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1、年寒窗苦读日，只盼金榜题名时，祝你考试拿高分，鲤鱼跳龙门！加油！2016北京高考理科数学真题及答案本试卷共5页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）已知集合A=B=，则（）。（A） （B）（C） （D） 【参考答案】C【答案解析】集合，而B=，因此可得，故选择C。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章集合中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（2）若x,y满足 ，则2x+y的最大值为
2、（）。（A）0 （B）3（C）4 （D）5【参考答案】C【答案解析】可行域如下图阴影部分，目标函数平移到如图虚线处取得最大值，对应的点为（1,2），故可得最大值为21+2=4，选择C。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章函数的值域、最值求法及应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）。（A）1 （B）2（C）3 （D）4【参考答案】B【答案解析】开始；第一次循环；第二次循环；第三次循环，条件判断为“是”，跳出循环，此时。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章算法与统计中有详细讲解，在寒假特
3、训班、百日冲刺班中均有涉及。（4）设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（）。（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【参考答案】D【答案解析】若|a|=|b|，则以|a|和|b|组成的平行四边形是菱形，而|a+b|和|a-b|分别表示菱形的对角线，而菱形的对角线是不一定相等的；反之，若|a+b|=|a-b|，那么以|a|和|b|组成的平行四边形为矩阵，而矩阵的相邻的两条边也不一定相等，因此选择D。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章 常用逻辑语中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（5
4、）已知x,yR,且xyo，则（）。（A）- （B）（C） (0 （D）lnx+lny【参考答案】C【答案解析】因为xy0，因此有，故）- ，因此A错误，而正弦函数在(0，+)上不是单调的，所以和的大小是不能确定的，故B错误，而指数函数在(0，+)上是递减的，所以，故，因此C正确，而D选项中的，它在(0，+)的正负是不确定的，故D错误。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 (6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）。（A） （B）（C）（D）1【参考答案】A【答案解析】通过三视图可以得到下图所示的三棱锥，它的高为，底
5、面积为，因此可得体积为。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章立体几何中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 (7)将函数图像上的点P（ ，t ）向左平移s（s0） 个单位长度得到点P.若 P位于函数的图像上，则（）。（A）t= ，s的最小值为 （B）t= ，s的最小值为 （C）t= ，s的最小值为 （D）t= ，s的最小值为 【参考答案】A【答案解析】由题意P是P（ ，t）向左平移s，因此可得，它在上，因此有，而P在，故可得，通过这两个式子，可解得，故选择A。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
6、（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）。（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【参考答案】B【答案解析】取两个球往盒子中放有种情况：红+红，则乙盒中红球数加个；黑+黑，则丙盒中黑球数加个；红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加个；黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加个因为红球和黑球个数一样，所以和的情况一
7、样多，和的情况完全随机和对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响和出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样。综上，选B，【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章概率中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分（9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_。【参考答案】-1【答案解析】，而它对应的点位于实轴上，因此可得，故。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（10）在的展
8、开式中，的系数为_.（用数字作答）【参考答案】60【答案解析】根据二项式定理可知，的项为，因此系数为60。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十六章计数技巧中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点， 则 =_.【参考答案】2【答案解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算，则直线方程为：，圆的方程为：也就是，转化为直角坐标系方程为：即，圆心为（1,0）正好在直线上，因此|AB|为直径，故|AB|=2。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章直线与圆中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（12）已知为等差数列，为其前
9、n项和，若 ，则.【参考答案】6【答案解析】，因此可得。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章数列中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（13）双曲线 的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_.【参考答案】2【答案解析】不妨设B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则图像如下图，因为OABC为正方形，|OA|=2，所以，又知OA为渐近线，故，而，根据这两个条件可得。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（14）设函数 若a=0
10、，则f(x)的最大值为_； 若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_。【参考答案】2；【答案解析】由可得，如下图所示，若a=0，那么最大值为，通过图像可以知道当时，有最大值为，因此若无最大值，则。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第五章函数图像的画法及应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）在ABC中，（I）求 的大小（II）求 的最大值【参考答案】（1）；（2）1。【答案解析】（1）（2）所以的最大值为1。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲
11、解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（I） 试估计C班的学生人数；（II） 从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.2
12、5（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和的大小，（结论不要求证明）【参考答案】（I）40；（II）；（III）。【答案解析】（I）因为，因此C班的学生人数为40。（II）在A班取到每个人的概率都是相同的，均为，设A班中取到第i个为事件，在C班中取到第j个人为事件，的概率为事件D，则可得：。（III），三组的平均数为7，9，8.25，总均值，但中多加了三个数7，9，8.25，平均值为8.08，比小，故拉低了平均值。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章概率中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（17）（本
13、小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD 平面ABCD，PAPD ,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,（I）求证：PD平面PAB; （II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（III）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求 的值；若不存在，说明理由。【参考答案】（I）略；（II）；（III）存在，。【答案解析】（I）（II）取中点为，连接，以为原点，如图建立直角坐标系，可得，所以设为面的法向量，设，因此有故可得。（III）假设存在M，使得BM平面PCD，设由（II）可知，因此，由，因此可得，因为BM平面PCD，而为面的法向量，因此，即
14、，因此可得。综上可得，存在这样的点M，即当时，M为所求点。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章立体几何中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（18）（本小题13分）设函数，曲线在处的切线方程为，（I）求a、b的值； (II) 求f(x)的单调区间。【参考答案】（I）；(II) 在R上递增，无减区间【答案解析】（I）而曲线在处的切线方程为，因此可得也就是因此可得。(II)由（I）可得，令，则（，2）2（2，+）0 +减极小值增的最小值为，所以的最小值为，因此在R上恒成立，所以在R上递增，无减区间。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章函数的性质及其应用中有
15、详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（19）（本小题14分）已知椭圆C： （ab0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），OAB的面积为1.（I）求椭圆C的方程；(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：为定值。【参考答案】（I）；(II)证明略。【答案解析】（I）由已知可得，而在椭圆中满足，因此可得，故椭圆C的方程为。(II)设椭圆上一点，直线PA：，令可得，所以直线PB：，令可得，所【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（20）（本小题1
16、3分） 设数列A： ， , (N2)。如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有 ，则称n是数列A的一个“G时刻”。记“G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；(II)证明：若数列A中存在使得，则G（A） ；(III）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则G（A）的元素个数不小于 -。【参考答案】（I）；(II)略；(III）略。【答案解析】（I）。(II)因为存在，设数列中第一个大于的项为，则，其中。(III）证：设数列的所有“时刻”为，对于第一个“时刻”有，因此有；对于第二个“时刻”有，因此有；类似的有，于是有对于，若，则，若，则，否则有(II)可知，中存在“时刻”，这与只有个“时刻”矛盾，从而可得。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章数列中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。