《线性代数基本概念-PPT.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数基本概念-PPT.ppt（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、线性代数基本概念线线性性代代数数知知识识矩阵（Matrix）的概念矩阵的运算几种特殊的矩阵向量（Vector）的概念矩阵的性质矩矩阵阵（Matrix）的的概概念念矩阵矩阵A matrix is a rectangular array of number/A matrix is a rectangular array of number/一组数排成矩形一组数排成矩形阵列，称为矩阵阵列，称为矩阵横的一排称为行（横的一排称为行（rowrow），竖的一排称为列（），竖的一排称为列（columncolumn）mm行行n n列的矩阵称列的矩阵称mnmn矩阵，矩阵中的数矩阵，矩阵中的数a aij ij称为矩
2、阵的元称为矩阵的元素（素（elementelement），矩阵），矩阵A A一般简记为一般简记为(a aij ij )m m n nnnnn矩阵也称为矩阵也称为n n阶方阵，阶方阵，a a11 11，a a22 22，a annnn称为矩阵主称为矩阵主对角线的元素对角线的元素矩矩阵阵的的运运算算数值可以加、减、乘、除，对于矩阵是否有相应的数值可以加、减、乘、除，对于矩阵是否有相应的运算呢？运算呢？A=(A=(a aij ij)m m n n，B=(B=(b bij ij)p p q q矩阵的相等矩阵的相等(=)(=)A=B A=B a aij ij=b bij ij，for all for a
3、ll i i and and j jm m=p p，n n=q q矩阵的加矩阵的加(+)(+)A+B=(A+B=(a aij ij+b bij ij)m m n nm m=p p，n n=q q矩矩阵阵的的运运算算矩阵的减矩阵的减(-)(-)A-B=(A-B=(a aij ij-b bij ij)m m n nm m=p p，n n=q q矩阵的数乘（矩阵的数乘（multiply a matrix by a numbermultiply a matrix by a number）k kA=(A=(kakaij ij)m m n n矩矩阵阵的的运运算算矩阵的乘矩阵的乘()()p p=n nABA
4、B是是m m q q矩阵矩阵 n nAB AB=(=(a aik ikb bkj kj)m m q q i i=1=1此时此时BABA没有定义，即使没有定义，即使BABA有定义，一般情况下有定义，一般情况下BABA也不也不等于等于ABAB，甚至行数和列数也不同，甚至行数和列数也不同矩矩阵阵的的运运算算例如例如又如又如矩矩阵阵的的运运算算矩阵乘法的应用例子矩阵乘法的应用例子 2 2x x1 1 x x2 2+5+5x x3 3+x x4 4=20=20 x x1 1+5+5x x2 2+4+4x x3 3+5+5x x4 4=30=30 3 3x x1 1+x x2 2-6-6x x3 3+2+
5、2x x4 4=20=20 可写为可写为 AX=bAX=b大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流矩矩阵阵的的运运算算矩阵的除法没有定义矩阵的除法没有定义矩阵的运算律矩阵的运算律A+B=B+AA+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+ACA(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C矩阵的转置（矩阵的转置（Transpose OperationTranspose Operation）A AT T or A or A几几种种
6、特特殊殊的的矩矩阵阵在数的运算中，有两个特殊的数在数的运算中，有两个特殊的数0 0和和1 1，那么在矩阵，那么在矩阵的运算中是否也有类似作用的矩阵呢？的运算中是否也有类似作用的矩阵呢？单位阵（单位阵（Identity MatrixIdentity Matrix）一般用一般用 I I 或或 E E 表示表示是方阵（是方阵（m=nm=n），对角线元素为），对角线元素为1 1，其余为，其余为0 0对任意矩阵对任意矩阵A A，有，有 A I=A=I AA I=A=I A几几种种特特殊殊的的矩矩阵阵零阵（零阵（Null MatrixNull Matrix）一般用一般用 OO 表示表示是方阵（是方阵（m=
7、nm=n），所有元素为），所有元素为0 0对任意矩阵对任意矩阵A A，有，有A+A+OO=A=A，AA=AA=OO，OOA=A=OO=A=AOO几几种种特特殊殊的的矩矩阵阵对角阵对角阵一般用一般用 DD 表示表示是方阵（是方阵（m=nm=n），对角线以外的元素都为），对角线以外的元素都为0 0数量矩阵：对角线元素相同的对角阵数量矩阵：对角线元素相同的对角阵上三角形矩阵：对角线下方元素都为上三角形矩阵：对角线下方元素都为0 0的方阵的方阵下三角形矩阵：对角线上方元素都为下三角形矩阵：对角线上方元素都为0 0的方阵的方阵几几种种特特殊殊的的矩矩阵阵分块矩阵、子阵（分块矩阵、子阵（submatrix
8、submatrix）向向量量（Vector）的的概概念念只有只有1 1行或行或1 1列的矩阵一般称为向量，按行排列称为列的矩阵一般称为向量，按行排列称为行向量（行向量（row vectorrow vector），按列排列称列向量（），按列排列称列向量（column column vectorvector），矩阵的行（列）也可称行（列）向量），矩阵的行（列）也可称行（列）向量向量的元素个数称为向量的维数向量的元素个数称为向量的维数为了表示方便，列向量用行向量的转置来表示为了表示方便，列向量用行向量的转置来表示元素均为元素均为0 0的向量称为的向量称为0 0向量（向量（null vectornul
9、l vector）向量（向量（Vector）的概念）的概念向量的线性相关（向量的线性相关（linearly dependentlinearly dependent）与线性无关（）与线性无关（linearly independent linearly independent）对于一组向量对于一组向量x x1 1,x x2 2,x xmm，如果存在一组不全为，如果存在一组不全为0 0的数的数c c1 1,c c2 2,c cmm，使得，使得 c c1 1x x1 1+c c2 2x x2 2+c cmmx xmm =0=0，则称这，则称这组向量线性相关；否则称这组向量线性无关组向量线性相关；否则称
10、这组向量线性无关例如，例如，x x1 1=1=1，1 1，11，x x2 2=0=0，1 1，11，x x3 3=2=2，5 5，55，由于由于 x x3 3=2=2x x1 1+3+3x x2 2，称，称x x1 1,x x2 2,x x3 3是线性相关的是线性相关的几个性质几个性质包含包含0 0向量的向量组一定线性相关向量的向量组一定线性相关向量组中如果有两个向量相等，则向量组线性相关向量组中如果有两个向量相等，则向量组线性相关如果某向量组线性相关，则再添加若干向量后的向量组仍如果某向量组线性相关，则再添加若干向量后的向量组仍线性相关；如果某向量组线性无关，则其中部分向量组成线性相关；如果
11、某向量组线性无关，则其中部分向量组成的向量组必定线性无关的向量组必定线性无关向量（向量（Vector）的概念）的概念向量组的秩（向量组的秩（RankRank）向量组中线性无关的向量的最大个数称为该向量组的秩向量组中线性无关的向量的最大个数称为该向量组的秩例如，向量组例如，向量组x x1 1=1,1,1=1,1,1，x x2 2=0,1,1=0,1,1，x x3 3=2,5,5=2,5,5，由，由于于x x1 1,x x2 2,x x3 3是线性相关的，而是线性相关的，而x x1 1,x x2 2是线性无关的，因此该是线性无关的，因此该向量组的秩为向量组的秩为2 2基向量（基向量（basisba
12、sis）向量组中的线性无关的一个子向量组，如果其他的向量都向量组中的线性无关的一个子向量组，如果其他的向量都是该子向量组中的向量的线性组合，则称该子向量组中的是该子向量组中的向量的线性组合，则称该子向量组中的向量为该向量组的基向量，该子向量组为该向量组的基向量为该向量组的基向量，该子向量组为该向量组的基定理定理向量组中线性无关的向量组中线性无关的r r个向量组成的子向量组称为基当且个向量组成的子向量组称为基当且仅当该子向量组的秩为仅当该子向量组的秩为r r矩阵的性质矩阵的性质矩阵的行秩（矩阵的行秩（Row RankRow Rank）和列秩（）和列秩（Column RankColumn Rank
13、）矩阵的列向量组成的向量组的秩称为该矩阵的列秩；矩阵矩阵的列向量组成的向量组的秩称为该矩阵的列秩；矩阵的行向量组成的向量组的秩称为该矩阵的行秩的行向量组成的向量组的秩称为该矩阵的行秩定理定理矩阵的行秩和列秩一定相等矩阵的行秩和列秩一定相等矩阵的秩（矩阵的秩（RankRank）矩阵的行秩和列秩相等，也称为矩阵的秩矩阵的行秩和列秩相等，也称为矩阵的秩矩阵的性质矩阵的性质对于数对于数k k存在倒数存在倒数k k-1-1=1/=1/k k，使得，使得k kk k-1-1=1=1=k k-1-1 k k，那么，那么对矩阵对矩阵A A是否也存在是否也存在A A-1-1，使得，使得A AA A-1-1=I=
14、A=I=A-1-1A A呢？呢？只有方阵只有方阵A A才有可能存在才有可能存在A A-1-1，满足上式，满足上式定义：如果矩阵的秩等于其行数以及列数，则称该定义：如果矩阵的秩等于其行数以及列数，则称该矩阵为非奇异的（矩阵为非奇异的（nonsingularnonsingular）或满秩，否则称该矩）或满秩，否则称该矩阵为奇异的（阵为奇异的（singularsingular）定理定理如果如果A A是非奇异的，则存在惟一的非奇异矩阵是非奇异的，则存在惟一的非奇异矩阵A A-1-1 ，称为矩，称为矩阵阵A A的逆矩阵的逆矩阵(Inverse)(Inverse)，满足，满足AAAA-1-1=I=A=I=
15、A-1-1A A，A A为可逆矩阵为可逆矩阵如果如果A A是非奇异的，且矩阵是非奇异的，且矩阵B B满足满足AB=IAB=I或或BA=IBA=I，则，则B=AB=A-1-1只有非奇异矩阵才有逆矩阵只有非奇异矩阵才有逆矩阵矩阵的性质矩阵的性质例如例如对于方程组对于方程组AxAx=b b ，如果，如果A A是非奇异的（或称可逆是非奇异的（或称可逆矩阵），方程组的解为矩阵），方程组的解为x x=A A-1-1b b 矩阵的性质矩阵的性质矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换矩阵的两行互调位置矩阵的两行互调位置矩阵的某一行乘以某个数矩阵的某一行乘以某个数k k矩阵的某一行加上（减去）另一行的矩阵的某一行加上（减去）另一行的k k倍倍可以利用矩阵的行变换求解线性方程组可以利用矩阵的行变换求解线性方程组例如：方程组例如：方程组 2 2x x1 1 x x2 2+5+5x x3 3 =20 =20 x x1 1+5+5x x2 2+4+4x x3 3 =30 =30 3 3x x1 1+x x2 2-6-6x x3 3 =20 =20