《四川省四川大学附属中学2023届高考热身考试(一)文科数学试题含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川省四川大学附属中学2023届高考热身考试(一)文科数学试题含解析.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、川 大 附 中 高 2 0 2 3 届 高 考 热 身 考 试 一文 科 数 学一、选择 题：本大 题共 12 小题，每小 题 5 分，在每 小题 给出的 四个 选项中，只有 一项 是符合题目 要求 的.1.已 知 集 合 20,1,A a，0,2 B a，A B A，则 a（）A.1 或 2 B.2 C.1 或 2 D.22.已 知12i z a，22 i z b，,a b R，若 1 1 2 2i 4 13i z z z z，则（）A.2 a，3 b B.2 a，3 b C.2 a，3 b D.2 a，3 b 3.某 商 场 一 年 中 各 月 份 的 收 入、支 出 情 况 的 统 计
2、如 图 所 示，则 下 列 说 法 中 不 正 确 的 是（）A.支 出 最 高 值 与 支 出 最 低 值 的 比 是 6：1B.利 润 最 高 的 月 份 是 2 月 份C.第 三 季 度 平 均 收 入 为 50 万 元D.12 月 份 的 支 出 的 变 化 率 与 1011 月 份 的 支 出 的 变 化 率 相 同4.已 知sin sin 22，则 tan（）A.2 B.1 C.1 D.25.函 数 cos sin ln|f x x x x x 的 部 分 图 像 大 致 为（）A.B.C.D.6.过 0,1 A、0,3 B 两 点，且 与 直 线1 y x 相 切 的 圆 的 方
3、 程 可 以 是（）A.2 21 2 2 x y B.2 22 2 5 x y C.2 21 2 2 x y D.2 22 2 5 x y 7.已 知 a，b 是 不 同 的 两 条 直 线，是 不 同 的 两 个 平 面，现 有 以 下 四 个 命 题：/aa bb；/aa；/b aab；/ba ba 其 中，正 确 的 个 数 有（）A.1 B.2 C.3 D.48.已 知 数 列 na 的 通 项 公 式 为22 17nnan，前 n 项 和 为nS，则nS 取 最 小 值 时 n 的 值 为（）A.6 B.7 C.8 D.99.已 知34a，e 1 b，3ln2c，则（）A.c b a
4、 B.a c b C.b c a D.c a0，b0）的 离 心 率 为5，左，右 焦 点 分 别 为1 2F F，2F 关 于 C 的 一条 渐 近 线 的 对 称 点 为 P.若12 P F，则1 2P F F 的 面 积 为（）A.2 B.5C.3 D.411.如 图，在 山 脚 A 测 得 山 顶 P 的 仰 角 为，沿 倾 斜 角 为 的 斜 坡 向 上 走a米 到 B，在 B 处 测 得 山 顶 P 的仰 角 为，则 山 高 h（）A.cos sin()sin()a B.sin sin()sin()a C.cos sin()sin()a D.sin sin()sin()a 12.若
5、 函 数 ln 1 g x x x a x 恰 有 2 个 零 点，则 实 数 a 的 取 值 范 围 为（）A.0,B.0,eC.0,1 1,D.0,1 1,e 二、填空 题：本 大题 共 4 小题，每 小题 5 分.13.已 知 1,a，2,1 b，若 2/a b b，则 _ 14.记nS 为 等 比 数 列 na 的 前n项 和.若3 14 a a，则84SS_.15.如 图，A B C D 是 边 长 为 2 的 正 方 形，其 对 角 线 A C 与 B D 交 于 点 O，将 正 方 形 A B C D 沿 对 角 线 B D 折叠，使 点 A 所 对 应 点 为 A，2A O C
6、.设 三 棱 锥 A B C D 的 外 接 球 的 体 积 为 V，三 棱 锥 A B C D 的体 积 为 V，则VV _ 16.过 抛 物 线2y x 上 且 在 第 一 象 限 内 的 一 点2(,)M m m 作 倾 斜 角 互 补 的 两 条 直 线，分 别 与 抛 物 线 另 外 交 于A，B 两 点，若 直 线 A B 的 斜 率 为 k，则 k m 的 最 大 值 为_ 三、解答 题：第 17 至 21 题每 题 12 分，第 22、23 题为 选考 题，各 10 分.解答 应写 出文字 说明，证明 过程 或演算 步骤.17.某 学 习 A P P 的 注 册 用 户 分 散
7、 在 A、B、C 三 个 不 同 的 学 习 群 里，分 别 有 24000 人、24000 人、36000人，该 A P P 设 置 了 一 个 名 为“七 人 赛”的 积 分 游 戏，规 则 要 求 每 局 游 戏 从 A、B、C 三 个 学 习 群 以 分 层 抽样 的 方 式，在 线 随 机 匹 配 学 员 共 计 7 人 参 与 游 戏（1）每 局“七 人 赛”游 戏 中，应 从 A、B、C 三 个 学 习 群 分 别 匹 配 多 少 人？（2）设 匹 配 的 7 名 学 员 分 别 用：1m、2m、3m、4m、5m、6m、7m 表 示，现 从 中 随 机 抽 取 出 2 名 学 员
8、 参与 新 的 游 戏（）试 用 所 给 字 母 列 举 出 所 有 可 能 的 抽 取 结 果；（）设 M 为 事 件“抽 取 的 2 名 学 员 不 是 来 自 同 一 个 学 习 群”，求 事 件 M 发 生 的 概 率 18.已 知 a，b，c 分 别 为 A B C 三 个 内 角 A，B，C 的 对 边，2A，且cos 3 sin 3 0 a C a C b c（1）求 A；（2）若2 2b a a c，求 证：A B C 是 直 角 三 角 形 19.如 图 甲，已 知 四 边 形 A B C D 是 直 角 梯 形，E，F 分 别 为 线 段 A D，B C 上 的 点，且 满
9、 足 A B C D E F，2 4 4 A B E F C D，A B B C，45 A 将 四 边 形 C D E F 沿 E F 翻 折，使 得 C，D 分 别 到1C，1D 的位 置，并 且13 B C，如 图 乙（1）求 证：1 1E D B C；（2）求 点 E 到 平 面1 1A B C D 的 距 离 20.已 知 椭 圆1C：2 22 21 0 x ya ba b 与 椭 圆2C：2212xy 的 离 心 率 相 等，1C的 焦 距 是2 2（1）求1C的 标 准 方 程；（2）P 为 直 线 l：4 x 上 任 意 一 点，是 否 在 x 轴 上 存 在 定 点 T，使 得
10、 直 线 P T 与 曲 线1C的 交 点 A，B 满 足P A A TP B T B？若 存 在，求 出 点 T 的 坐 标 若 不 存 在，请 说 明 理 由 21.已 知 函 数 2ln,1 1 f x x g x a x.（1）当14a 时，求 函 数 F x f x g x 的 最 大 值；（2）当14a 时，求 曲 线 y f x 与 y g x 的 公 切 线 方 程.请考 生在 第 22、23 题中 任选 一题作 答，如果多 做，则 按所 做的第 一题 记分.作答 时用 2B 铅笔在答 题卡 上把所 选题 目对应 题号的 方框 涂黑.选修 4-4：坐 标系 与参数 方程22.在
11、 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线1C的 参 数 方 程 为88x tty tt（t 为 参 数），点 4,0 P 以 O 为 极 点，x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线2C 的 极 坐 标 方 程 为 2 3 cos，射 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 06（1）写 出 曲 线1C 的 极 坐 标 方 程；（2）若 l 与1C，2C 分 别 交 于 A，B（异 于 原 点）两 点，求 P A B 的 面 积 选修 4-5：不 等式 选讲23.已 知 函 数 R f x x a x a a，（1）若 1 a，求 函 数 f x 的 最 小 值；（
12、2）若 不 等 式 5 f x 的 解 集 为 A，且 2 A，求a的 取 值 范 围 第 6 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司川 大 附 中 高 2 0 2 3 届 高 考 热 身 考 试 一文 科 数 学一、选择 题：本大 题共 12 小题，每小 题 5 分，在每 小题 给出的 四个 选项中，只有一 项是 符合题 目要 求的.1.已 知 集 合 20,1,A a，0,2 B a，A B A，则 a（）A.1 或 2 B.2 C.1 或 2 D.2【答 案】B【解 析】【分 析】分 析 可 知 A B，利 用 集 合 的 包 含 关 系 可 出 关 于a的 等 式，
13、结 合 集 合 元 素 满 足 互异 性 可 得 出 实 数a的 值.【详 解】因 为 20,1,A a，0,2 B a，A B A，则 B A，所 以，2 1 a 或22 a a，若 2 1 a，则 1 a，此 时，21 a，集 合 A 中 的 元 素 不 满 足 互 异 性，故 1 a；若22 a a，可 得22 0 a a，因 为 1 a，则 2 a，此 时，24 a，合 乎 题 意.因 此，2 a.故 选：B.2.已 知12i z a，22 i z b，,a b R，若 1 1 2 2i 4 13i z z z z，则（）A.2 a，3 b B.2 a，3 b C.2 a，3 b D.
14、2 a，3 b【答 案】C【解 析】【分 析】由 已 知 可 得1 12 z z a，22 24 z z b，代 入 根 据 复 数 相 等 的 充 要 条 件 列 出 方 程组，求 解 即 可 得 出 答 案.【详 解】由 已 知 可 得，1 12i 2i 2 z z a a a，2 2 22 22 4 z z b b，所 以 21 1 2 2i 2 4 i 4 13i z z z z a b，所 以 有22 44 13ab，解 得23ab 或23ab.故 选：C.3.某 商 场 一 年 中 各 月 份 的 收 入、支 出 情 况 的 统 计 如 图 所 示，则 下 列 说 法 中 不 正
15、确 的 是（）第 7 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司A.支 出 最 高 值 与 支 出 最 低 值 的 比 是 6：1B.利 润 最 高 的 月 份 是 2 月 份C.第 三 季 度 平 均 收 入 为 50 万 元D.12 月 份 的 支 出 的 变 化 率 与 1011 月 份 的 支 出 的 变 化 率 相 同【答 案】B【解 析】【分 析】由 统 计 图 中 数 据，对 选 项 中 的 统 计 结 论 进 行 判 断.【详 解】支 出 最 高 值 为 60 万 元，支 出 最 低 值 为 10 万 元，支 出 最 高 值 与 支 出 最 低 值 的 比 是
16、6:1，A 选 项 正 确；2 月 份 利 润 为 20 万 元，3 月 份 和 10 月 份 利 润 为 30 万 元，利 润 最 高 的 月 份 是 3 月 份 和 10 月份，B 选 项 错 误；7，8，9 月 份 收 入 分 别 为 40 万 元，50 万 元，60 万 元，则 第 三 季 度 平 均 收 入 为 50 万 元，C选 项 正 确；12 月 份 的 支 出 变 化 率 为60 30302 1，1011 月 份 的 支 出 变 化 率 为50 203011 10，故 变 化率 相 同，故 选 项 D 正 确.故 选：B4.已 知sin sin 22，则 tan（）A.2 B
17、.1 C.1 D.2【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 诱 导 公 式 以 及 同 角 三 角 函 数 的 平 方 关 系 可 得 出 关 于 sin、cos 的 方 程 组，求 出 这 两 个 量 的 值，即 可 求 得 tan 的 值.【详 解】因 为sin sin sin cos 22，第 8 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司由 题 意 可 得2 2sin cos 2sin cos 1，解 得2sin22cos2，因 此，sintan 1cos.故 选：B.5.函 数 cos sin ln|f x x x x x 的 部 分 图 像 大 致 为（）A.B.C
18、.D.【答 案】A【解 析】【分 析】先 判 断 函 数 f x 的 奇 偶 性 排 除 选 项 C、D；再 由 ln 02 2f，即 可 求 解.【详 解】函 数 cos sin ln|f x x x x x 的定 义 域 为|0 x x，且 cos sin ln cos sin ln f x x x x x x x x x f x，所 以 函 数 f x 是 奇 函 数，其 函 数 图 像 关 于 0,0 对 称，所 以 选 项 C、D 错 误；又 cos sin ln ln 02 2 2 2 2 2f，所 以 选 项 B 错 误；故 选：A.6.过 0,1 A、0,3 B 两 点，且 与
19、 直 线1 y x 相 切 的 圆 的 方 程 可 以 是（）A.2 21 2 2 x y B.2 22 2 5 x y C.2 21 2 2 x y D.2 22 2 5 x y【答 案】C【解 析】【分 析】分 析 可 知，圆 心 在 直 线2 y 上，设 圆 心 为,2 C t，根 据 圆 与 直 线1 y x 相 切 以第 9 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司及 圆 过 点 A 可 得 出 关 于 t 的 等 式，解 出 t 的 值，即 可 得 出 所 求 圆 的 方 程.【详 解】因 为 0,1 A、0,3 B，则 线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 所
20、 在 直 线 的 方 程 为2 y，设 圆 心 为,2 C t，则 圆 C 的 半 径 为2 1 32 2t tr，又 因 为 22 22 1 1 r A C t t，所 以，2312tt，整 理 可 得26 7 0 t t，解 得 1 t 或 7 t，当 1 t 时，2 r A C，此 时 圆 的 方 程 为 2 21 2 2 x y；当 7 t 时，5 2 r A C，此 时 圆 的 方 程 为 227 2 50 x y.综 上 所 述，满 足 条 件 的 圆 的 方 程 为 2 21 2 2 x y 或 227 2 50 x y.故 选：C.7.已 知 a，b 是 不 同 的 两 条 直
21、 线，是 不 同 的 两 个 平 面，现 有 以 下 四 个 命 题：/aa bb；/aa；/b aab；/ba ba 其 中，正 确 的 个 数 有（）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 空 间 中 直 线 与 直 线、直 线 与 平 面、平 面 与 平 面 的 位 置 关 系 逐 一 判 断 即 可.【详 解】若 a b，则/a b，故 正 确；若 a a，则/，故 正 确；若 b a b，则/a 或a，故 错 误；若/a，则 在 平 面内 存 在 直 线c，使 得/a c.又,b c，所 以 b c，所 以a b r r，故 正 确.所 以 正 确 的
22、个 数 有 3 个.故 选:C.8.已 知 数 列 na 的 通 项 公 式 为22 17nnan，前 n 项 和 为nS，则nS 取 最 小 值 时 n 的 值 为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答 案】C【解 析】第 10 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司【分 析】由 已 知 可 推 得 当 3 8 n 时，0na.又90 a，即 可 得 出 答 案.【详 解】解202 17nnan 可 得，2 n 或172n*n N，即 2 n 或 9 n.所 以，当 3 8 n 时，0na.又99 27 02 9 17a，所 以，当 8 n 时，nS 取 最 小 值.故
23、选：C.9.已 知34a，e 1 b，3ln2c，则（）A.c b a B.a c b C.b c a D.c a0，b0）的 离 心 率 为5，左，右 焦 点 分 别 为1 2F F，2F关 于 C 的 一 条 渐 近 线 的 对 称 点 为 P.若12 P F，则1 2P F F 的 面 积 为（）A.2 B.5C.3 D.4【答 案】D【解 析】第 11 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司【分 析】设2P F 与 渐 近 线 交 于 M，由 对 称 性 知1/O M P F 且112O M P F，在 直 角 2O M F 中可 求 得,a b，再 由1 2 24
24、P F F O M FS S 求 得1 2P F F 的 面 积.【详 解】设2P F 与 渐 近 线by xa 交 于 M，则2F M O M，2tanbM O Fa，2sinbM O Fc，所 以2 2 2sin F M O F M O F b，2 22 2O M O F M F a，由,O M 分 别 是1 2F F 与2P F 的 中 点，知1/O M P F 且1112O M P F，即 1 a，由5 e 得 5,2 c b，所 以1 2 214 4 2 1 42P F F O M FS S，故 选：D11.如 图，在 山 脚 A 测 得 山 顶 P 的 仰 角 为，沿 倾 斜 角
25、为 的 斜 坡 向 上 走a米 到 B，在 B 处测 得 山 顶 P 的 仰 角 为，则 山 高 h（）A.cos sin()sin()a B.sin sin()sin()a C.cos sin()sin()a D.sin sin()sin()a【答 案】D【解 析】【分 析】在 P A B 中，根 据 正 弦 定 理 求 得sin()sin()aP B，结 合 P Q P C C Q，即 可求 解.第 12 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司【详 解】在 P A B 中，,()()2 2P A B B P A，由 正 弦 定 理 得sin()sin()P B a，可
26、得sin()sin()aP B，过 点 B 作 B D A Q，可 得 sin C Q B D a 所 以sin sin()sin sinsin()aP Q P C C Q P B a.故 选：D.12.若 函 数 ln 1 g x x x a x 恰 有 2 个 零 点，则 实 数 a 的 取 值 范 围 为（）A.0,B.0,eC.0,1 1,D.0,1 1,e【答 案】C【解 析】【分 析】设 ln f x x x，求 导 数 确 定 函 数 的 单 调 性 与 取 值 情 况，即 可 作 出 y f x 的 大致 图 象，将 函 数 g x 的 零 点 个 数 转 化 为 函 数 函
27、数 y f x 的 图 象 与 直 线 1 y a x 的 图象 交 点 个 数，分 析 函 数 与 直 线 情 况，即 可 得 实 数 a 的 取 值 范 围.【详 解】令 ln f x x x，0,x，则 ln 1 f x x，当10,e x 时，0 f x，f x 单 调 递 减；当1,ex 时，()0 f x，f x 单 调递 增，当 1 x 时，0 f x，当x趋 向 正 无 穷 时，f x 趋 向 正 无 穷，故 作 出 y f x 的 大 致图 象，如 图 所 示 第 13 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司由 题 知 函 数 ln 1 g x x x a
28、 x 恰 有 2 个 零 点，即 函 数 y f x 的 图 象 与 直 线 1 y a x 的 图 象 恰 有 2 个 交 点，易 知 点 1,0 为 y f x 与 直 线 1 y a x 的 公 共 点，又 曲 线 y f x 在 点 1,0 处 的 切线 方 程 为1 y x，所 以 当 0 1 a，直 线 1 y a x 与 与 曲 线 y f x 有 2 个 交 点；当 1 a 时，直 线 1 y a x 与 曲 线 y f x 有 2 个 交 点 综 上 所 述，实 数a的 取 值 范 围 为 0,1 1,故 选：C 二、填空 题：本 大题 共 4 小题，每 小题 5 分.13.
29、已 知 1,a，2,1 b，若 2/a b b，则 _【答 案】12#0.5【解 析】【分 析】求 出 向 量2 a b 的 坐 标，利 用 平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 可 求 得 实 数 的 值.【详 解】因 为 1,a，2,1 b，则 2 1,2 2,1 5,2 a b，因 为 2/a b b，则 2 2 5，解 得12.故 答 案 为：12.14.记nS 为 等 比 数 列 na 的 前n项 和.若3 14 a a，则84SS_.【答 案】17【解 析】【分 析】由3 14 a a 可 得24 q，再 由 求 和 公 式 求 比 值 即 可.【详 解】设 等 比 数 列
30、na 的 公 比 为q，由3 14 a a，可 得23 1 14 a a a q，即24 q，所 以 84 844112111 1 4 1711qS qqS qaaq.故 答 案 为：17.第 14 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司15.如 图，A B C D 是 边 长 为 2 的 正 方 形，其 对 角 线 A C 与 B D 交 于 点 O，将 正 方 形 A B C D沿 对 角 线 B D 折 叠，使 点 A 所 对 应 点 为 A，2A O C.设 三 棱 锥 A B C D 的 外 接 球 的体 积 为 V，三 棱 锥 A B C D 的 体 积 为 V
31、，则VV _【答 案】4【解 析】【分 析】由 题 知 球 心 为 O,求 得 球 的 体 积，再 求 锥 的 体 积，则 比 值 可 求【详 解】由 题 OA OB OD OC,易 知 三 棱 锥 A BCD 的 外 接 球 的 球 心 为 O，R 2，8 2V3，A 到 底 面 BCD 的 距 离 为2，1 2V 2 2 23 3，V4V.故 答 案 为 4【点 睛】本 题 考 查 球 与 三 棱 锥 的 体 积，外 接 球 问 题，明 确 球 心 位 置 是 突 破 点，准 确 计 算 是 关键，是 基 础 题16.过 抛 物 线2y x 上 且 在 第 一 象 限 内 的 一 点2(,
32、)M m m 作 倾 斜 角 互 补 的 两 条 直 线，分 别 与抛 物 线 另 外 交 于 A，B 两 点，若 直 线 A B 的 斜 率 为 k，则 k m 的 最 大 值 为_【答 案】2【解 析】【详 解】由 题 意，设2 2(,),(,)A a a B b b，则2 20m a m bm a m b，即1 10m a m b，所 以 2 a b m，又2 21 a bka b a b，所 以1 12 22 2k m m mm m 点 睛：本 题 考 查 了 抛 物 线 的 性 质，直 线 的 斜 率 公 式 和 基 本 不 等 式 求 最 值 的 应 用，着 重 考 查 了推 理
33、与 运 算 能 力，其 中 正 确 推 算 k m 的 表 达 式 和 运 用 基 本 不 等 式 是 解 答 的 关 键 三、解答 题：第 17 至 21 题每 题 12 分，第 22、23 题为 选考 题，各 10 分.解答 应第 15 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司写出 文字 说明，证明 过程或 演算步 骤.17.某 学 习 A P P 的 注 册 用 户 分 散 在 A、B、C 三 个 不 同 的 学 习 群 里，分 别 有 24000 人、24000 人、36000 人，该 A P P 设 置 了 一 个 名 为“七 人 赛”的 积 分 游 戏，规 则 要
34、 求 每 局 游 戏从 A、B、C 三 个 学 习 群 以 分 层 抽 样 的 方 式，在 线 随 机 匹 配 学 员 共 计 7 人 参 与 游 戏（1）每 局“七 人 赛”游 戏 中，应 从 A、B、C 三 个 学 习 群 分 别 匹 配 多 少 人？（2）设 匹 配 的 7 名 学 员 分 别 用：1m、2m、3m、4m、5m、6m、7m 表 示，现 从 中 随 机 抽取 出 2 名 学 员 参 与 新 的 游 戏（）试 用 所 给 字 母 列 举 出 所 有 可 能 的 抽 取 结 果；（）设 M 为 事 件“抽 取 的 2 名 学 员 不 是 来 自 同 一 个 学 习 群”，求 事
35、 件 M 发 生 的 概 率【答 案】（1）应 从 A、B、C 三 个 学 习 群 分 别 匹 配 2 人、2 人、3 人（2）（）答 案 见 解 析（）1621【解 析】【分 析】（1）利 用 分 层 抽 样 可 求 得 A、B、C 三 个 学 习 群 分 别 匹 配 的 人 数；（2）（i）利 用 截 距 法 可 列 举 出 所 有 的 可 能 抽 取 的 结 果；（ii）确 定 事 件 M 所 包 含 的 基 本 事 件，利 用 古 典 概 型 的 概 率 公 式 可 求 得 事 件 M 发 生 的 概 率.【小 问 1 详 解】解：三 个 学 习 群 人 数 比 例 为 24000:2
36、4000:36000 2:2:3，因 此，应 从 A 学 习 群 匹 配 的 人 数 为27 27 人，应 从 B 学 习 群 匹 配 的 人 数 为27 27 人，应 从 C 学 习 群 匹 配 的 人 数 为37 37 人.【小 问 2 详 解】解：（）所 有 可 能 的 结 果 为：1 2,m m、1 3,m m、1 4,m m、1 5,m m、1 6,m m、1 7,m m、2 3,m m、2 4,m m、2 5,m m、2 6,m m、2 7,m m、3 4,m m、3 5,m m、3 6,m m、3 7,m m、4 5,m m、4 6,m m、4 7,m m、5 6,m m、5 7
37、,m m、6 7,m m，共 21 种；（ii）“抽 取 的 2 名 学 员 不 是 来 自 同 一 个 学 习 群”抽 取 的 2 名 学 员 不 是 来 自 同 一 个 学 习 群”包 含 的 基 本 事 件 有：1 3,m m、1 4,m m、1 5,m m、1 6,m m、1 7,m m、2 3,m m、2 4,m m、2 5,m m、2 6,m m、2 7,m m、3 5,m m、3 6,m m、3 7,m m、4 5,m m、4 6,m m、4 7,m m，共16 种，第 16 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司所 以 其 概 率 为 1621P M.18.
38、已 知 a，b，c 分 别 为 A B C 三 个 内 角 A，B，C 的 对 边，2A，且cos 3 sin 3 0 a C a C b c（1）求 A；（2）若2 2b a a c，求 证：A B C 是 直 角 三 角 形【答 案】（1）6（2）证 明 见 解 析【解 析】【分 析】（1）由 正 弦 定 理 边 化 角 可 得sin cos 3 sin sin sin 3 sin 0 A C A C B C，然 后 根 据 两 角 和 的 公 式 以 及 辅 助 角 公 式，即 可 推 得 3sin6 2A.根 据 A 的 取 值 范 围，即 可 得 出 答 案；（2）由 余 弦 定 理
39、 结 合 已 知 可 推 得3 0 c b a.正 弦 定 理 边 化 角 可 得1sin 3 sin 02C B.又56C B，代 入 化 简 可 得 1sin6 2B.然 后 根 据 B 的 范围，即 可 得 出3B，进 而 得 出2A B，即 可 得 出 证 明.【小 问 1 详 解】由 已 知 及 正 弦 定 理 得sin cos 3 sin sin sin 3 sin 0 A C A C B C.因 为 sin sin sin cos cos sin B A C A C A C，所 以 有3 sin 3 sin sin cos sin C A C A C.因 为 sin 0 C，所
40、以3 sin cos 3 A A，整 理 有 3sin6 2A.又 因 为 0 A，所 以 76 6 6A，所 以 6 3A 或 26 3A，所 以，6A 或2A.第 17 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司因 为2A，所 以6A.【小 问 2 详 解】由 余 弦 定 理 可 得2 2 2 2 22 cos 3 a b c bc A b c bc.又 因 为2 2b a a c，所 以23 0 c ac bc，整 理 可 得3 0 c b a.因 为1sin2A，由 正 弦 定 理 得1sin 3 sin 02C B.因 为 56 6B C，所 以56C B，所 以5
41、1sin 3 sin 06 2B B，整 理 得 1sin6 2B.因 为 0 B，所 以 56 6 6B，所 以 6 6B，所 以3B，所 以2A B，即 A B C 是 直 角 三 角 形.19.如 图 甲，已 知 四 边 形 A B C D 是 直 角 梯 形，E，F 分 别 为 线 段 A D，B C 上 的 点，且 满 足A B C D E F，2 4 4 A B E F C D，A B B C，45 A 将 四 边 形 C D E F 沿 E F翻 折，使 得 C，D 分 别 到1C，1D 的 位 置，并 且13 B C，如 图 乙（1）求 证：1 1E D B C；（2）求 点
42、E 到 平 面1 1A B C D 的 距 离【答 案】（1）证 明 见 解 析第 18 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司（2）1【解 析】【分 析】（1）在 图 甲 中 A B B C，在 图 乙 中1E F F C，E F B F，从 而 有 E F 平 面1B C F，则1E F B C，再 分 别 过1D，E 作1D M E F，E N A B，垂 足 分 别 是 M，N，通 过2 2 21 1C F B C B F，得 到1 1B C C F，从 而 证 得1B C 平 面1 1C D E F 即 可（2）过 点1C作1C Q B F，垂 足 为 Q，易 得
43、1C Q 平 面 B E F，从 而 有1 13sin 602C Q C F，再 由1 1E A B C C A B EV V 求 解.【小 问 1 详 解】证 明：在 图 甲 中，A B C D E F，A B 2 E F 4 C D 4，A B B C，在 图 乙 中 有，1E F F C，E F B F，又1F C 与 B F 是 平 面1B C F 内 的 交 线，E F 平 面1B C F，B C1 在 面 B C1 F 内，1E F B C，如 图，分 别 过1D，E 作1D M E F，E N A B，垂 足 分 别 是 M，N，易 知1 11 M F C D，1 E M，又14
44、5 F E D B A E，1 11 C F D M E M，同 理 2 B F E N A N，又13 B C，2 2 21 1C F B C B F，则1 1B C C F，又 E F 与1C F 是 平 面1 1C D E F 内 的 交 线，1B C 平 面1 1C D E F，E D1 在 面 C1 D1 E F 内，1 1B C E D【小 问 2 详 解】由（1）知 E F 平 面1B C F，A B E F，所 以 知 A B 平 面1B C F，B C1 在 面 B C1 F 内，第 19 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司所 以1A B B C，则1
45、112 32A B CS A B B C，1 1 2sin 45 4 2 2 42 2 2A B ES A B A E，过 点1C作1C Q B F，垂 足 为 Q，由（1）知 E F 平 面1B C F，且 E F 平 面 A B F E，所 以 平 面1B C F 平 面 A B F E，又 平 面1B C F 平 面 A B F E B F，C1Q 在 面 B C1F 内，所 以1C Q 平 面 A B F E，又 E F 平 面 A B F E，所 以1C Q E F，又 B F 与 E F 是 平 面 A B F 内 的 交 线，1C Q 平 面 B E F，1 13sin 602C
46、 Q C F，由1 1E A B C C A B EV V，得111 13 3A B C A B ES h S C Q，2 3 4 313 3 2h h，点 E 到 平 面1 1A B C D 的 距 离 为 1 20.已 知 椭 圆1C：2 22 21 0 x ya ba b 与 椭 圆2C：2212xy 的 离 心 率 相 等，1C的 焦距 是2 2（1）求1C的 标 准 方 程；（2）P 为 直 线 l：4 x 上 任 意 一 点，是 否 在 x 轴 上 存 在 定 点 T，使 得 直 线 P T 与 曲 线1C的 交点 A，B 满 足P A A TP B T B？若 存 在，求 出 点
47、 T 的 坐 标 若 不 存 在，请 说 明 理 由【答 案】（1）2 214 2x y（2）存 在 x 轴 上 定 点 1,0 T，使 得P A A TP B T B【解 析】【分 析】（1）由 已 知 求 出2C 的 离 心 率 为22，又2 c，即 可 得 出 4 a.根 据,a b c 的 关系，即 可 得 出 答 案；（2）设,0 T t，4,P s，1 1,A x y，2 2,B x y，先 求 出 直 线 A B 与x轴 重 合 时，满 足第 20 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司条 件 的 T 点 坐 标；当 直 线 A B 与x轴 不 重 合 时，设
48、 直 线 A B 方 程 为x m y t.根 据 已 知 可 推得0 P A T B P B A T，代 入 坐 标 整 理 可 得 21 2 1 22 2 4 0 m y y m t m s y y（*）.联 立 直 线 与1C的 方 程 可 得 2 2 22 2 4 0 m y m t y t，根 据 韦 达 定 理 得 出 坐 标关 系，代 入（*）式，整 理 化 简 可 得 21 1 0 t m，求 出 1 t，检 验 即 可 得 出 答 案.【小 问 1 详 解】因 为 椭 圆222:12xC y+=的 离 心 率 为2 1 22 2，又 椭 圆2 21 2 2:1(0)x yC
49、a ba b 与 椭 圆222:12xC y+=的 离 心 率 相 等，1C的 焦 距 是2 2，所 以2 2 2 c，2 c，所 以，2 22ca a，所 以 2 a，2 2 22 b a c，所 以，1C的 标 准 方 程 为2 214 2x y.【小 问 2 详 解】设,0 T t，4,P s，1 1,A x y，2 2,B x y.当 直 线 A B 与x轴 重 合 时，设 2,0 A，2,0 B，4,0 P，则 2 P A，6 P B，2 A T t，2 T B t，由 已 知P A A TP B T B，可 得22 12 6 3tt，解 得 1 t 或 4 t（舍 去），所 以，1
50、,0 T；当 直 线 A B 与x轴 不 重 合 时，设 直 线 A B 方 程 为x m y t，则 有 4 m s t.,P A B T 四 点 共 线，由P A A TP B T B结 合 图 象 可 知，0 P A T B P B A T，于 是 有，1 2 1 2 2 1 2 14 0 4 0 0 x x t y s y x x t y s y，第 21 页/共 24 页学 科 网（北 京）股 份 有 限 公 司化 简 得：1 2 1 2 1 2 1 22 2 4 8 0 x x y y t x x s y y t，变 形 得：21 2 1 22 2 4 0 m y y m t m