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1、中考数学复习挑战压轴题之菱形存在性问题【方法解读】A,B为定点,C为直线l上一点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点的四边形为菱形作图找点:情况一:AB为边时,如图,以点B为圆心,AB长为半径画B交l于点C,再分别过点A,C作BC,AB的平行线确定点D;如图,以点A为圆心,AB长为半径画A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线确定点D;情况二:AB为对角线时,如图,作AB的垂直平分线交l于点C,再画O确定点D求解方法:(1)定线段是边时,常先设点,再根据边相等列方程求解;(2)定线段为对角线时,一般先求出中心点坐标,再利用对角线互相垂直确定另一对角线所在直线解析式,然后根据动点的
2、运动轨迹,联立解析式求解方法突破练1在如图的方格中,有格点A,B,确定两组格点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,请通过作图找出符合要求的点C,D2如图,在平面直角坐标系中,点A(4,0),B(0,3),点M为x轴上一动点,点N为平面内一动点,若以A,B,M,N为顶点的四边形是菱形,请求出所有符合条件的点N的坐标3如图,抛物线yx22x6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点CD为点C下方y轴上一点,P为直线BC上一点,在第四象限的抛物线上是否存在一点Q,使得以C,D,PQ为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由设问提升练1如图,抛物线y
3、ax2bx4(a0)交x轴于B(6,0),C(1,0)两点,交y轴于点A(1)求抛物线的解析式【思维点拨】将点B,C的坐标代入yax2bx4中,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)若点D为y轴上一点,K为平面直角坐标系内任意一点,当以B,C,D,K为顶点的四边形是以BC为边的菱形时,求点D的坐标;【思维点拨】由点B、C的坐标求出BC的值,利用BCCD列方程求解即可;(3)若点H是平面内任意一点,在抛物线上是否存在一点P,使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;【思维点拨】要求点P的坐标,根据菱形对角线互相垂直平分,知PHOB,且平分OB,
4、故可确定点P的横坐标,代入抛物线解析式即可;(4)若点M为抛物线对称轴上一动点,在平面内是否存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由;【思维点拨】设出点M的坐标,要使以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,需分两种情况讨论:以AB为对角线;以AB为边:aAMAB,bBMAB;(5)连接AB,交抛物线对称轴于点F,点G为x轴上一动点,在平面内是否存在点Q,使得以A,F,G,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由【思维点拨】设出点G的坐标,要使以A,F,G,Q为顶点的四边形是菱形,需分两种情况讨论:以AF为对角线;
5、以AF为边:aAGAF,bFGAF设出点M的坐标,再利用线段等量关系列方程即可求解综合强化练1如图,抛物线yax2bx6(a0)与x轴交于A,B(3,0)两点,与y轴交于点C,顶点为D,且点D的横坐标为1(1)求抛物线的解析式;(2)若在线段BC上存在一点M,使得BMO45,求点M的坐标;(3)点P是y轴上一动点,点Q是对称轴上一动点,是否存在点P,Q,使得以点P,Q,C,D为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由2如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A,B两点(点B在点A右侧),AB4,与y轴交于点C,直线yx2与x轴交于点B,与y
6、轴交于点C(1)求抛物线的解析式;(2)如图,点P为BC上方抛物线上一点,过点P作PEx轴交直线BC于点E,作PF/y轴交直线BC于点F,求PEF周长的最大值;(3)在(2)的条件下,若点S是x轴上的动点,点Q为平面内一点,是否存在点S,Q,使得以S,Q,E,F为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由3如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2bx(a0)与x轴交于点A(1,0),B,与y轴交于点C,点C关于对称轴对称的点为M(2,m)(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为AM上方抛物线上一动点求出当APM面积最大时,点P的坐标;在的条件下,过点P作PEx轴于点E,若点Q是直线AM上一点,点S是平面直角坐标系中一点,是否存在这样的点Q和点S,使以点Q,A,E,S为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由学科网(北京)股份有限公司