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1、第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第第6 6课时课时 利用利用解直角三角形解含方位解直角三角形解含方位角、坡角（坡度角、坡角（坡度）的）的应用应用直角三角形中诸元素之间的关系：直角三角形中诸元素之间的关系：（1）三边之间的关系：三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理勾股定理)；（2）锐角之间的关系：锐角之间的关系：A+B=90；（3）边角之间的关系：边角之间的关系：1知识点知识点用解直角三角形解方位角问题用解直角三角形解方位角问题知知1 1讲讲方位角的定义：指北或指南方向线与目标方向线所成的指北或指南方向线与目标方向线所成的小于
2、小于90的角叫做方位角的角叫做方位角.知知1 1讲讲东东西西北北南南O(1)正东，正南，正西，正北正东，正南，正西，正北(2)西北方向西北方向:_ 西南方向西南方向:_ 东南方向东南方向:_ 东北方向东北方向:_ 射线射线OAABCDOBOCOD45射线射线OE射线射线OF射线射线OG射线射线OHEGFH454545认识方位角认识方位角知知1 1讲讲O北北南南西西东东(3)南偏西南偏西2525北偏西北偏西70 南偏东南偏东60ABC射线射线OA射线射线OB射线射线OC7060认识方位角认识方位角如图如图,一艘海轮位于灯塔一艘海轮位于灯塔P的的 北偏东北偏东65方向，距离灯塔方向，距离灯塔80
3、n mile的的A处，它沿正南方向航行处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔一段时间后，到达位于灯塔P的的南偏东南偏东34方向上的方向上的B处处.这时，这时，B处距离灯塔处距离灯塔 P有多远（结果取有多远（结果取整数整数)？知知1 1讲讲（来自教材）（来自教材）APCB北北例例1 6534知知1 1讲讲解：解：如图，在如图，在RtAPC中，中，PC=PA cos(90-65)=80 cos 25 72.505.在在 RtBPC 中，中，B=34，因此，当海轮到达位于灯塔因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向方向 时，它距离灯塔时，它距离灯塔P大约大约 130 n mile.（
4、来自教材）（来自教材）总 结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）利用解直角三角形解决方向角的问题时，利用解直角三角形解决方向角的问题时，“同方同方向的方向线互相平行向的方向线互相平行”是其中的一个隐含条件是其中的一个隐含条件1 如图，海中有一个小岛如图，海中有一个小岛A，它周围，它周围8 n mile内有暗礁内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北在北偏东偏东60方向上，航行方向上，航行12 n mile到达到达D点，这时测得点，这时测得小岛小岛A在北偏东在北偏东30 方向上方向上.如果渔船不改如果渔船不改 变航线继续变航线继续向向东航行，
5、东航行，有没有触礁的危险？有没有触礁的危险？知知1 1练练（来自教材）（来自教材）知知1 1讲讲如图，过点如图，过点A作作AC直线直线BD，垂足为点，垂足为点C.由题意知由题意知BD12，ABC30，ADC60.在在RtADC中，中，tan ADC所以所以DC在在RtABC中，中，tan ABC所以所以BC又因为又因为BDBCDC，所以所以解得解得AC 10.39(n mile)因为因为10.398，所以没有触礁的危险，所以没有触礁的危险（来自教材）（来自教材）解：解：【中考中考大庆大庆】如图，已知一条东西走向的河流，在如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点河流对岸有一点A，小明在岸边
6、点，小明在岸边点B处测得点处测得点A在点在点B的北偏东的北偏东30方向上，小明沿河岸向东走方向上，小明沿河岸向东走80 m后到后到达点达点C，测得点，测得点A在点在点C的北偏西的北偏西60方向上，则点方向上，则点A到河岸到河岸BC的距离为的距离为_知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）2 3 如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东的北偏东55方向，距离方向，距离灯塔灯塔2海里的海里的A处如果海轮沿正南方向航行到灯塔处如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离的正东位置，则海轮航行的距离AB是是()A2海里海里 B2sin 55海里海里 C2cos 55海里海里
7、D2tan 55海里海里知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）C【中考中考玉林玉林】如图，一艘轮船在如图，一艘轮船在A处测得灯塔处测得灯塔P位位于其北偏东于其北偏东60方向上，轮船沿正东方向航行方向上，轮船沿正东方向航行30海里海里到达到达B处后，此时测得灯塔处后，此时测得灯塔P位于其北偏东位于其北偏东30方向方向上，此时轮船与灯塔上，此时轮船与灯塔P的距离是的距离是()A15 海里海里 B30海里海里C45海里海里 D30 海里海里知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）4 B【中考中考百色百色】如图，在距离铁轨如图，在距离铁轨200米的米的B处，观处，观察由南宁开往百色的察由南宁开往百色
8、的“和谐号和谐号”动车，当动车车头动车，当动车车头在在A处时，恰好位于处时，恰好位于B处的北偏东处的北偏东60方向上；方向上；10秒秒钟后，动车车头到达钟后，动车车头到达C处，恰好位于处，恰好位于B处的西北方向处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是上，则这时段动车的平均速度是()米米/秒秒A20(1)B20(1)C200 D300知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）5 A2知识点知识点用解直角三角形解坡角问题用解直角三角形解坡角问题知知2 2讲讲探究探究一、如图是某一大坝的横断面：一、如图是某一大坝的横断面：坡面坡面AB的垂直高度与的垂直高度与水平宽度水平宽度AE的长度之的长度之比是比是
9、的什么三角函数的什么三角函数？ACBDE坡面坡面AB与水平面的夹角叫做坡角与水平面的夹角叫做坡角.知知2 2讲讲坡度的定义：坡度的定义：坡面的垂直高度与水平宽度之比坡面的垂直高度与水平宽度之比叫做坡度，记作叫做坡度，记作 i .ABEhl知知2 2讲讲例例2 丽水丽水一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑 至如图所示的位置时，至如图所示的位置时，AB3 m，已知木箱高，已知木箱高 BE m，斜面坡角为，斜面坡角为30，求木箱端点，求木箱端点E距距 地面地面AC的高度的高度EF.（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲导引：导引：连接连接AE，在，在RtABE中求出中求
10、出AE，且根据，且根据 EAB的正切值求出的正切值求出EAB的度数，进而的度数，进而 得到得到EAF的度数，最后在的度数，最后在RtEAF中解中解 出出EF即可即可（来自（来自点拨点拨）知知2 2讲讲解：解：如图，连接如图，连接AE.在在RtABE中，中，AB3，BE ，则则AE=tan EAB=EAB30.在在RtAEF中，中，EAFEAB+BAC 30+3060，EFAEsin EAF 答：答：木箱端点木箱端点E距地面距地面AC的高度的高度EF为为3 m.（来自（来自点拨点拨）总 结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)坡角是水平线与斜边的夹角，不要误解为铅垂线与坡角是水平线与斜边的夹
11、角，不要误解为铅垂线与 斜边的夹角；斜边的夹角；(2)坡比是坡角的正切值坡比是坡角的正切值1 如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AF=DE=6 m.斜面坡度斜面坡度i=1 1.5是指坡面的铅直高度是指坡面的铅直高度AF与水平宽度与水平宽度BF的比，斜面坡度的比，斜面坡度i=1 3是指是指DE与与CE 的比的比.根据图中根据图中数据，求：数据，求：（1）坡角）坡角 和和的度数；的度数；（2）斜坡）斜坡AB的长的长(结果结果 保留小数点后一位保留小数点后一位).知知2 2练练（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲(1)在在RtABF中，中，tan 0.666 7，所以所
12、以334129.在在RtDCE中，中，tan 0.333 3，所以所以1826.(2)因为因为AF6，所以所以BF9.所以所以AB 10.8(m)答：答：斜坡斜坡AB的长约为的长约为10.8 m.（来自教材）（来自教材）解：解：【中考中考宁波宁波】如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34的斜坡，从的斜坡，从A滑行至滑行至B，已知，已知AB500米，则这米，则这名滑雪运动员的高度下降了名滑雪运动员的高度下降了_米米(参考数据：参考数据：sin 340.56，cos 340.83，tan 340.67)知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2 280【中考中考重庆重庆
13、】如图，小王在长江边某瞭望台如图，小王在长江边某瞭望台D处，测处，测得江面上的渔船得江面上的渔船A的俯角为的俯角为40，若，若DE3米，米，CE2米，米，CE平行于江面平行于江面AB，迎水坡，迎水坡BC的坡度的坡度i1 0.75，坡长坡长BC10米，则此时米，则此时AB的长约为的长约为()(参考数据：参考数据：sin 400.64，cos 400.77，tan 400.84)A5.1米米 B6.3米米 C7.1米米 D9.2米米知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）3 A【中考中考济宁济宁】如图，斜面如图，斜面AC的坡度的坡度(CD与与AD的比的比)为为1：2，AC3 米，坡顶有一旗杆米，坡
14、顶有一旗杆BC，旗杆，旗杆顶端顶端B点与点与A点有一条彩带相连若点有一条彩带相连若AB10米，则米，则旗杆旗杆BC的高度为的高度为()A5米米B6米米C8米米D(3 )米米知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）4 A如图，某人在大楼如图，某人在大楼30米高米高(即即PH30米米)的窗口的窗口P处进处进行观测，测得山坡上行观测，测得山坡上A处的俯角为处的俯角为15，山脚，山脚B处的俯处的俯角为角为60，已知该山坡的坡度，已知该山坡的坡度i为为1:点点P，H，B，C，A在同一个平面内，点在同一个平面内，点H，B，C在同一条直线上，在同一条直线上，且且PHHC.则则A，B两点间的距离是两点间的距离
15、是()A15米米 B20 米米 C20 米米 D10 米米知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）5 B1解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位 置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知 角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角 函数解决问题函数解决问题2解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割 为直角三角形和矩形来解决问题为直角三角形和矩形来解决问题1知识小结 请完成请完成训练训练P85-86对应习题！对应习题！