2）同级运算中，按照从左到右的顺序计算有理数加减乘除混合运算49有理数乘方运算的符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数 偶次幂是正数（3）0 的任何正整数次幂都是0乘方50有理数乘方的运算方法：（1）一是根据底数与指数确定幂的符号 二是把绝对值乘方（2）根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再利用乘法的运算法则进行计算乘方51知识拓展：(1)1 的任何次幂都是1-1 的奇次幂是-1，偶次幂是1(2)互为相反数的两个非零数的奇次幂仍然互为相反数(3)互为相反数的两个非零数的偶次幂相等乘方52概念：有理数的混合运算中，包括加减运算、乘除运算、乘方
16、运算顺序：1、先乘方，再乘除，最后加减2、同级运算，按照从左到右的顺序进行3、有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行有理数的混合运算先确定符号，再求绝对值53知识拓展：1、将带分数化为假分数，小数化为分数，再进行乘方、乘除等运算；另外，有些运算可以同时进行，以简化运算2、分为三级：(1)第一级：加和减(2)第二级：乘和除(3)第三级：乘方有理数的混合运算54科学计数法：1、用科学计数法表示数只是改变数的形式，并没有改变数的大小2、负数用科学计数法表示时和正数一样，区别就是前面多一个“-”号3、当把一个用科学计数法表示的数还原为原数时，只需将小数点向右移动n 位（不足的数位
17、用0 补齐），并把10 的n 次幂去掉近似数551、确定n 时，要根据科学计数法的规定，使它为只含有一位整数的数2、确定n 的方法有两种(1)利用整数的位数来求n。n 等于原数的整数位数1ex：5300 时一个四位数，n=3(2)看小数点移动的位数，小数点向左移动了几位，n 就等于几ex：5300 到5.3，小数点向左移动了3 位，所以n=3近似数56准确数与近似数准确数：确切地反映实际的数，是一个准确数近似数：与实际数接近，但有差别的数是一个近似数近似数及精准度的确定57提示：判断一个数是准确数还是近似数，就是看这个数是确切反映了真是数据还是接近于真实数据，前者是确切数，后者是近似数近似数及精准度的确定58根据精确程度取近似数近似数的精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位近似数及精准度的确定59确定一个近似数精确度的方法：求一个近似数的精确度，只需要分析这个数的最后一位数字是什么数位上，它在什么数位上，就说明该近似数精确到哪一位近似数及精准度的确定60根据精确度用四舍五入法求一个近似数的方法：先分析题目，根据题目要求的精确度应该近似到哪一位，然后对这个数位的下一位上的数字进行四舍五入近似数及精准度的确定61