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1、 第6讲 函数的值域及表示一、知识要点知识点一：值域的概念所有有意义的自变量对应的函数值组成的集合知识点二：求值域的方法（1）观察法（或直接法）：根据最基本函数值域（如，）及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到一些简单的复合函数的值域.（2）图像法（或数形结合法）：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.（3）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域.（4）换元法：对于形如的值域，可通过换元将原函数转化为二次型函数.（5）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化而便于分析.（6）判别式法：把函数解
2、析式化为关于的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域.一般地，形如或的函数值域问题可运用判别式法。（7）平方法：一般用于含两个根式的函数注意：求值域一定要遵循定义域优先的原则值域的结果必须写成区间或集合的形式知识点三: 函数的表示方法1表示函数的常用方法有解析法、列表法、图象法解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式列表法：就是列出表格来表示两个变量的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系2求解析式的方法： 拼凑法、换元法、待定系数法、方程组法、赋值法 二、 经典例题题型一：值域1. 直接法（观察法）【例1】已知函数，则函数
3、值域是（）A B C D【解答】解： 已知函数，则函数值域是故选C【变式】下列函数中值域是的是（）A. B C D【解答】解：A、函数y=2x+1在（0，+）上是增函数，函数的值域为（1，+），故错；B、函数y=x20，函数的值域为0，+），故错；C、函数的值域为y|y0，故错；D、函数的定义域为（1，+），根据复合函数的单调性知：函数在（1，+）上单调递减，故函数的值域为（0，+）故选D2. 配方法 【例2】函数的值域是（）A B C D【解答】解：y=；原函数的值域为故选：B【变式】已知函数的定义域为，函数的值域为，全集为，则实数的取值范围是 【解答】解：由题可知： ，得 则且由 即，故答
4、案为：3. 换元法 【例3】函数的值域为（）A B C D【解答】解；设，则，轴，可判断在上单调递减，当 时， ，故选：B【变式1】求函数的最大值【解答】解：设，则f（t）=，（t0），f（t）max=【变式2】求函数的值域【解答】解：设t=x2，y=x4+4x2+1y=t2+4t+1，t0可知函数y=t2+4t+1，在区间（0，+）为增函数当t=0时，y=1,即y=t2+4t+1，t0的值域为（1，+）所以函数y=x4+4x2+1的值域为（1，+）4.分离常数法 【例4】求函数的值域【解答】解：=，（x1）2+22，所以函数的值域为【变式1】函数的值域是 （）A BC D【解答】解：y=1，
5、画出函数y=1的图象，如图示：，x3，y，函数的值域是（，）（，1）（1，+），故选：D 5.判别式法 【例5】 求函数的值域.解：，所以函数的定义域为，原函数可以化为，整理得： 当时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的 范围应该满足即此时方程有实数根即，. 当时，方程化为，显然不能成立，所以当. 将分别代入检验得不符合方程，所以.题型二：解析式1、拼凑法【例 6】已知，求的解析式.【变式】 若，则=（） 【解答】解：=故选：A2、换元法【例7】已知，则的解析式可取（）A B C D【解答】解：令，则，故选A【变式】如果，则当且时，=（）A B C D【解答】解：令，则 ， 化简得：即故选B
6、3、 待定系数法【例8】已知函数是一次函数，且满足，求的解析式.【解答】解：设，则4、 方程组法【例9】已知满足，求.解：【变式】已知，则的解析式是（ ）A BC D5、赋值法 【变式】设是定义在实数集上的函数，满足，且任意实数都满足，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 课后作业1、函数的值域为（）AR B C D【解答】解：故函数的值域为故选D2、函数的值域是（ ）A B C D3、求函数的值域【解答】解：设，（其中）；，又，；的值域是4、求函数的值域.5、求函数的值域【解析】6、 已知，求函数的解析式.7、已知，则的解析式为（）A B C D【解答】解：设，则，所以，即，所以f（x+1）=（x+11）2+3=x2+3，由，得，所以故选B8、函数在闭区间上有最大值5，最小值2，则，的值为()A BC D以上答案均不正确答案B解析对称轴x1，当a0时在2,3上递增，则解得当a0时，在2,3上递减，则解得故选B.9、设函数满足，且，则的解析式是（ ）A B C D 9学科网（北京）股份有限公司