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1、高中数学必备基础知识梳理1.奇函数都过原点，对吗？不对，比如。但如果定义域内可以取0，则奇函数一定过原点.2.函数在定义域上是减函数，对吗？不对，不符合减函数定义。可以说在上单减，但不能是定义域上。3. 函数的零点是，对吗？不对，零点是数，不是点。4. 直线是表示所有过点的直线，对吗？不对，因为直线方程的形式确定了斜率一定存在，因此只能表示所有斜率存在的直线5.和轴平行的直线的倾斜角一定是，对吗？对，任意直线的倾斜角范围是，水平线倾斜角定义为06. 函数的最小值为2，对吗？不对，因为可能为负数7.两条直线平行，则斜率相等，对吗？不对，可能两条直线的斜率都不存在。8.两条直线垂直，则斜率之积为，
2、对吗？不对，可能一条直线的斜率为0，另外一条直线的斜率不存在。9.零向量和任意向量都平行，对吗？对，这是教材规定10.直线和函数有2个交点，对吗？不对，函数有渐近线，如图，只有一个交点。11.若向量，则，对吗？不对，因为可能是零向量，则可能不平行12.在中，是成立的充要条件，对吗？对，根据大角对大边，则有，由正弦定理有 13.在中，是成立的充要条件，对吗？对，根据的图象可以知道（减函数）14.对于一个数列，每一项都是前一项的2倍，则数列为等比数列，对吗？不对，比如数列首项是015.对于两个不共线的向量，若，则，对吗？对，如果去掉“不共线”三个字，就是错的。16.对于两个非零向量，若，则，对吗？
3、不对，向量不能约分，由得到的是或17.对于等比数列满足：，则公比是吗？不对，看清楚，公比是18.将函数的图象向左平移个单位后是，对吗？不对，正确的平移结果为19.将函数的图象向下平移个单位后的图象与的图象重合，对吗？对，平移后变为20.椭圆上的点到焦点的距离最小值为，对吗？对，如果不是焦点，那就另当别论了（感兴趣就去证明一下）21.在中，若，则，对吗？不对，比如，严谨来讲，化简得到的是或22.在中，若，则，对吗？对， ，肯定成立。当时根据图象分析，有，即，矛盾。23.在中，若，则，对吗？不对，比如，从本质来讲是，即，也就是这三种可能。（提醒：倒过来也不成立哦，比如）24.正四面体一定是正三棱锥
4、，对吗？对，正四面体是所有棱长都相等的三棱锥，正三棱锥是底面为等边三角形且定点在底面的投影是底面中心。因此正四面体是正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体。25.异面直线是既不平行也不相交的直线，对吗？对，异面直线的概念就是既不平行也不相交的直线26.异面直线可以垂直，对吗？对，异面直线可以垂直，如图正方体中与就是异面垂直.27.某人做三道不同的选择题，每一道做对的概率为，则恰好做对一道的概率为，对吗？不对，正确的概率计算为.28.双曲线的离心率的大小与的取值有关，对吗？对. 时，标准方程为，即，则离心率为；时，标准方程为，即，则离心率为因此离心率与的正负有关系。（但渐近线方程与无关，自行证明）
5、29.直线直线，且平面，则平面，对吗？不对，因为可能在平面内。31.如果一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则该直线平行于平面，对吗？不对，因为直线也可能在平面内。32.若平面平面，直线平面，则平面，对吗？不对，因为可能在平面内。33.函数的一个对称中心是，对吗？对，的对称中心为，所以是其中一个.注意到对称中心不一定在函数图象上哦，比如反比例函数关于原点对称。34.若，则，对吗？不对，比如. 根据，则或（不能习惯性约分，注意）35.将点向右平移1个单位后的坐标为，对吗？不对，函数的平移和点的平移有区别，向右平移一个单位后当然是. 36.一条直线的斜率为，则其倾斜角为或，对吗？不对，直线的
6、倾斜角都是，因此不可能是负角，只能是37.已知数列，则当时，取得最小值，对吗？不对，注意到数列里，因此或时取得最小值.38.已知，则一定成立，对吗？不对，由，应该是或，因此得到是或39.函数和函数的图象是重合的，对吗？对，简单粗暴将其展开，即，二者一模一样。（也可以运用诱导公式证明）40.对于，直线和函数永远不会相切，对吗？对，因为，所以不可能存在斜率为正数的切线。41.原点到直线的距离最大值为2，对吗？不对，通过画图应该是斜率不存在的时候距离刚好是2，但此直线不可能斜率不存在。44.对于两个向量，和的运算结果是一样的，对吗？不对，因此不一样.45.将平方后展开得到，对吗？对46.将平方后展开
7、得到，对吗？对47.若，则对数，对吗？对，根据对数图象即可知道正确。48.设函数的最小正周期为，则，对吗？不对，注意本题中应该是，此时.49.若为实数，复数，则，对吗？对，两个复数相等，则实部和虚部都相等50.一个三棱锥可以每一个面都是直角三角形，对吗？对，如图所示. 51.一个四棱锥可以所有侧面均为直角三角形，对吗？对，如图所示. 52.一个腰长为1的等腰三角形，面积最大值为，对吗？对，根据三角形面积公式，故等腰直角时取得最大值为.53.若平面平面，直线，且，则平面，对吗？对，不信去试试2021朝阳二模立体几何大题，选择序号试试。54.对于任意，都有，则是等差数列，对吗？对，不妨令，则，即常
8、数. 55.对于任意，都有，则是等比数列，对吗？不对，比如全为0的数列。但如果首项不为0时，是对的，证明思路同上面。56.对于正实数，且，恒有，对吗？对，这是公式57.等比数列中任意一项都不为0，且公比也不为0，对吗？对，注意到公比是指数列后一项和前一项的比值58.等比数列如果是单调数列，则该等比数列的公比且，对吗？对，单增：或。单减：或。59.存在等差数列的前项和也是等差数列，对吗？对，比如时，60.存在等比数列的前项和是等差数列，对吗？对，比如时，61.方程只有一个解，对吗？对，转化为函数和函数只有一个交点即可。62.向量和向量共线，则有成立，对吗？不对，共线是，虽然交叉相乘后结果一样，但
9、是不对。比如，63.过圆内一点作圆的弦长，最长的弦为直径，最短弦和直径垂直，且该点为弦中点，对吗？对，这是结论，自行证明。64.若一条直线和双曲线无公共点，则该直线一定和渐近线平行或重合，对吗？不对，如直线；和渐近线平行的直线一定和双曲线有唯一交点65.函数的最正周期为，对吗？对，故66.函数的最正周期为，对吗？对，又，所以，故67.对于定义域内任意，恒有，则函数关于对称，对吗？对，对称轴的定义式为：68.对于定义域内任意，恒有，则函数关于对称，对吗？对，对称中心的定义式为：69.已知函数，则是函数的唯一极值点，对吗？不对，原函数单增，无极值点。（不能单看）70.一组数据的平均数为，方差为，则
10、的平均数为，方差为，对吗？对，结论：一组数据的平均数为，方差为，则的平均数为，方差为71.“”是“直线和直线垂直”的充要条件，对吗？不对，不能只看斜率之积为，比如时直线也垂直。72.对于椭圆，若，则离心率的范围是，对吗？不对，离心率，范围为73.双曲线的渐近线方程为，则离心率为2，对吗？不对，焦点在轴上，所以离心率74.若中满足，则为钝角三角形，对吗？对，三角形中最多一个钝角，钝角值为负，锐角值为正，根据，因此中必有一负两正. 75.若中满足，则为锐角三角形，对吗？对，在三角形中：钝角值为负，锐角值为正，根据，因此中必然都是正，因此均为锐角. 76.若的面积满足，则，对吗？不对，根据面积面积公
11、式，则，则或77.点到直线距离的最大值为3，对吗？对，点在单位圆上，故只需要圆心到直线距离+半径即可。78.已知函数，则不等式的解集为，对吗？对，即，是奇函数且是单增函数，故正确。79.设函数，则存在实数，使得函数存在唯一极值点，对吗？不对，是二次函数，时，原函数单增无极值点；时，原函数有2个极值点。不可能是1个。80.若是等差数列，则也是等差数列，且共有项，对吗？对，看下标的通项是，则第项是，因此共项。81.已知中，则为钝角三角形，对吗？对，最大角为，且，因此是钝角三角形。82.已知中，则，对吗？对，因为，即根据是减函数，所以83.函数的零点一个比1大，一个比1小，则的范围是，对吗？对，判别
12、式，根据图象知道即可，从而84.若，则，对吗？对，构造函数，奇函数且单增，如图，则85.点是函数和函数的共同的对称中心，对吗？不对，注意到的对称中心的纵坐标不是0，应该是-186.若，若平面内任意向量，都存在实数，使得成立，则，对吗？对，平面向量基本定理，也就是是基底向量（不共线）87.已知的图象如下，则或，对吗？不对，带入点中，则又，得或，看图知：位于减区间内故，故舍去，因此答案为88. 为虚数单位，则，对吗？不对，看仔细，想仔细89.抛物线的开口向上，焦点坐标为，对吗？对，化为标准方程即90.函数与函数的值域一样，对吗？不对，看图知：的值域为的值域为 91.存在，使得和同时成立，对吗？不对
13、，若，则，又，不可能成立，因此不存在这样的。92.函数的两条对称轴之间的距离最小值为，则，对吗？不对，两条对称轴之间的距离最小值应该是半个周期，即，正确的应该是.93.已知对勾函数，直线和相交于两点，则为定值，对吗？对，即方程的根为，变形为：即方程的根为，由韦达定理得，故为定值94.若是函数的零点，则也是函数的零点，对吗？对，即，变形为：，两侧取对数得，即即，则也是函数的零点其他思路：由，即，从而，即.95.函数和函数的最小正周期都是，对吗？对，由的最小正周期为，则将位于轴下方翻折到轴上方后得故的最小正周期是，显然的最小正周期是96.设，则，对吗？对，作差法。97.设，则，对吗？对，方法一：高
14、次方。不难得到均大于1. 所以，所以方法二、取对数。，同理得，结合上面的作差法即可得出结果。98.函数是定义域上的单增函数，对吗？对，因为，设，所以在上单减，在上单增，故，即所以，因此单增。99.设，则，对吗？对，请看图。（要了解这里的就是那个约等于3.14的）100.函数，则函数的最大值为，对吗？对，方法一：拆分函数，函数前半部分的最大值为，后半部分的最大值为，且可以找到同一个取得，因此正确.方法二：换元法 设，故 从而，根据二次函数即可求最值101.增函数+增函数=增函数，增函数增函数=增函数，对吗？前半句对，后半句错. 比如，通过求导得到函数在上单减，在上单增.102.平面内到两个定点的
15、距离之和为定值的轨迹为椭圆，对吗？不对. 还需要满足定值大于两个定点之间的距离才是椭圆。即如过到两个定点的距离之和为定值且等于两个定点之间的距离，则轨迹为线段.103.平面内到两个定点的距离之差的绝对值为定值的轨迹为双曲线，对吗？不对. 还需要满足定值小于两个定点之间的距离才是双曲线。即如过到两个定点的距离之和为定值且等于两个定点之间的距离，则轨迹为两条射线.104.已知是一个边长为2的等边三角形，则，对吗？不对. 与的夹角为120，不是60！正确是： 105.等比数列的前5项分别为，则，对吗？不对. 根据，且符号一致，故106.向量的平方等于其模长的平方，复数也满足，即，对吗？前半句对，后半
16、句错。向量满足，复数不满足。比如，而107.若，则，对吗？不对，如，但是对的.（不等式加法）108.设是双曲线的左右焦点，点，则，对吗？不对，因为在第二象限，因此，故. 务必看清楚绝对值放在哪个位置！109.过坐标原点作函数的切线，则切线的斜率为，对吗？对，特别注意切点不是原点。设切点，因此：， 110.设，若对，且，都有成立，则的取值范围为，对吗？不对，特别注意本题没有说是二次函数。题意为函数在区间上为减函数若，则函数在定义域上都是单减函数，符合题意；若，则该二次函数开口向下，且对称轴，故正确答案为：111.过点作圆的切线，则切线方程为，对吗？对，但答案不全。若直线斜率不存在，即，通过图可以
17、知道是切线若直线的斜率存在，设，通过解得 112.在平面直角坐标系中，恰好存在三条不同的直线同时与圆和圆相切，则，对吗？不对。通过圆和圆的位置关系可知：3条公共切线圆和圆外切，故（此处为两个圆心之间的距离），即，所以 提醒：看清楚半径不是113.已知，则，对吗？不对。首先审题看仔细，不要读成了“”根据平方：，所以 别忘了开根号！114.在中，点在的延长线上，设，则，且，对吗？对。系数和为1是结论，系数的正负如图看：根据作的平行线，所以，看图知道（且）115.设，若为钝角，则的取值范围是，对吗？不对。NO1.从画图层面看：找到直角时，反向时所以且 NO2.从运算层面看：钝角翻译为且不反向所以且不
18、反向（即）116.设函数的定义域为，则“，使得”是“为偶函数”的充要条件，对吗？不对。题目前半句是指存在关于轴对称的点，需要改为“任意实数”才是偶函数117.设函数，则函数关于对称，对吗？对。如果满足：，则函数关于于对称又，因此正确118.将函数向左平移个单位后图形与重合，则的最小值为，对吗？对。因为函数的最小正周期为，向左平移最小正周期的整数倍个单位图象都是重合的.119.将函数的最小正周期为，对吗？不对。正切型函数的最小正周期公式为，故最小正周期为 120.设数列与数列均为等比数列，则也是等比数列，对吗？对。因为按等比数列定义有：常数121.若一个函数存在极大值和极小值，则极大值一定大于极
19、小值，对吗？不对。比如对勾函数. 如图：提点：复杂的极值之间比较大小作差法122.设一组数据的平均数为，方差为，在这组数据中加入一个新数据后，则新数据的方差会比原数据的方差要小，对吗？对。因为原始数据的方差，新数据方差为：，分子不变，分母变大，故方差变小了。123.设平面的法向量为，是平面内任意一点，是平面外一点，则点到平面的距离公式为，对吗？不对。正确公式为：124.设为等边三角形的中心，为的中点，则，且，对吗？对。这是结论（重心，即有）125. ，使得，对吗？不对。因为，所以最大为，不可能取得到2.126. 设，则，对吗？对。看下图知道，结合与和都相切于原点.也可以通过构造函数来判断不等式
20、，自行尝试.127.设点在圆上，则过点作圆的切线只有一条，且切线方程为，对吗？对！这是结论，可以运用点到直线距离来证明，此结论可以类比到椭圆128.双曲线的焦点到渐近线的距离等于，双曲线的焦点到渐近线的距离也等于，对吗？对！这是结论，可以运用点到直线距离来证明129.已知空间中四点坐标分别为，则时，点在平面内，对吗？对！NO1. 即存在实数，使得成立，化简推算可以分别求出NO2.求出平面的法向量，利用即可求出的值.130.已知函数，若对于任意实数，都有成立，则的最小值为，对吗？对！翻译后即：函数在处取得最大值，即，从而，所以，即，故正确.140.设是定义在上的偶函数，若且，则，对吗？不对，和函
21、数的单调性有关，比如：中有141.二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，对吗？对，二项式系数之和为，所以答案是 142.二项式的展开式中，所有项系数之和为，对吗？对，所有项系数之和只需要令，所以答案是143.现有3本完全相同的数学书和5本不一样的小说书籍，从这8本书中抽出3本，则抽到的是1本数学2本小说抽法有30种，对吗？不对，3本完全相同的书中抽取1本只有一种抽法，所以答案为144.设正整数满足：，则，对吗？对，组合公式的性质：145.设函数满足：若对，且，都有，则是增函数，对吗？ 对，这是结论，证明如下：设，则有，引入，即当时，有，故为增函数。同理时可得一致结论总结提点：1.这类双变
22、量的问题，可以尝试两个变量“各自占山为王” 2.题目中不等号改为，则结论为减函数.146.设点是圆上的一个动点，则点的坐标可以写成： ，对吗？ 对，根据单位圆变换而来。即结论：圆上一点可以设为：147.对于任意一个等差数列，都有成立，对吗？不对，等差性质的运用要保证等式左右项数一致才可以，如是正确的148.过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，设，为坐标原点，则的面积可以表示为，对吗？不对，注意计算面积时用的是长度，不能直接用纵坐标，正确结果为149.斜率存在的直线与椭圆交于两点，则的长度可以用计算，且该公式在抛物线、圆、双曲线中均可以使用，对吗？对，弦长公式是根据两点距离公式所得，与跟哪个轨迹相交无关.150.此时此刻，你相信自己高考一定可以考出自己满意的成绩，对吗？对！必须对！学科网（北京）股份有限公司