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1、（精选推荐）高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)（精选推荐）高中数学公式完全总结归纳(均值不等式)a2b21.(1)若1.(1)若a,bR，则，则a b 2ab(2)若(2)若a,bR，则，则ab 2a b*2.(1)若2.(1)若a,b R，则，则ab(2)若(2)若a,b R，则，则a b 2 ab222（当且仅当（当且仅当a（当且仅当（当且仅当a b时取“=”）时取“=”）b时取“=”时取“=”a b(当且仅当(当且仅当a b时取“=”(3)若时取“=”(3)若a,b R，则，则ab ）2*23.若3.若x1）2(当且仅当(当且仅当x 1时取“=”时取“=”x1若若x 0，则，则x 2
2、(当且仅当(当且仅当x 1时取“=”）时取“=”）x 0，则，则x若若x）0，则，则x1 2即x1 2或x1-2 (当且仅当 (当且仅当a b时取“=”时取“=”xxx4.若4.若ab 0，则，则ab）2 (当且仅当 (当且仅当a b时取“=”时取“=”ba若若ab 0，则，则ababab）2即 2或-2 (当且仅当 (当且仅当a b时取“=”时取“=”bababaa b2a2b25.若5.若a,bR，则，则(（当且仅当（当且仅当a b时取“=”）时取“=”）)22ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和
3、定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用例 1：求下列函数的值域（1）ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用例 1：求下列函数的值域（1）y y33x x 2 21212x x 2 21（2）1（2）y yx xx x解：(1)y3x 解：(1)y3x 2 21
4、1 2 222x3x 22x3x 2 216值域为6，+）16值域为6，+）2 22x1(2)当 x0 时，yx2x1x2；x1x =2x11当 x0 时，yx =（x）2xx值域为（，22，+）2x1(2)当 x0 时，yx2x1x2；x1x =2x11当 x0 时，yx =（x）2xx值域为（，22，+）解题技巧技巧一：凑项例已知解题技巧技巧一：凑项例已知x 51的最大值。，求函数的最大值。，求函数y 4x244x5解：因解：因4x5 0，所以首先要“调整”符号，又，所以首先要“调整”符号，又(4x2)1不是常数，所以对不是常数，所以对4x2要进行拆、凑项，要进行拆、凑项，4x5511x,
5、54x 0，y 4x2 54x3 23144x554x当且仅当当且仅当54x技巧二：凑系数技巧二：凑系数例例 1.1.当当解析：由解析：由1，即，即x 1时，上式等号成立，故当时，上式等号成立，故当x 1时，时，ymax1。54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。时，求时，求知，知，y x(82x)的最大值。的最大值。，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到其和不是定值。注意到2x(
6、82x)8为定值，故只需将为定值，故只需将y x(82x)凑上一个系数即可。凑上一个系数即可。当当，即，即 x x2 2 时取等号时取等号当当 x x2 2 时，时，y x(82x)的最大值为的最大值为 8 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设变式：设0 x 3，求函数，求函数y 4x(3 2x)的最大值。的最大值。2232x 3 2x9解：解：0 x 3 2x 0y 4x(3 2x)22x(3 2x)2 222当且仅当当且仅当2x
7、技巧三：技巧三：分离分离 3 2x,即即x 330,时等号成立。时等号成立。42x27x10(x 1)的值域。的值域。例例 3.3.求求y x1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x x1 1）的项，再将其分离。）的项，再将其分离。当当,即即时时,y 2（x1)45 9（当且仅当（当且仅当 x x1 1 时取“”号）。时取“”号）。x1技巧四：换元技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令 t=xt=x1 1，化简原式在分离求最值。，化简原式在分
8、离求最值。(t 1)27(t 1）+10t25t 44y=t 5ttt4当当,即即 t=t=时时,y 2 t5 9（当（当 t=2t=2 即即 x x1 1 时取“”号）。时取“”号）。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为A B(A 0,B 0)，g(x)g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。g(x)a技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数技
9、巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)x的单调性。的单调性。xy mg(x)例：求函数例：求函数y x25x 42的值域。的值域。解：令解：令2x 5x 4 t(t 2)，则，则y x242x24 1 t (t 2)tx24111 0,t1，但，但t 解得解得t 1不在区间不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。，故等号不成立，考虑单调性。tt15因为因为y t 在区间在区间1,单调递增，所以在其子区间单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故为单调递增函数，故y。t2因因t所以，所求函数的值域为所以，所求函数的值域为5,。2练习求下列函数的最小值，并求取得最
10、小值时，练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x x 的值的值.11x23x1,x(0,),x 3 (3)(3)y 2sin x,(x 0)（2 2）y 2x（1 1）y xsin xx32 2已知已知0条件求最值条件求最值1.1.若实数满足若实数满足a bx1，求函数，求函数y x(1x)的最大值的最大值.；3 30 x 2，求函数，求函数y x(23x)的最大值的最大值.3 2，则，则3a3b的最小值是的最小值是 .a分析：分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3解：解：3当当3aa3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，定值，因此考虑利用均值定
11、理求最小值，和3b都是正数，都是正数，3a3b2 3a3b 2 3ab 6 3b时等号成立，由时等号成立，由a b 2及及3a 3b得得a b 1即当即当a b 1时，时，3a3b的最小值是的最小值是 6 611变式：若变式：若log4xlog4y 2，求，求的最小值的最小值.并求并求 x,yx,y 的值的值xy技巧六：整体代换技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2 2：已知：已知x 0,y19 0，且，且1，求，求x y的最小值。的最小值。xy1x91，x y 19x y 29
12、2 xy 12故故x ymin12。yxyxy9等号成立条件是等号成立条件是1xxy错解错解：x 0,y 0，且，且错因：错因：解法中两次连用均值不等式，解法中两次连用均值不等式，在在x在在19 2y 2 xy等号成立条件是等号成立条件是x y，xy9y即即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：正解：19 y9x19x 0,y 0,1，x y x y1
13、0 61016xyxyxy当且仅当当且仅当19y9x1，可得，可得x 4,y 12时，时，x ymin16。时，上式等号成立，又时，上式等号成立，又xyxy变式：变式：（1 1）若）若x,y R且且2x y 1，求，求11的最小值的最小值xy(2)(2)已知已知a,b,x,技巧七技巧七y R且且ab1，求，求x y的最小值的最小值xyy y 2 22 2已知已知x x，y y为正实数，且为正实数，且x x 2 21 1，求，求x x1 1y y的最大值的最大值.2 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ababa a 2 2b b 2 2
14、2 2。1 1y y2 2 2 2x x2 2 2 21 12 2同时还应化简同时还应化简1 1y y中中y y前面的系数为前面的系数为，x x1 1y yx x2 22 22 21 1y y2 22 2 2 2下面将下面将x x，1 1y y分别看成两个因式：分别看成两个因式：2 22 2x x(2 2 2 2x x1 1y y2 22 2 2 21 1y yy y1 12 2 2 2 )x x 2 22 22 22 23 32 2即即x x1 1y y2 2 x x2 22 24 4 2 2 2 21 1y y3 32 22 22 24 4 2 2技巧八：技巧八：已知已知a a，b b为正
15、实数，为正实数，2 2b bababa a3030，求函数，求函数y y1 1abab的最小值的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进
16、行。式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。30302 2b b30302 2b b2 2 b b3030b b法一：法一：a a，ababb bb b1 1b b1 1b b1 1由由a a0 0 得，得，0 0b b15152 2t t3434t t313116161616令令t tb b+1+1，1 1t t1616，abab2 2（t t）3434t t2 22 22 2t tt tt tt t8 8t t1616abab1818y y1 1当且仅当当且仅当t t4 4，即，即b b3 3，a a6 6 时，等号成立。时，等号成立。1818法二：由已
17、知得：法二：由已知得：3030ababa a2 2b ba a2 2b b2 2 2 2 ab ab 30 30abab2 22 2 ab ab令令u uabab则则u u2 2 2 2u u30300 0，5 52 2 u u3 32 21 1abab3 32 2，abab1818，y y1818点评：本题考查不等式点评：本题考查不等式2 2a b的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式ab（a,b R）2（a,b R）出出发发求求得得ab的的范范围围，关关键键是是寻寻找找到到a b与ab之之间间的的关关系系，由由此此想想到到不不等等式
18、式ab a2b30a b，这样将已知条件转换为含，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得的不等式，进而解得ab的范围的范围.ab（a,b R）2变式：变式：1.1.已知已知a a00，b b00，abab(a ab b)1 1，求，求a ab b的最小值。的最小值。2.2.若直角三角形周长为若直角三角形周长为 1 1，求它的面积最大值。，求它的面积最大值。技巧九、取平方技巧九、取平方5 5、已知、已知x x，y y为正实数，为正实数，3 3x x2 2y y1010，求函数，求函数 W W3 3x x2 2y y的最值的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，解法一：若利用
19、算术平均与平方平均之间的不等关系，2 22 2a ab b2 2a a 2 2b b 2 22 2，本题很简单，本题很简单3 3x x2 2y y2 2（3 3x x）（2 2y y）2 23 3x x2 2y y2 25 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。拢。W W0 0，W W 3 3x x2 2y y2 23 3x x2 2y y10102 23 3x x2 2y y1010(3 3x x)(2 2y y)
20、1010(3(3x x2 2y y)2020 W W 2020 2 25 5变式变式:求函数求函数y 2 22 22 2152x 152x(x)的最大值。的最大值。22解析：注意到解析：注意到2x1与与52x的和为定值。的和为定值。y2(2x 152x)2 4 2(2x 1)(52x)4(2x1)(52x)8又又y 0，所以，所以0 y 2 2当且仅当当且仅当2x1=52x，即，即x 3时取等号。时取等号。故故ymax 2 2。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值
21、不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式应用二：利用均值不等式证明不等式1 1已知已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：为两两不相等的实数，求证：a2 b2 c2 ab bc ca 1 1 11118abc11abc2 bc，1aaaa1 1）正数）正数a a，b b，c c满足满足a ab bc c1 1，求证：，求证：(1(1a a)(1)(1b b)(1)(1c c)8 8abc
22、abc例例 6 6：已知：已知 a a、b b、c cR，且，且abc 1。求证：。求证：分析：分析：不等式右边数字不等式右边数字 8 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2 2”连乘，连乘，又又可由此变形入手。可由此变形入手。a a、b b、c cR，abc 1。解：解：12 ac111abc2 bc2 ab。同理。同理1，1。上。上1bbaaaacc述三个不等式两边均为正，分别相乘，得述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1 1 1 12 bc 2 ac 2 ab。当且仅当。当且仅当时取等号。时取等号。a b c 111 83ab
23、cabc应用三：均值不等式与恒成立问题应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知例：已知x 0,y19 0且且1，求使不等式，求使不等式x y m恒成立的实数恒成立的实数m的取值范围。的取值范围。xy19x y9x9y10y9x1，1.1xykxkykkxky解：令解：令x y k,x 0,y 0,1103 2。k 16，m,16kk1a b(lga lgb),R lg()，则，则P,Q,R的大小关系是的大小关系是 .22应用四：均值定理在比较大小中的应用：应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若例：若a b 1,P lgalgb,Q 分析：分析：a b 1lga 0,lgb 0Q 1（lga lgb)lgalgb p2a b1R lg()lgab lgab QRQPRQP。22概念：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+.+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2.an)(1/n)3、算术平均数：An=(a1+a2+.+an)/n4、平方平均数：Qn=(a12+a22+.+an2)/n5、均值定理：如果 a，b 属于 正实数 那么(a+b)/2ab且仅当 a=b 时 等号成立。这四种平均数满足 HnGnAnQna1、a2、anR+，当且仅当 a1=a2=an 时取“=”号