《均匀设计及软件-PPT.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《均匀设计及软件-PPT.ppt（66页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、均匀设计和均匀设计软件Uniform Design and its SoftwareUniform Design and its Software2003年6月16日大家好1报告的主要内容n n均匀设计的概念、特点、原理n n均匀设计的具体应用方法n n均匀设计软件大家好2关键词n n均匀设计 Uniform Designn n试验法 Experimentationn n均匀设计软件 U Un ni if fo or rm m D De es si ig gn n S So of ft tw wa ar re e大家好31 什么是均匀设计n n均匀设计的概念n n均匀设计的特点大家好41.1
2、均匀设计的概念 均均匀匀设设计计(U Un ni if fo or rm m D De es si ig gn n)是是一一种种试试验验设设计计方方法法(E Ex xp pe er ri im me en nt ta al l D De es si ig gn n M Me et th ho od d),称称为为均均匀匀设设计计(U Un ni if fo or rm m D De es si ig gn n)或或均均匀匀设设计计试试验验法法(U Un ni if fo or rm m D De es si ig gn n E Ex xp pe er ri im me en nt ta at
3、ti io on n)。所所有有的的试试验验设设计计方方法法本本质质上上都都是是在在试试验验的的范范围围内内给给出出挑挑选选代代表表性性点点的的方方法法，均均匀匀设设计计也也不不例例外外，它它是是只只考考虑虑试试验验点点在在试试验验范范围围内内均均匀匀散散布布的的一一种种试试验验设设计计方方法法。它它由由方方开开泰泰教教授授和和数数学学家家王王元元在在1 19 97 78 8年年共共同同提提出出，是是数数论论方方法法中中的的“伪伪蒙蒙特特卡卡罗罗方方法法”的的一一个个应应用用。大家好51.2 均匀设计的特点 均匀设计遵从和具有试验设计方法的共性及均匀设计遵从和具有试验设计方法的共性及本质内容，
4、它能从全面试验点中挑选出部分代表本质内容，它能从全面试验点中挑选出部分代表性的试验点，这些试验点在试验范围内充分均衡性的试验点，这些试验点在试验范围内充分均衡分散，但仍能反映体系的主要特征。例如正交设分散，但仍能反映体系的主要特征。例如正交设计计 (Orthogonal Design)(Orthogonal Design)是根据正交性来挑选代是根据正交性来挑选代表点的，它在挑选代表点时有两个特点表点的，它在挑选代表点时有两个特点:均匀分均匀分散，整齐可比。散，整齐可比。“均匀分散均匀分散”使试验点均衡地布使试验点均衡地布在试验范围内，让每个试验点有充分的代表性在试验范围内，让每个试验点有充分的
5、代表性,“整齐可比整齐可比”使试验结果的分析十分方便，易使试验结果的分析十分方便，易于估计各因素的主效应和部分交互效应，从而可于估计各因素的主效应和部分交互效应，从而可分析各因素对指标的影响大小和变化规律。但是，分析各因素对指标的影响大小和变化规律。但是，为了为了大家好61.2 均匀设计的特点（续1）照照顾顾“整整齐齐可可比比”,它它的的试试验验点点并并没没有有能能做做到到充充分分 “均均匀匀分分散散”;为为了了达达到到“整整齐齐可可比比”，试试验验点点的的数数目目就就必必须须比比较较多多(例例如如用用正正交交表表安安排排每每因因素素为为q q个个水水平平数数的的多多因因素素试试验验,试试验验
6、的的次次数数为为r rq q2 2,r r为为自自然然数数)。均均匀匀设设计计只只考考虑虑试试验验点点在在试试验验范范围围内内充充分分“均均匀匀散散布布”而而不不考考虑虑“整整齐齐可可比比”,因因此此它它的的试试验验布布点点的的均均匀匀性性会会比比正正交交设设计计试试验验点点的的均均匀匀性性更更好好，使使试试验验点点具具有有更更好好的的代代表表性性。由由于于这这种种方方法法不不再再考考虑虑正正交交设设计计中中为为“整整齐齐可可比比”而而设设置置的的实实验验点点，因因而而大大大大减减少少了了试试验验次次数数，这这是是它它与与正正交交试试验验设设计计法法大家好71.2 均匀设计的特点（续2）的的最
7、最大大不不同同之之处处。采采用用均均匀匀设设计计，每每个个因因素素的的每每个个水水平平仅仅做做一一次次试试验验，当当水水平平数数增增加加时时，试试验验数数随随水水平平数数增增加加而而增增加加，若若采采用用正正交交设设计计，试试验验数数则则随随水水平平数数的的平平方方数数而而增增加加。例例如如用用正正交交设设计计需需做做9 96 61 1次次5 5因因素素3 31 1水水平平的的试试验验，采采用用均均匀匀设设计计只只需需做做3 31 1次次试试验验，其其效效果果基基本本相相同同。由由于于均均匀匀设设计计不不再再考考虑虑正正交交试试验验的的整整齐齐可可比比性性，因因此此其其试试验验结结果果的的处处
8、理理要要采采用用回回归归分分析析方方法法线线性性回回归归或或多多项项式式回回归归分分析析。回回归归分分析析中中可可对对模模型型中中因因素素进进行行回回归归显显著著性性检检验验，根根据据因因素素偏偏回回归归平平方方和和的的大大小小确确定定该该因因素素对对回回归归的的重重要要性性；在在各各因因素素间间无无相相关关关关系系大家好81.2 均匀设计的特点（续3）时时，因因素素偏偏回回归归平平方方和和的的大大小小也也体体现现了了它它对对试试验验指指标标影影响响的的重重要要性性。这这些些一一般般都都要要借借助助计计算算机机才才能能完完成成。大家好92 均匀设计的原理n n均匀设计表和使用表各部分的含义n
9、n均匀设计表的构造方法n n均匀设计表的使用表的产生方法n n混合水平均匀设计表的产生方法大家好102.1 均匀设计表和使用表各部分的含义 均匀设计和正交设计相似，也是通过一套精均匀设计和正交设计相似，也是通过一套精心设计的表来进行试验设计的。均匀设计表用心设计的表来进行试验设计的。均匀设计表用U Un n(q(qs s)或或 U Un n*(q(qs s)表示表示,其中代表均匀设计其中代表均匀设计,代表代表要做的试验次数要做的试验次数,代表每个因素有个水平，代表每个因素有个水平，代表该表有列，有和无代表的是用两种代表该表有列，有和无代表的是用两种不同类型的均匀设计表不同类型的均匀设计表,类型
10、表是由类型表是由U Un+1n+1类型的类型的表构造形成的，后面再具体说明其形成方法。以表构造形成的，后面再具体说明其形成方法。以下用均匀设计表下用均匀设计表U U1111(11(116 6)、U U9 9*(9(94 4)和它们各自的和它们各自的使用表介绍一下表的各部分代表的意义使用表介绍一下表的各部分代表的意义(表中未表中未用列已经删除用列已经删除)：大家好11均匀设计表均匀设计表U U1111(11(116 6)和它的使用表和它的使用表 均匀设计表均匀设计表 U U1111(11(116 6)U)U1111(11(116 6)的使用表的使用表大家好12均匀设计表均匀设计表U U9 9*(
11、9(94 4)和它的使用表和它的使用表 均匀设计表均匀设计表U U9 9*(9(94 4)U)U9 9*(9(94 4)的使用表的使用表大家好132.2 均匀设计表的构造方法 用用好好格格子子点点法法(G Go oo od d L La at tt ti ic ce e P Po oi in nt t)构构造造均均匀匀设设计计表表的的方方法法如如下下：(1 1)定定义义试试验验次次数数n n,寻寻求求比比小小的的整整数数h h,且且使使和和的的最最大大公公约约数数为为1 1,符符合合这这些些条条件件的的正正整整数数组组成成一一个个向向量量h h=(h h1 1,h hm m)；(2 2)均均匀
12、匀设设计计表表的的第第列列由由u ui ij j=i ih hj j m mo od d n n(同同余余运运算算)产产生生，若若j jh hi i超超过过 n n,则则用用它它减减去去 n n的的一一个个适适当当的的倍倍数数，使使差差落落在在 1 1,n n 之之中中。u ui ij j可可以以递递推推来来生生成成：u u1 1j j=h hj j，u ui i+1 1,j j=u ui ij j+h hj j(若若u ui ij j+h hj jn n)或或者者u ui i+1 1,j j=u ui ij j+h hj j-n n(若若u ui ij j+h hj j n n)，这这里里i
13、 i=1 1,n n-1 1。大家好142.2 均匀设计表的构造方法（续1）用用上上述述方方法法生生成成的的表表记记作作U Un n(n nm m),例例如如n n=1 11 1时时，可可以以形形成成象象前前面面介介绍绍的的U U1 11 1(1 11 16 6)表表。向向量量h h称称为为该该表表的的生生成成向向量量，可可以以将将U Un n(n nm m)记记成成U Un n(h h)。给给定定n n,相相应应的的 h h可可以以用用上上面面的的方方法法求求得得，从从而而 m m也也就就确确定定了了，所所以以 m m是是 n n的的一一个个函函数数，称称为为欧欧拉拉函函数数，记记为为E E
14、(n n)。这这个个函函数数告告诉诉我我们们均均匀匀设设计计表表最最多多可可能能有有多多少少列列。根根据据数数论论结结果果可可知知：(1 1)当当n n为为素素数数时时,E E(n n-1 1)=n n-1 1;(2 2)当当n n为为素素数数幂幂时时,即即n n可可表表示示成成n n=p pl l,这这里里p p为为素素数数,l l为为正正整整数数，E E(n n)=n n(1 1-1 1/p p)，如如n n=9 9,可可表表为为n n=3 32 2,于于是是 E E(9 9)=9 9(1 1-1 1/3 3)=6 6,即即U U9 9最最多多可可以以有有6 6列列;(3 3)若若 n n
15、不不属属于于上上述述两两种种情情况况，大家好152.2 均匀设计表的构造方法（续2）这这时时 n n一一定定可可以以表表示示为为不不同同数数的的方方幂幂积积，即即：n n=p p1 1l l1 1p p2 2l l2 2p ps sl ls s,这这里里p p1 1,p ps s 为为不不同同的的素素数数，l l1 1,l ls s为为正正整整数数，这这时时E E(n n)=n n(1 1-1 1/p p1 1)(1 1-1 1/p ps s),例例如如n n=1 12 2可可表表为为n n=2 22 23 3,于于是是E E(1 12 2)=1 12 2(1 1-1 1/2 2)(1 1-1
16、 1/3 3)=4 4,即即U U1 12 2最最多多可可能能有有4 4列列。上上述述的的三三种种情情形形中中以以 n n为为素素数数时时最最好好，最最多多可可以以有有n n-1 1列列，非非素素数数时时表表的的结结构构中中永永远远不不可可能能有有 n n-1 1列列，比比如如E E(6 6)=2 2，则则最最多多只只能能安安排排两两个个试试验验因因素素，为为此此,王王元元和和方方开开泰泰建建议议，用用 U Un n+1 1 表表划划去去最最后后一一行行构构造造形形成成新新的的U Un n*表表，如如U U6 6*(6 66 6)可可有有6 6列列之之多多。大家好162.3 均匀设计表的使用表
17、的产生方法 每每个个均均匀匀设设计计表表都都规规定定了了它它的的使使用用表表，用用于于进进行行试试验验各各因因素素水水平平组组合合的的具具体体安安排排。这这样样做做的的原原因因是是：从从均均匀匀设设计计表表U Un n(n nm m)中中选选出出 s s列列,则则可可能能的的选选择择有有(m ms s)种种，但但不不同同列列组组合合起起来来所所代代表表的的点点集集的的均均匀匀性性是是不不同同的的，所所设设计计试试验验的的效效果果也也是是不不同同的的，因因而而如如何何选选用用均均匀匀设设计计表表中中的的列列必必须须引引入入一一个个判判别别表表的的均均匀匀性性好好坏坏的的准准则则。度度量量均均匀匀
18、性性的的准准则则很很多多,其其中中偏偏差差(d di is sc cr re ep pa an nc cy y)是是使使用用历历史史最最久久、最最为为广广泛泛接接受受的的方方法法，均均匀匀设设计计也也同同样样采采用用偏偏差差来来衡衡量量其其设设计计表表的的均均匀匀性性，偏偏差差越越小小，则则设设计计表表的的均均匀匀性性越越好好。大家好172.3 均匀设计表的使用表的产生方法（续1）由由于于这这个个报报告告的的目目的的是是向向大大家家介介绍绍这这种种试试验验方方法法，而而且且关关于于偏偏差差计计算算的的内内容容也也很很多多，因因而而关关于于均均匀匀性性偏偏差差的的计计算算方方法法和和具具体体产产
19、生生使使用用表表的的方方法法在在此此不不做做介介绍绍（有有特特别别需需要要者者可可以以参参见见参参考考文文献献 1 1 ）使使用用者者只只需需要要按按每每个个均均匀匀设设计计表表所所附附的的使使用用表表进进行行试试验验安安排排即即可可。比比如如，欲欲进进行行一一个个因因素素、每每因因素素1 13 3水水平平的的试试验验，可可以以选选用用均均匀匀设设计计表表U U1 13 3*(1 13 34 4)，使使用用表表中中推推荐荐的的列列为为1 1,3 3,4 4,则则所所有有1 13 3次次试试验验时时各各因因素素的的水水平平组组合合为为：大家好182.3 均匀设计表的使用表的产生方法(续2)均匀设
20、计表均匀设计表U U1313*(13*(134 4)和它的使用表及和它的使用表及3 3因素时各次试验的因素水平组合方式因素时各次试验的因素水平组合方式大家好192.4 混合水平均匀设计表的产生方法 上面介绍的是各试验因素水平数相等情况下上面介绍的是各试验因素水平数相等情况下的均匀设计表，若各因素的水平数不等，则需要的均匀设计表，若各因素的水平数不等，则需要采用混合水平的设计表进行试验设计。将均水平采用混合水平的设计表进行试验设计。将均水平的设计表转换为混合水平的表的方法可采用常用的设计表转换为混合水平的表的方法可采用常用的拟水平法。一个试验次数为的拟水平法。一个试验次数为 n n的设计表，试验
21、的设计表，试验因素中某个或几个因素的水平数不足因素中某个或几个因素的水平数不足n,n,为为m(n m(n 必必须为须为 m m的整数倍的整数倍),),则将设计表中代表该因素的水则将设计表中代表该因素的水平合并，具体的合并方法是：设平合并，具体的合并方法是：设 i i为该试验因素为该试验因素的第的第 i i水平水平(i=1,2,(i=1,2,n),n)，将，将 i i从小到大分成从小到大分成 m m组，每组有组，每组有n/mn/m个个i,i,用用 i i所在的组的数值所在的组的数值 m m代替代替设计表中的设计表中的 i,i,这样就形成了混合水平设计表混这样就形成了混合水平设计表混合水平的设计表
22、的例子如下：合水平的设计表的例子如下：大家好202.4 混合水平均匀设计表的产生方法(续1)用用U U1 10 0*(1 10 08 8)产产生生3 3因因素素的的U U1 10 0(1 10 05 52 2)的的过过程程 用用U U1 11 1构构造造U U1 10 0计计算算出出U U1 10 0中中的的3 3列列形形成成拟拟水水平平均均匀匀设设计计表表U U1 10 0(1 10 05 52 2)大家好213 均匀设计的应用方法n n试验设计的共性问题n n均匀设计的应用方法n n具体问题的解决方法大家好223.1 试验设计的共性问题试试验验设设计计（如如正正交交试试验验设设计计、回回归
23、归正正交交试试验验设设计计、旋旋转转设设计计、D D-最最优优设设计计等等）过过程程必必然然离离不不开开试试验验基基础础内内容容的的构构思思（试试验验的的评评价价指指标标；试试验验的的因因素素、水水平平的的选选择择和和试试验验次次数数的的拟拟定定）、试试验验结结果果数数据据的的分分析析等等共共性性方方面面的的问问题题。试试验验的的因因素素和和水水平平的的选选择择关关系系到到一一个个试试验验能能否否成成功功的的关关键键，下下列列的的注注意意事事项项和和建建议议对对使使用用试试验验设设计计（当当然然也也包包括括均均匀匀设设计计）的的人人员员应应该该是是有有益益的的：大家好233.1 试验设计的共性
24、问题（续1）（1 1）因因素素的的含含义义：在在一一个个试试验验过过程程中中，影影响响试试验验指指标标的的因因素素通通常常是是很很多多的的，通通常常固固定定的的试试验验因因素素在在试试验验方方案案中中并并不不称称为为因因素素，只只有有变变化化的的因因素素才才称称为为因因素素；（2 2）关关于于因因素素数数量量：在在一一项项试试验验中中，因因素素不不宜宜选选得得太太多多(如如超超过过1 10 0个个)，那那样样可可能能会会造造成成主主次次不不分分；相相反反地地，因因素素也也不不宜宜选选得得太太少少（如如只只选选定定一一、二二个个因因素素），这这样样可可能能会会遗遗漏漏重重要要的的因因素素，或或遗
25、遗漏漏因因素素间间的的交交互互作作用用，使使试试验验的的结结果果达达不不到到预预期期的的目目的的；大家好243.1 试验设计的共性问题（续2）（3 3）关关于于各各因因素素的的水水平平范范围围：试试验验水水平平范范围围应应当当尽尽可可能能大大一一点点。如如果果试试验验在在实实验验室室进进行行，试试验验范范围围大大比比较较容容易易实实现现；如如果果试试验验直直接接在在生生产产中中进进行行，则则试试验验范范围围不不宜宜太太大大，以以防防产产生生过过多多次次品品，或或产产生生危危险险。试试验验范范围围太太小小的的缺缺点点是是不不易易获获得得比比已已有有条条件件有有显显著著改改善善的的结结果果；（4
26、4）关关于于因因素素的的水水平平数数：若若试试验验水水平平范范围围允允许许大大一一些些，则则每每一一因因素素的的水水平平个个数数最最好好适适当当多多一一些些；大家好253.1 试验设计的共性问题（续3）（5 5）关关于于因因素素的的水水平平间间隔隔：水水平平间间隔隔的的大大小小和和生生产产控控制制精精度度是是密密切切相相关关的的。如如不不切切实实际际地地降降低低试试验验的的水水平平间间隔隔，在在试试验验范范围围确确定定了了的的情情况况下下必必然然会会引引起起试试验验次次数数的的增增加加；而而因因素素水水平平间间隔隔太太大大，其其试试验验结结果果的的中中不不确确定定性性成成分分也也必必然然增增加
27、加；（6 6）因因素素和和水水平平的的含含意意可可以以是是广广义义的的：例例如如五五种种棉棉花花用用于于织织同同一一种种布布，要要比比较较不不同同棉棉花花影影响响布布的的质质量量的的效效应应，这这时时“棉棉花花品品种种”可可设设定定为为一一个个因因素素，五五种种棉棉花花就就是是该该因因素素下下的的五五个个水水平平。大家好263.2 均匀设计的应用方法 均匀设计的具体应用过程一般分以下六个步骤：(1)确定试验指标、因素、因素水平范围和因素水平数（这是关系到试验成功与否的关键）；(2)选择合适的均匀设计表建立分次试验的具体因素水平组合；(3)执行分次试验并取得每次试验的指标值；大家好273.2 均
28、匀设计的应用方法（续1）(4)(4)用分次试验的指标值和取得该指标值的各因用分次试验的指标值和取得该指标值的各因素水平值建立试验指标素水平值建立试验指标各因素水平关系的回归各因素水平关系的回归模型（模型（这也是均匀设计中的最重要的环节之一这也是均匀设计中的最重要的环节之一)；(5)(5)成功地建立了回归模型后在各试验因素的试成功地建立了回归模型后在各试验因素的试验范围内寻找最佳的各因素水平组合并进行该组验范围内寻找最佳的各因素水平组合并进行该组合的验证试验（也可和步骤一起进行合的验证试验（也可和步骤一起进行)；(6)(6)验证试验成功则进一步缩小各因素的试验范验证试验成功则进一步缩小各因素的试
29、验范围，重新选择均匀设计表（即从步骤开始）进围，重新选择均匀设计表（即从步骤开始）进行各因素范围缩小和水平划分更为细致的新的一行各因素范围缩小和水平划分更为细致的新的一轮的试验，进一步寻找最优试验条件组合。一般轮的试验，进一步寻找最优试验条件组合。一般情况下，此次最优条件即为整个试验的最优条件，情况下，此次最优条件即为整个试验的最优条件，试验结束。试验结束。大家好283.3 具体问题的解决方法n n试试验验次次数数问问题题n n设设计计表表的的选选择择n n回回归归模模型型建建立立n n回回归归模模型型优优化化n n试试验验参参数数优优化化n n使使用用均均匀匀设设计计时时需需要要注注意意的的
30、其其它它问问题题大家好293.3.1 试验次数问题均均匀匀设设计计的的最最大大特特点点是是试试验验次次数数等等于于因因素素的的最最大大水水平平数数，而而不不是是平平方方的的关关系系，试试验验次次数数与与被被考考察察的的因因素素的的个个数数有有关关，建建议议试试验验次次数数选选为为因因素素数数的的倍倍左左右右为为宜宜，这这样样选选择择的的均均匀匀设设计计表表的的均均匀匀性性好好，也也有有利利于于以以后后的的建建模模和和优优化化。大家好303.3.2 设计表的选择 选选择择均均匀匀设设计计表表需需要要注注意意以以下下几几点点：(1 1)要要满满足足试试验验次次数数的的要要求求：即即确确定定U Un
31、 n表表n n的的问问题题，关关于于这这一一点点，见见前前面面的的建建议议；(2 2)表表的的列列数数要要满满足足试试验验因因素素数数的的要要求求：如如U U6 6(6 62 2)表表和和U U6 6*(6 66 6)表表，虽虽然然 n n值值相相同同，可可前前者者有有列列，只只能能安安排排因因素素试试验验，而而后后者者最最多多却却可可以以安安排排因因素素试试验验。(3 3)U Un n*表表比比U Un n表表有有更更好好的的均均匀匀性性，在在确确定定了了试试验验次次数数n n的的情情况况下下,若若U Un n*表表也也能能满满足足因因素素数数的的要要求求，应应优优先先采采用用U Un n*
32、表表：U Un n*表表是是由由U Un n+1 1表表划划去去最最后后一一行行大家好313.3.2 设计表的选择（续）得得到到的的，若若n n为为偶偶数数，U Un n*表表比比U Un n表表有有更更多多的的列列，若若 n n为为奇奇数数,则则U Un n*表表的的列列通通常常少少于于U Un n表表。(4 4)U Un n*表表比比U Un n表表更更容容易易安安排排试试验验：U Un n表表的的最最后后一一行行全全部部由由组组成成，而而U Un n*表表则则不不然然。例例如如在在化化工工反反应应中中，若若所所有有因因素素的的水水平平都都按按一一个个方方向向排排列列，则则在在表表的的最最
33、后后一一行行的的所所有有因因素素的的水水平平值值不不是是最最高高就就是是最最低低，所所有有高高水水平平组组合合很很容容易易出出现现反反应应过过分分剧剧烈烈甚甚至至爆爆炸炸，所所有有低低水水平平组组合合则则可可能能出出现现反反应应异异常常甚甚至至不不能能进进行行的的现现象象。大家好323.3.3 回归模型建立 回归模型可分为线性回归模型和非线性模型回归模型可分为线性回归模型和非线性模型等。等。3.3.3.1 3.3.3.1 线性回归模型线性回归模型 分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。分为一元线性回归模型和多元线性回归模型。(1)(1)一元线性回归模型一元线性回归模型 模型为模型为 y=a+
34、bx,y=a+bx,线性相关的程度常用相关系线性相关的程度常用相关系数来衡量，在某一显著性水平数来衡量，在某一显著性水平下，当相关系数下，当相关系数的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为的绝对值大于相关系数临界值时才可以认为x x和和y y有线性相关关系。有线性相关关系。注意：回归模型不等于回归方程，回归方程只是回归模型中的表达方式的部注意：回归模型不等于回归方程，回归方程只是回归模型中的表达方式的部分，一个完整的模型的表述，包括它的数学表达部分分，一个完整的模型的表述，包括它的数学表达部分回归方程，还有因素回归方程，还有因素的组成、因素范围和置信水平、随机误差等内容，本文论述中为了直观的原的
35、组成、因素范围和置信水平、随机误差等内容，本文论述中为了直观的原因，可能将因，可能将“回归方程回归方程”表述为表述为“回归模型回归模型”。大家好333.3.3.1 线性回归模型（续）(2)(2)多元线性回归模型多元线性回归模型 当影响因变量的自变量不止一个时，比如当影响因变量的自变量不止一个时，比如有个有个x x1 1,x,xm m 这时和之间的线性回归方程这时和之间的线性回归方程为：为：y=a+by=a+b1 1x x1 1+b+b2 2x x2 2+,+,+b,+bm mx xm m,其回归显著性检验其回归显著性检验一般用检验，方程中各项在回归中的重要性用一般用检验，方程中各项在回归中的重
36、要性用该项的偏回归平方和进行判定。由于其回归系数该项的偏回归平方和进行判定。由于其回归系数的求解需要解用来确定回归系数的的方程组的求解需要解用来确定回归系数的的方程组-正正规方程，通常情况下仅此一项工作就导致分析过规方程，通常情况下仅此一项工作就导致分析过程中需要进行大量的计算，在方程项数很少的情程中需要进行大量的计算，在方程项数很少的情况下还可以通过人工方式在可接受的时间内完成，况下还可以通过人工方式在可接受的时间内完成，否则一般都要借助计算机才能完成。否则一般都要借助计算机才能完成。大家好343.3.3.2 非线性回归模型 一般分为二次型回归模型、多项式回归模型一般分为二次型回归模型、多项
37、式回归模型等。等。(1)(1)二次型回归模型二次型回归模型 由于因素间常有交互作用，那么前面的回归由于因素间常有交互作用，那么前面的回归模型就不足以反映实际，于是二次型回归模型常模型就不足以反映实际，于是二次型回归模型常常为人们所采用。若有常为人们所采用。若有 m m个因素则二次型回归模个因素则二次型回归模型为：型为：回归方程中的项数为回归方程中的项数为m(m+3)/2m(m+3)/2，若使回归系数的，若使回归系数的估计成为可能，则需要试验次数估计成为可能，则需要试验次数n1+m(m+3)/2n1+m(m+3)/2，因此进入方程的变量必须经过筛选，如采用前进因此进入方程的变量必须经过筛选，如采
38、用前进大家好353.3.3.2 非线性回归模型（续1）法法、后后退退法法、逐逐步步回回归归法法或或最最优优子子集集法法等等进进行行变变量量的的筛筛选选。其其回回归归系系数数求求解解可可经经过过方方程程项项的的转转换换按按多多元元线线性性回回归归的的方方法法完完成成。(2 2)多多项项式式回回归归模模型型 一一般般地地，包包含含多多变变量量的的任任意意多多项项式式可可表表述述为为：可可通通过过类类似似x x1 1=Z Z1 1,x x2 2=Z Z2 2,x x3 3=Z Z1 12 2,x x4 4=Z Z1 1Z Z2 2,x x5 5=z z2 22 2 的的变变换换，将将其其按按多多元元
39、线线性性回回归归分分析析。多多项项式式回回归归在在回回归归分分析析中中占占特特殊殊地地位位，因因为为任任何何函函数数至至少少在在一一大家好363.3.3.2 非线性回归模型（续2）个个比比较较小小的的邻邻域域内内可可用用多多项项式式任任意意逼逼近近，因因此此在在比比较较复复杂杂的的的的实实际际问问题题中中，可可以以不不问问与与各各因因素素的的确确切切关关系系如如何何，而而采采用用多多项项式式进进行行分分析析（一一次次多多项项式式是是多多项项式式的的特特例例）。在在多多项项式式回回归归模模型型中中，常常用用的的子子模模型型结结构构如如下下：大家好373.3.3.2 非线性回归模型（续3）（1 1
40、）对数）对数(Logarithm)(Logarithm)：包括自然对数、常用对数和以：包括自然对数、常用对数和以n n为底对数，为底对数，数学表达式分别为数学表达式分别为Ln(x)Ln(x)、Lg(x)Lg(x)、LogLogn n(x)(x)以下将以下将“数学表达式数学表达式”和和“函数函数”类的语句省略类的语句省略（2 2）幂）幂(Power)(Power)：整数次幂、非整数次幂，：整数次幂、非整数次幂，x xn n（3 3）倒数）倒数(Reciprocal)(Reciprocal)：1/x1/x（4 4）三角函数）三角函数(Trigonometric function)(Trigonom
41、etric function)、反三角函数、反三角函数(Inverse(Inverse trigonometric function)(trigonometric function)(涉及力学领域等常用，比如工件的切割、涉及力学领域等常用，比如工件的切割、弹道轨迹等弹道轨迹等),),包括有：正弦包括有：正弦 Sin(X)Sin(X)、余弦、余弦 Cos(X)Cos(X)、正切、正切 Tan(X)Tan(X)、余切余切 Cotan(X)Cotan(X)、正割、正割 Sec(X)Sec(X)、余割、余割 Cosec(X)Cosec(X)、双曲正弦、双曲正弦 HSin(X)HSin(X)、双曲余弦双
42、曲余弦 HCos(X)HCos(X)、双曲正切、双曲正切 HTan(X)HTan(X)、双曲余切、双曲余切 HCotan(X)HCotan(X)、双、双曲正割曲正割 HSec(X)HSec(X)、双曲余割、双曲余割 HCosec(X)HCosec(X)、反正弦、反正弦 Arcsin(X)Arcsin(X)、反余、反余弦弦 Arccos(X)Arccos(X)、反正切、反正切 Atn(X)Atn(X)、反余切、反余切 Arccotan(X)Arccotan(X)、正割：、正割：Arcsec(X)Arcsec(X)、反余割：、反余割：Arccosec(X)Arccosec(X)、反双曲正弦：、反双
43、曲正弦：HArcsin(X)HArcsin(X)、反、反双曲余弦：双曲余弦：HArccos(X)HArccos(X)、反双曲正切：、反双曲正切：HArctan(X)HArctan(X)、反双曲余切：、反双曲余切：HArccotan(X)HArccotan(X)、反双曲正割：、反双曲正割：HArcsec(X)HArcsec(X)、反双曲余割：、反双曲余割：HArccosec(X)HArccosec(X)。（5 5）幂指数：）幂指数：a anxnx大家好383.3.3.3 回归模型建立 回归模型的建立过程在很大程度上需要结合回归模型的建立过程在很大程度上需要结合专业知识和经验。虽然试验者正在用均匀
44、设计研专业知识和经验。虽然试验者正在用均匀设计研究的某个问题的未知因素很多，也可能有些问题究的某个问题的未知因素很多，也可能有些问题是试验者全然不知道的（就象试验者在未建立回是试验者全然不知道的（就象试验者在未建立回归模型前肯定不知道模型的具体形式一样归模型前肯定不知道模型的具体形式一样),),但试但试验者在试验中所采用具体试验实施操作肯定是和验者在试验中所采用具体试验实施操作肯定是和各种专业紧密相关的，只要试验者思考一下，哪各种专业紧密相关的，只要试验者思考一下，哪个因素在什么时间、什么过程参加了什么反应，个因素在什么时间、什么过程参加了什么反应，以及对试验的指标有何影响（有些时候可以比较以
45、及对试验的指标有何影响（有些时候可以比较明确地指出这个因素对试验指标的影响，而有些明确地指出这个因素对试验指标的影响，而有些时候就不能断言时候就不能断言),),那么试验者只要寻着这样一个那么试验者只要寻着这样一个大家好393.3.3.3 回归模型建立（续1）思思路路考考虑虑，肯肯定定可可以以找找出出在在模模型型中中应应该该添添加加或或不不添添加加某某个个模模型型组组成成项项的的依依据据。下下面面用用一一个个例例子子来来说说明明建建模模的的思思路路和和过过程程：例例子子：为为研研究究石石墨墨炉炉原原子子吸吸收收分分光光光光度度计计法法测测定定微微量量元元素素钯钯的的工工作作条条件件，确确定定了了
46、灰灰化化温温度度x x1 1、灰灰化化时时间间x x2 2、原原子子化化温温度度x x3 3 和和原原子子化化时时间间x x4 4四四个个因因素素，其其试试验验评评价价指指标标为为吸吸光光度度。由由原原子子化化机机理理可可知知，灰灰化化温温度度和和原原子子化化温温度度对对吸吸光光度度的的的的影影响响可可拟拟合合为为二二次次函函数数，即即在在模模型型中中应应该该有有x x1 12 2和和 x x3 32 2项项,这这两两个个因因素素发发生生在在不不同同时时间间，因因而而不不存存在在交交互互作作大家好403.3.3.3 回归模型建立（续2）用用,x x1 1x x3 3项项可可不不列列为为考考察察
47、目目标标。灰灰化化时时间间和和原原子子化化时时间间对对试试验验指指标标的的影影响响比比较较复复杂杂，也也可可用用二二次次项项逼逼近近，忽忽略略它它们们的的交交互互作作用用，方方程程中中应应该该有有x x2 22 2、x x4 42 2项项。因因为为还还只只是是根根据据专专业业知知识识和和经经验验进进行行推推断断，具具体体每每个个因因素素对对结结果果的的影影响响到到底底如如何何还还属属未未知知，那那么么，各各因因素素的的一一次次项项理理所所当当然然也也参参加加进进方方程程中中，这这样样就就可可以以拟拟定定出出一一个个y y=b b0 0+b b1 1x x1 1+b b2 2x x2 2+b b
48、3 3x x3 3+b b4 4x x4 4+b b5 5x x1 12 2+b b6 6x x2 22 2+b b7 7x x3 32 2+b b8 8x x4 42 2的的原原始始的的多多项项式式回回归归模模型型。至至于于这这个个模模型型的的表表达达效效果果到到底底如如何何，暂暂时时可可以以不不用用理理会会，只只是是试试验验者者大家好413.3.3.3 回归模型建立（续3）已经按照专业知识和经验拟定出一个有明确意义已经按照专业知识和经验拟定出一个有明确意义的回归模型了！接下来就是用多元回归分析的方的回归模型了！接下来就是用多元回归分析的方法，进行模型的计算和按照一定的显著性水平对法，进行模
49、型的计算和按照一定的显著性水平对模型有效性及模型中各组成项的显著性进行检验模型有效性及模型中各组成项的显著性进行检验的过程了，可以计算出原始模型的各回归系数分的过程了，可以计算出原始模型的各回归系数分别为：别为：b b0 0=3.836=3.8361010-1-1；b b1 1=1.001=1.0011010-5-5；b b2 2=-3.324=-3.3241010-3-3；b b3 3=-3.529=-3.5291010-4-4；b b4 4=1.421=1.4211010-2-2；b b5 5=-3.584=-3.5841010-8-8；b b6 6=4.034=4.0341010-5-5
50、；b b7 7=9.852=9.8521010-8-8；b b8 8=-1.076=-1.0761010-3-3。对模型进行回归显著性检验，其检验值为对模型进行回归显著性检验，其检验值为66.620,66.620,临界值临界值0.050.05(8,3)=8.8452(8,3)=8.8452，高度显著性，高度显著性，复相关系数达到复相关系数达到0.99720.9972。大家好423.3.4 回归模型优化 若若对对上上面面例例子子中中列列入入回回归归方方程程中中的的项项按按某某一一显显著著性性水水平平（本本例例中中取取=0 0.0 05 5)逐逐个个进进行行显显著著性性检检验验，就就可可以以发发现