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1、连续时间信号的基本知识(a)实指数信号第2章 连续时间信号与系统分析基础式中的常数k表示t=0时的初始值；参数a不同，信号随时间的变化不同：随时间增长；随时间衰减；不随时间变化。(b)正弦信号正、余弦信号因为二者只在相位上相差/2，所以通常统称正弦信号。一般表示为(2.1.3)式中k是振幅、是角频率、为初相。其周期T 与角频率、频率的关系为实际应用中经常会遇到衰减的正弦信号，即信号的振荡幅度按指数衰减规律变化，波形如图2-4所示，一般表示为(c)复指数信号第2章 连续时间信号与系统分析基础式中s=+j图示：频率放大j通常可将正、余弦信号表示为复指数形式(2-7)(2-8)d)sa(t)信号波形
2、性质：偶函数;闸门(或抽样)函数;内插函数。第2章 连续时间信号与系统分析基础e)单位阶跃信号01tu(t)利用单位阶跃信号，可以很方便地用数学函数描述信号的接入(开关)特性f(t)u(t-t0)【说明t=t0时刻开始接入信号f(t)】或因果(单边)特性f(t)u(t)【说明t=0时刻才有输入信号f(t)】。第2章 连续时间信号与系统分析基础f)单位冲激函数(t):是一个理想函数，是物理不可实现信号。1冲激函数(t)第2章 连续时间信号与系统分析基础特性：（2）卷积特性（3）拉氏变换（4）傅氏变换（5）与单位阶跃函数互为积分微分关系（1）取样特性g)单位斜坡函数单位斜坡函数与单位阶跃函数互为微
3、、积分关系：110R(t)性质：（1）实际中遇到的任何时间函数总可以表示为复指数函数的离散和与连续和。（2）复指数函数 的微分、积分和通过线性系统时总会存在于所分析的函数中。第2章 连续时间信号与系统分析基础时移/平移 反转/折叠 时域展缩/尺度变换 信号的运算 连续信号 离散信号Time shift 时移|平移 左移，超前右移，延迟continuous-time signalTime shift 时移|平移 左移，超前右移，延迟discrete-time signalTime reversal 反转|折叠Time reversal 反转|折叠discrete-time signalTime
4、scaling 时域展缩|尺度变换-4 2 4-8x(t)x(t/2)8-16序列的尺度变换如果序列为x(n),则x(mn)是x(n)序列每隔m点取一个点形成的，相当于时间轴n压缩了m倍。当m=2时，其波形如图：综合变换：时移、反转、展缩 时移、反转、展缩的次序是任意的；为避免出错，应按 时移 反转 展缩 的次序进行。1 时移3 展缩2 反转2 4-2-4 2-2 4-1 21.规则信号分解例：用简单信号表示如图所示锯齿波信号0 T 2T 3T 4TA将 分解为无数不同时移的锯齿波叠加，表示为2.2 信号的时域分析方法 可以分解为四个不同时刻出现的阶跃函数，1-20 1 22-1表示为例：用简
5、单信号表示如图所示信号。2.2 信号的时域分析方法 1-11210 0-2+的另一种分解也可将 分解为两个宽度不同的门函数，表示为2.2 信号的时域分析方法 奇分量定义偶分量定义2、奇偶分解这种分解方法是将实信号分解为偶分量与奇分量。其优点是可以分别利用偶函数与奇函数的对称性简化信号运算。2.2 信号的时域分析方法 所以任意信号可分解为偶分量与奇分量之和，因为2.2 信号的时域分析方法 0-1 12110 1-120-11.5101-1-2-11/20-1/2奇、偶分解实例1：2.2 信号的时域分析方法-1/21/2 1/2-110000102.2 信号的时域分析方法 奇、偶分解实例2：信号分
6、解为无穷多个冲激信号或阶跃信号。3、任意信号的脉冲分解将冲激信号或阶跃信号作为基本信号元，将任意该方法优点是基本信号元的波形简单，响应好求，可充分利用LTI系统的叠加、比例与时不变性，方便地求解复杂信号的响应。2.2 信号的时域分析方法 分解思路是先把任意信号f(t)分解成宽度为的矩形窄脉冲之和，任意时刻的矩形脉冲幅度为2.2 信号的时域分析方法 此时，即求和运算变为积分运算。于是，用冲激函数表示任意信号的积分形式为令窄脉冲宽度0，并对其取极限，得到2.2 信号的时域分析方法 连续系统的数学模型微分方程连续时间系统功能是将输入信号经过一定的变换或处理转变为输出信号，如图。f(t)是系统的输入也
7、称激励，y(t)是系统的输出也称响应，T表示系统的运算关系，表示为线性时不变系统：系统运算关系既满足线性又满足时不变性的是线性时不变系统，简写为LTI系统。单位冲激响应：初始状态为0条件下，系统的输入为单位冲激函数时系统的输出。T例2.2.2如图2.2.6所示RLC串联电路，f(t)为激励信号，试写出求响应i(t)的微分方程。+-i(t)e(t)图2.2.6例2.2.2图列回路方程，可得对方程两边求导得 响应的时域求解方法 一种是通过在时域内采用经典解法求解微分方程，分别得到方程的齐次解和特解，再组合起来得到响应信号；另一种是将输入信号设为单位冲激信号，得到系统的单位冲激响应h(t)，则LTI
8、系统的响应即为激励信号f(t)与冲激响应h(t)的线性卷积，定义为 连续系统的响应形式 从引起响应的原因来说，LTI系统的响应可分解为零输入响应与零状态响应。其中零输入响应与激励无关，即f(t)=0，因此其数学模型是齐次微分方程，运用经典解法求解奇次方程的特征根即可得到零输入响应。零状态响应是初始状态为零时系统的响应，若已知激励信号f(t)与冲激响应，代入（2-33）式即可得到因果激励下因果系统的零状态响应。从响应与系统或激励的关系可分为自由响应与受迫响应。由特征根决定模式的响应定义为自由响应；与激励模式相同的响应定义为受迫响应。显然，零输入响应是自然响应；零状态响应是既有受迫响应，也有自由响
9、应。从响应随时间时是否消失，响应还可分为瞬态响应与稳态响应。瞬态响应是响应中随着时间增长而消失的部分；稳态响应是响应中随时间增长不会消失的部分。例如，若系统在激励f(t)=u(t)的作用下，其零状态响应，则第二项是自由、瞬态响应，第一项u(t)是受迫、稳态响应。本节将介绍连续时间信号与系统的频域分析方法，其基本思想是以正弦函数或复指数函数作为基本信号单元，将任意信号表示成不同频率的正弦信号或复指数信号之和，因此将时间变量变换为频率变量，称为信号的频谱分析。2.3 连续时间信号与系统的频域分析2.3 连续时间信号与系统的频域分析(1)在一个周期内满足绝对可积，即；(2)在一个周期内只有有限个极大
10、值和极小值；(3)在一个周期内只有有限个不连续点则f(t)可以展开为三角形式的傅立叶级数2.3.1周期信号的傅立叶级数分析 周期信号通常被分解为无穷多个正(余)弦信号之和或复指数函数之和(利用欧拉公式可以将三角函数变换为复指数函数)，分别称三角函数形式傅里叶级数及指数形式傅里叶级数，它们是傅里叶级数的两种不同表达形式，简称傅氏级数。（2-35）（2.37）式(2.35)和式(2.37)说明，任何满足狄里赫利条件的周期信号都可以分解为直流及其许多余弦分量之和，这些分量的频率是基频的整数倍。通常把频率为的分量称为基波，频率为2、3，等分量分别称为二次谐波、三次谐波等；相应的A0表示直流分量的大小，
11、A1、A2等分别表示基波、二次谐波等各分量的幅度；为基波初相位，为n次谐波初相位。An和 都是频率的函数，它们从频率的角度反映了信号的特性，称为信号的频谱。为直观地表示信号所包含各频率分量的振幅、相位随频率变化的情况，通常借助于和对的关系图“频谱图”来描述信号的频谱特性，其中幅度谱是 的线图，每条线代表该频率分量的幅度；相位谱是 的线图，每条线代表该频率分量的相位大小。解：将f(t)整理为标准形式绘制其幅度谱和相位谱如图2.3.1所示。(a)幅度谱(b)相位谱图2.3.1例2.3.1的频谱图021/2110例2.3.1已知周期信号f(t)如下，画出其频谱图。2.指数形式的傅立叶级数周期函数还表
12、示为复指数形式的傅氏级数其中为复常数，可表示成模和幅角形式E-TT0解：由式(2.40)，可得上式还可改为更常用的形式则总结：周期信号的傅里叶级数特性如下(1)离散性：各次谐波谱线沿频率轴离散分布；(2)谐波性：各谱线等距分布，即仅在等基波的倍频率点上出现；(3)收敛性：各次谐波分量随频率增加而衰减。例2.3.2 图2.3.2所示的周期矩形脉冲信号表示为试将其展开为指数型傅里叶级数，并画出频谱图。图2.3.3周期矩形脉冲信号的频谱图0总结：周期信号的傅里叶级数特性如下(1)离散性：各次谐波谱线沿频率轴离散分布；(2)谐波性：各谱线等距分布，即仅在等基波的倍频率点上出现；(3)收敛性：各次谐波分
13、量随频率增加而衰减。的过零点，即设，则，求得2.3.2 非周期信号的傅立叶变换取极限0两边同乘以T，且周期信号fT(t)变为非周期信号f(t)，离散频率 变为连续变量，并将 表示为，则周期函数的傅里叶级数表示式重写如下FT存在条件表明非周期信号可以分解为无穷多个复振幅为的复指数分量。用振幅与相位表示是幅度谱密度函数，代表信号中各频率分量的相对大小；是相位谱密度函数，表示信号中各频率分量的相位关系非周期信号的幅度谱和相位谱是频率的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同 1.线性性 若，则 可 见傅里叶变换是一种线性运算，它满足叠加定理，表明：相加信号的频谱等于各单独信号的频谱之和2.时
14、移(移位)性若则证明：时移(移位)性说明信号波形在时间轴上时延信号的幅度频谱不变，仅使相位谱产生线性相位变化 3.频移性 若，则 证明：频移特性表明信号在时域中与复因子相乘，则在频域中将使整个频谱右移，反之亦然。频移特性常常被用于通信技术中实现信号调制，即将信号f(t)乘以或正余弦载波信号，使其频谱搬移，因此频移特性也常称为调制特性 4.尺度变换 若，则 证明：令图2.3.5矩形脉冲信号及其频谱的尺度变换特性a=0.5,f(0.5t)-2F(2)a=1,f(t)-F()a=2,f(2t)-0.5F(/2)尺度特性说明，信号在时域中压缩(a1),等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展(a1)
15、等效于在频域中压缩。可以理解为：信号波形压缩(扩展)a倍，也就是信号随时间变化加快(慢)a倍，所以信号所包含的频率分量增加(减少)a倍，频谱展宽(压缩)a倍。又根据能量守恒原理，各频率分量的大小必然减小(增加)a倍。)5.对称(偶)性 若则 证明：由 显然将变量t与互换，可以得到利用式(2.3.22)所表示的对称性，若f(t)的频谱为F()，为求得形状为F(t)的波形的频谱，可利用f(-)给出。特别地，若f(t)是偶函数，图2.3.6矩形脉冲信号及其频谱的对称性 2.3.4连续系统的频域分析方法数字信号处理系统响应的求解时域求解频域求解(1)将输入激励f(t)变换为频域的F(j)(2)确定系统函数H(j)(3)求响应的傅氏变换(4)由傅氏反变换，得到y(t)2.4连续信号与系统的复频域分析拉普拉斯变换 当信号f(t)满足绝对可积条件时，可对其进行傅立叶变换进行频域分析，傅立叶正反变换如下 此时频率 为实数。但有些信号不满足绝对可积条件，如阶跃信号、单边正弦信号等，因此不能用上式进行傅里叶变换，其主要原因是这些信号难以收敛。为分析这类信号，借助一衰减因子与f(t)相乘，只要选择合适，就能保证 满足绝对可积条件，从而可求出的傅里叶变换即设+j=s,则傅立叶变换对拉氏变换对