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1、第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念【自主预习】主题:向量的有关概念阅读下面的物理现象,思考下面的问题:a.民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班,每次飞行都是民航客机的一次位移.由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们是不同的位移.b.汽车向东北方向行驶了60km,行驶速度的大小为120 km/h,方向是东北.c.起重机吊装物体时,物体既受到竖直向下的重力作用,同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.1.上述三个实例中涉及哪些物理量?提示:位移、速度、力.2.这些量与我们日常生活中的面积、质量有什么区别?提示:这些量既有大小又有方向,而我们日常生活中的面积、质量只
2、有大小而没有方向.根据以上探究过程,试着总结向量的有关概念:向量的概念:数学中,我们把既有_,又有_的量叫做向量.大小 方向向量的表示法:(1)几何表示:用_表示,此时有向线段的方向就是向量的方向,向量的大小就是向量的_(或称_),如向量 的长度记作_.有向线段长度 模(2)字母表示:通常在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,表示向量.书写时,写成带箭头的小写字母.还可以用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示,如以A为起点,以B为终点的向量记为.几种特殊向量:(1)零向量:长度为_的向量叫做零向量,记作0.(2)单位向量:长度等于_个单位的向量,叫做单位向量.(3)相等向量:_且_的向量叫做
3、相等向量.01长度相等 方向相同(4)平行向量(共线向量):方向_的_向量叫做平行向量,也叫共线向量.记法:向量a平行于向量b,记作ab.规定:零向量与_平行.相同或相反 非零任一向量【深度思考】结合教材P76例2你认为应怎样判断两向量是否为相等向量.第一步:_.第二步:_.判断两向量方向是否相同判断两向量的长度(模)是否相等【预习小测】1.下列说法正确的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小【解析】选D.A中不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,所以A不正确;由A的过程分析可知方向相
4、同的向量也不能比较大小,所以B不正确;C中向量的大小即向量的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,所以C不正确;D中向量的模是一个数量,可以比较大小,所以D正确.2.如图,在四边形ABCD中,若 则图中相等的向量是()【解析】选D.因为 所以四边形ABCD是平行四边形,所以AC,BD互相平分,所以 3.下面物理量是向量的有_(填序号).密度功率面积浮力速度【解析】根据向量是既有大小又有方向的量可得浮力、速度为向量.答案:4.如图,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,则与相等的向量有_,与 共线的向量有_.【解析】在平行四边形ABCD和ABDE中,因为 所以与 相等的向量为 由图知与向量 共
5、线的向量有 答案:5.如图,在ABC中,若DEBC,则图中所示向量中是共线向量的有_.【解析】观察图形,并结合共线向量的定义可得解.答案:【备选训练】在四边形ABCD中,且试判断四边形ABCD的形状.【解析】因为 且 所以ABDC,但ABDC,所以四边形ABCD是梯形.【互动探究】1.两个向量能比较大小吗?提示:向量有方向、大小双重性,而方向是不能比较大小的,因此向量不能比较大小.2.单位向量都相等吗?提示:不相等,单位向量只是长度为1的向量,其方向是任意的,所以单位向量只是长度相同,方向不一定相同.3.若ab,则a与b的方向一定相同或相反吗?提示:当a或b不为零向量时,若ab,则a与b的方向
6、一定相同或相反;当a,b中至少有一个是零向量时,该说法则不成立.4.两个向量相等,则这两个向量的起点和终点一定相同吗?提示:两个向量相等,则只需方向相同,大小相等即可,与起点和终点没有关系.5.若非零向量 那直线ABCD吗?提示:不一定,AB与CD可能平行,也可能重合.【拓展延伸】向量与有向线段的区别(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大小和方向相同,这两个向量就是相等的向量.(2)有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.【探究总结】知识归纳:方法总结:用有向线段表示向量的方法(1)用有向线段表示向量时,先确定起点
7、,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点.(2)必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量.【题型探究】类型一:向量及有关概念【典例1】(1)在下列判断中,正确的是()长度为0的向量都是零向量;零向量没有方向;单位向量的长度都相等;单位向量都是相等向量;任意向量与零向量都共线.A.B.C.D.(2)下列各组是不是向量,如果是向量,说明这些向量之间有什么关系?两个三角形的面积S1,S2;桌面上两个物体各自受到的重力G1,G2;小船驶向对岸的速度v1与水流速度v2.【解题指南】(1)根据向量的有关概念,对每一说法进行判断.(2)抓住向量的
8、两大特征:方向和大小来判断.【解析】(1)选D.由定义知正确,零向量的方向是任意的,但不能说零向量没有方向,故不正确.显然,正确,不正确,所以答案是D.(2)面积只有大小,没有方向,故不是向量;重力G1,G2既有大小又有方向,故是向量,并且两向量方向相同,所以为共线向量;速度既有大小,又有方向,故是向量.因为两向量方向既不相同也不相反,故不是共线向量.【规律总结】解决向量有关概念问题的方法(1)熟悉一些常见物理量是否为向量.(2)准确、全面理解向量的有关概念,明确零向量和单位向量,注意相等向量、共线向量、平行向量之间的区别和联系.【巩固训练】判断下列命题是否正确,并说明理由.若ab,则a一定不
9、与b共线;若 则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;在平行四边形ABCD中,一定有 若向量a与任一向量b平行,则a=0;若a=b,b=c,则a=c;若ab,bc,则ac.【解析】两个向量不相等,可能是长度不同,方向可以相同或相反,所以a与b有共线的可能,故不正确.A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故不正确.在平行四边形ABCD中,平行且方向相同,故 正确.零向量的方向是任意的,与任一向量平行,正确.a=b,则|a|=|b|且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|且b与c方向相同,则a与c方向相同且模相等,故a=c,正确.若b=0,由于a的方向与c的方向都是任意的,ac可能不成立;b
10、0时,ac成立,故不正确.类型二:共线向量与相等向量【典例2】(1)如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点.图中所示向量中与向量 相等的向量为_;图中所示向量中与向量 共线的向量为_.(2)如图,在ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,F,G分别是AB,AC上的点,且AFAB=14,AGGC=13,求证:向量 共线.【解题指南】(1)根据相等向量、共线向量的定义以及题设中的几何图形解答.(2)由AFAB=14,可得AFFB=13.又AGGC=13,所以AFFB=AGGC,所以FGBC.【解析】(1)与向量 相等的向量有:与向量 共线的向量有:答案:(2)因为点D,E分别是边AB,
11、AC的中点,所以DE是ABC的中位线,从而DEBC.又因为AFAB=14,所以AFFB=13.又AGGC=13,所以AFFB=AGGC,所以FGBC.由可知,DEFG,所以向量 共线.【延伸探究】1.本例(1)条件不变试写出与向量 相等的向量.【解析】与向量 相等的向量有 2.本例(1)中的图形若换为试写出与 相等的向量(其中四边形BCMF为平行四边形,且D,E,F分别为ABC三边的中点).【解析】与 相等的向量有【规律总结】1.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点
12、,起点为终点的向量.(2)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.2.利用向量相等或共线证明平行、相等问题(1)证明线段相等,只需证明相应向量的长度(模)相等.(2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不共线.【补偿训练】如图,点O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在图中所示的向量中分别写出:(1)与 相等的向量.(2)写出与 共线的向量.【解析】(1)(2)与 共线的向量为:类型三:向量的表示【典例3】某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改变方向按东北方向走了 米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米
13、到达D点.(1)作出向量(2)求 的模.【解题指南】(1)首先选定单位长度,然后根据行走的路程和方向作出所求向量.(2)在RtBCD中,由勾股定理先求出BD,然后在RtABD中再利用勾股定理即可求出|.【解析】(1)作出向量 如图所示:(2)由题意得,BCD是直角三角形,其中BDC=90,BC=米,CD=10米,所以BD=10米.ABD是直角三角形,其中ABD=90,AB=5米,BD=10米,所以AD=(米).所以 米.【规律总结】用有向线段表示向量的步骤及注意事项(1)步骤:定起点:先确定向量的起点;定方向:再确定向量的方向;定终点:根据向量的长度确定向量的终点.(2)注意事项:有向线段书写
14、时要注意起点和终点的不同;字母表示在书写时不要忘了字母上的箭头.【巩固训练】已知飞机从A地按北偏东30的方向飞行2000km到达B地,再从B地按南偏东30的方向飞行2000km到达C地,再从C地按西南方向飞行1000 km到达D地.(1)作出向量(2)问D地在A地的什么方向?D地距A地多远?【解题指南】(1)首先选定单位长度,然后根据飞行的距离和方向作出所求向量.(2)通过解三角形,确定两地的位置和距离.【解析】(1)由题意,作出向量如图所示.(2)依题意知,三角形ABC为正三角形,所以AC=2000km.又因为ACD=45,CD=1000,所以ACD为等腰直角三角形,即AD=1000 km,CAD=45.所以D地在A地的东南方向,距A地1000 km.