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1、小学数学知识拓展学习讲 座仙阳中心小学 聂崇富1一、数的大、小写v（1）0.1.2.3.4.5.6.7.8.9 这些是阿拉伯数字是全世界通用的，全世界的人都认识，但读法不一样。是因为各国有各国的语言。v（2）我们中国是用中文读的，中文有大、小写v 小写：.一.二.三.四.五.六.七.八.九.十v 大写：零.壹.贰.叁.肆.伍.陆.柒.捌.玖.拾v 我们读数是读出中文的小写，写数是写出阿拉伯数字。不能说成读数是写大写的数，写数就是写出小写的数。2 在使用汉字数字时，“零”和“”常被弄混。阿拉伯数字“0”有“零”和“”两种汉字书写形式。那么，“二一二年”和“二零一二年”哪个写得对了？v 在读数时5
2、0320 要读作：五万零三百二十。为什么写这个“零”，不写这个“”？v 2011 年开始正式实施的出版物上数字用法规定：一个数字用作计量时，其中“0”的汉字书写形式为“零”；用作编号时，“0”的汉字书写形式为“”。3二、数学语言的严密性v 怎么读下面这些题？v 1、（45+55）99v 有些老师把它读成：四十五加五十五括号乘以九十九v 正确的读法：四十五加五十五的和乘以九十九，积是多少？v 2、长方形的周长=(a+b)2v 3、（2853）（255）4v 第2 题读作：a 加b 的和乘以2v 第3 题读作：285 乘以3 的积除以25 与5 的商，商是多少？v 我们应该用“和、差、积、商”来读
3、括号里的数。5v 三、数与运算领域中的知识拓展v（一）、0 为什么是自然数？v 因为，自然数有三大功能，一是基数，二是序数，三是运算。这三个功能中缺少了0 就不完善了。v 1）、在基数上，0 表示没有，是“空集”这个有限集合的元素个数；v 2）、在序数上，有时当着起点，如尺子的0 厘米；更重要的是书写的需要。十的记数写法是10.没有0，就写不出10、20、100 等数字。所以0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、这十个数字是最基本的。v 3）、在运算上，如果没有0 的自然数，就不能运算。如在自然数中5-5=0，如果0 不是自然数，那么5-5 岂不是不能减了。v 所以说，0 的出现可以保证自然
4、数集合的完整性。0 是自然数的说法，既有生活经验，又符合数学规则，还有文化背景和科学依据，是合乎情理的。v 6（二）将0 定义为自然数后，给我们小学数学教学带来些“麻烦”：v 1、最小的一位数是1、还是0？v 经常有老师问，最小的一位数究竟是几？因为一些教辅资料上有关于最小的一位数是几的判断题或填空题，有的资料上的答案是1，有的则是0。要判断这两种答案究竟哪一种正确，先要搞清楚“一位数”和“几位数”这两个概念。关于“一位数”和“几位数”的定义，我从有关资料中找到以下两种：v 用一个数字记出的数（不是0），叫做一位数。（数学（算术理论部分），上海教育出版社，1979年6 月1 版，第10 页）v
5、 用一个不是0 的数字写出的数叫做一位数。例如：1、3、9。在一个数中,数字的个数是几,（其中最左端的数字不是0），这个数就叫做几位数。（刘梦湘、黄文选主编.小学数学问答手册，北京师范大学出版社，93 年3 月1 版，第13 页）v 从上面的定义中可知，最小的一位数是1 而不是0。为什么会出现最小的一位数是0 的说法呢？一是持有这些认识的人对一位数的概念不清楚；二是受将“0”划规为自然数的影响。我认为，判断最小的一位数是几，只能用一位数的定义来判断，与0 是否划规为自然数无关。进一步研究，为什么要在几位数的定义中加上“最左端的数字不是0”这个限制条件？为便于说明，先假设没有这个条件，将会产生什
6、么后果。由于0 1，且也是一个数字，那么最小的一位数 就应该是0；然而，由此也可以得出最小的两位数就不是10，而是00，同样最小的三位数是000，而0 00 000 就会得出最小的任意位数都是相等的，它们都等于0 这样一个错误的结论。不仅如此，我们说5 是一位数，05 当然是两位数，005 则是三位数，等等，同一个数我们说它是任意几位数都可以。这里的所谓一位数、两位数、三位数，等等，实际上都没有本质的区别，因而几位数这个概念就没有存在的必要了。由此可见，在定义几位数时，“其中最左端的数字不是0”这个条件是决不可少的。这样，最小的一位数只能是1 而不是0。72、最小的偶数是几？0 是偶数吗？v
7、在九年义务教育六年制小学数学第十册中，关于“数的整除”的教材第54 页就有这样的叙述：“因为0 也能被2 整除，所以0 也是偶数”。如果从数轴上看，0 是不是偶数的答案就更明确了。在数轴上，表示奇数的点和表示偶数的点是间隔出现的，也可以说成是交替出现的。表示0 的点在1 的左边，是处在偶数的位置。这也说明了0 是偶数。0 的左边还有许许多多的数，数学上叫负数，它们也是奇、偶相间。因此，“0 是不是最小偶数”的答案就不是用“是”或“不是”能够说得清的。要回答这个问题，首先要看所考查的数的范围是什么，从上面的数轴上可以看出，如果是在非零的自然数范围内，最小的偶数就是2；如果向左扩大到0，即自然数范
8、围内，那最小的偶数就是0；再向左扩大到负数范围内，即在整数范围内，0 是最小偶数显然是不正确的。8大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点 可以互相讨论下，但要小声点93、0 是任何自然数的倍数吗?v 九年义务教育六年制小学数学第十册中，第54 页就有这样的叙述：“因为0 也能被2 整除，所以0 也是偶数”。以此类推，0 能被所有非零自然数整除，根据约数倍数的定义，0 是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0 的约数。但考虑到研究分解质因数、最大公约数、最小公倍数时，一般限于非零自然数范围内，如讲最小公倍数时，是把0 排除在外的。为此，九年义务教育六年制小学数学第十册50 页
9、明确指出：“为了方便，以后在研究约数和倍数时，我们所说的数一般不包括0”。这样就避免了一些不必要的麻烦。但过去的一些说法就必须加以纠正了。例如：“一个自然数的最小倍数是它本身”、“自然数的约数的个数是有限的”等，这样的结论必须纠正。要在“自然数”的后面加上“零除外”。104、0 是不是合数？v 在过去的教学中，关于自然数的组成，有两种情况：一是所有奇数和所有的偶数组成自然数集合；二是所有的质数与所有的合数及1 也组成自然数集合。现在0 也成为了自然数集合的一员，因而有许多教师提出这样的问题：0 是合数，还是质数？我这里就根据九年义务教育六年制小学数学第十册中的内容来说说。因为北师大版的教材里没
10、有定义的书中关于合数的定义：“一个数，如果除了1 和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。”似乎应该把0 划归为合数范围，但仔细一想0 是个特殊的自然数，因为所有非零自然数都有“本身”这个约数，如，1 是1的约数，2 也是2 的约数，而0 这个自然数恰恰少了“本身”这个约数，因此，也不能归为合数。试想：假设如果0 是合数，那么它能用质因数相乘的形式表现出来吗？这就与“每个合数都可以写成几个质数相乘的形式”产生了矛盾。所以，我主张把0 划归为“既不质数，也不是合数”范围。当然了，这需要权威机构和专家们的认定。但我认为，目前在没有明确0 是什么数的情况下，还是以回避为好。11四、空间与图形领域中的
11、知识拓展 数学教学中如何确定左右12案例：老师在学生初步感知左右时进行了以下环节的教学。师：图中上去的小朋友和下来的小朋友，他们都是靠右走吗？v 生1：上去的小朋友是靠右走的，下来的小朋友也是靠右走的。v 生2：我有不同的意见，我觉得下来的小朋友是靠左走的v 师：说说你的看法。v 生2：上去的小朋友是靠我的右手走的，而下来的小朋友是靠我的左边走的。所以我觉得下来的小朋友是靠左走的。v 这位老师通过做游戏共同得出结论：生2 的判断是错的。指出：要判断图中的小朋友靠哪边走，就不能以我们的左右来判断的，而要以图中小朋友得左右来判断。13 我以为上课教师没有注意到生2 解释话。其实生2 已经讲得很清楚
12、了，“上去的小朋友是靠我的右手走的，而下来的小朋友是靠我的左边走的。所以我觉得下来的小朋友是靠左走的”。因为他是站在自己的角度，以观察者的左右为标准来确定左右位置的，这就是左右相对性的体现。不过上课老师为了上课时不会出现意外，在备课时最好要备到这样两个问题：1、图中的小朋友是靠我们的哪边走的？2、如果你是图中的小朋友，你认为自己是靠哪边走的？这样设计问题就清楚啦。14一般情况下，观察事物时，左右的定位是这样的：1、被观察者是人时，讨论被观察者的左右是以被观察者的左右来确定的。2、被观察者为其他物体时，如苹果等等，讨论被观察者的左右问题，是以观察者的左右来确定的。3、被观察者是图片时，如果图片上
13、是物体，按2 中的方面确定，如果图片中是人，就会产生两种观察标准：问图片中某人的左边是谁，就是以某人为标准的。而问图片的左边是谁，就是以观察者为标准的。上面这些方法，有的应该是科学的，有的只是一种约定俗成。15v 比如：在一张图片上出现v、等八个人站成一排时，如果问你关于左右的问题时，就会出现好几种复杂的情况，v 第一种情况：当这八个人面对我们的时候，如果问的是我们，的左边有多少人或的左边第三位是谁时。v 答案就是和。v 第二种情况：当这八个人面对我们的时候，如果问的是，D 的左边有多少人或D 的左边第三位是谁时。v 答案就是和。v 第三种情况：当这八个人背对我们的时候，如果问我们或是问，的左
14、边有多少人或左边第三位是谁时。v 答案就是和v 第四种情况：如果这八个不是人类，而是物品或者动物，就不用区分前面和背面，问的左边有多少物品或者的左边第三位是什么时。v 答案就是和。16五、一个数的倍数的特征的知识拓展v 我们在课本中已经教过了一个数是2，5，3 的倍数的特征，在这里我再补充几个课本上没教过的数的倍数的特征。v 1、一个整数的末一位的数是2 或5 的倍数，这个数就是2 或5 的倍数。v 2、一个整数的末两位所组成的数是4 或25 的倍数，这个数就是4 或25 的倍数。v 例如：1864=1800 64，因为100 是4 与25 的倍数，所以1800 是4 与25 的倍数.又因为4
15、 64，所以1864 是4 的倍数.但因为25 不是64 因数，所以1864 不是25 的倍数.v 3、一个数的末三位所组成的数是8 或125 的倍数，这个数就是8 或125 的倍数v 例如：29375 29000 375，因为1000 是8 与125 的倍数，所以29000 是8 与125 的倍数.又因为125 375，所以29375 是125 的倍数。但因为8 不是375 因数，所以8 不是29375 的因数。174、一个数是9 的倍数的数的特征，看各位上的数的和，即一个数的各位上的数的和是9 的倍数，这个数就是9 的倍数。v 5、一个数是11 的倍数的特征是：如果一个自然数的奇数位上数字
16、和与偶数位上数字和的差是11 的倍数，那么这个数就是11 的倍数，否则这个数便不是11 的倍数。v 例如：判断123456789 这九位数是否是11 的倍数？解：这个数奇数位上的数字之和是9 7 5 3 1=25，偶数位上的数字之和是8 6 4 2 20.因为2520 5，又因为11 不是5 的倍数，所以11 也不是123456789 的因数。v 6、一个数是否是7，11，13 的倍数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（大数减小数）是7 或11或13 的倍数，那么这个数就是7 或11 或13 的倍数，否则这个数就不是7 或11 或13 的倍数。v 例如：判
17、断是否是7 的倍数？v 解：把分为1059 和282 两个数.因为1059-282777，又7 是777 的因数，所以7 是的因数.因此是7 的倍数。18再如：判断是否是13 的倍数？把分为3546 和725 两个数.因为3546-725=2821.再把2821 分为2 和821 两个数，因为8212 819，又13 是819 的因数，所以13 也是2821 的因数，进而13 也是的因数.v 整除的五条基本性质：v（1）如果a 与b 都能被c整除，则a+b 与a-b 也能被c整除；v（2）如果a 能被b 整除，c是任意整数，则积ac 也能被b 整除；v（3）如果a 能被b 整除，b 能被c整除，则积a 也能被c整除；v（4）如果a 能同时被b、c整除，且b 与c互质，那么a 一定能被积bc 整除，反之也成立；v（5）任意整数都能被1 整除，即1 是任意整数的约数；0 能被任意非0 整数整除，即0 是任意非0 整数的倍数。v 灵活运用以上性质，能解决许多有关因数和倍数的问题。19最后，讲两个速算方法：v 1、任何两位数乘以11 的方法：口诀是：两位数首尾不变分两边，两位数首尾之和写中间，满十向前进位。v 如：5311=583v 2、任何两位数的乘法的速算方法：口诀是：尾乘尾，写在尾；内相积加外相积的和写中间；头乘头，写前面；满十向前进位。v 如：5623=128820