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1、专题7 复数知识结构知识清单1.复数的概念复数：形式如的数叫复数，其中叫虚数单位，.叫复数的实部，叫复数的虚部.复数的分类复数，复数的几何意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 复数的模：向量的模叫复数的模或绝对值，即.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示，.2.复数的四则运算（1）复数的加、减运算及其几何意义复数加减法：；复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行：分别对应复数，即，则对应复数.（2）复数的乘、除运算复数的乘法：；复数的除法.（3）常见的运算规律； .3.复数的三角表示及相
2、关概念（1）辅角的定义：设复数的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数Z的辅角.（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作argz.【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的.（3）将复数化为三角形式时，要注意以下两点：r=a2+b2，其中终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，当a=0，b0时，.（4）每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定.因此，两
3、个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等.（5）复数乘法运算的三角表示：已知， 则这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和. 考点探究题型一 复数的概念【方法储备】复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解【典例精讲】例1.已知是虚数单位，则的虚部为（）A1BiCD【答案】C解：因为，所以的虚部为，故选：C.【变式训练】练1-1.设复数（i是虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（）ABCD【答案】A解：因为，故，因此，复数的虚部为.
4、故选：A.练1-2在复平面内，复数对应的点分别是，则复数的虚部为（）A2BCD【答案】A解：由题可知，则，所以复数的虚部为2故选：A.练1-3已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为_.【答案】解：因为，所以，则，所以复数的虚部为.故答案为：.【典例精讲】例2.若复数满足，则（）ABCD5【答案】B解：因为，所以.所以.故选：B.【变式训练】练2-1设复数满足（i为虚数单位），则（ ）A1B2CD3【答案】B解：由题意可得：，则，故故选：B练2-2.已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则（）A0BC2D5【答案】D解：由题意，在中，为纯虚数，故选：D练2-3. 复数满足，则的范围是（）ABC
5、D【答案】D【解析】设，则，由题意可得：，解得，则.故选：D.【典例精讲】例3.已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则复数在复平面上对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】D解：因为复数为纯虚数，由，可知，所以，则，所以复数在复平面上对应的点为，位于第四象限.故选：D.【变式训练】练3-1.若复数满足，则复数在复平面所对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B解：因为，所以，所以复数在复平面所对应的点为位于第二象限.故选：B.练3-2.在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】A解： 在复平面内对应的点在第三
6、象限, 即 . 实数 的取值范围是 .故选：A.练3-3设复数满足在复平面内对应的点为，则（ ）A. B. C. D.【答案】C解：方法一：设，则，则， ，故选C.方法二： ，在复平面内对应点，对应向量，复数对应点，对应向量，则即为，又，故， ，故选C.练3-4（多选）设为复数，则下列说法正确的是（）A若，则的实部和虚部分别为和B设为的共轭复数，则CD若，则在复平面内对应的点位于第一象限或第四象限【答案】AB解：由复数的概念可知，复数的实部为，虚部为，所以A正确，和可知，所以B正确，对于C，是一个实数，而不一定为实数，所以C错误，当取偶数时，为实数，在复平面对应的点在实轴上，所以D错误故选：A
7、B.题型二 复数的加减法运算及几何意义【方法储备】复数的加减法运算的几何意义的应用：形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算处理；数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释.【典例精讲】例4如图，设向量，所对应的复数为，那么（ ）A B C D【答案】D解：由题图可知， z1z2z30，故选：D【变式训练】练4-1.已知为虚数单位，计算下列各式(1)；(2)；【答案】解：（1）；（2）；练4-2已知复数z满足，则的最小值为（）A1B2CD【答案】B解：设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为轴，
8、又表示点到点的距离，所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，所以的最小值为2，故选：B.题型三 复数的乘除法运算及其应用【方法储备】求解复数的乘除法运算时，先根据复数的乘除法运算方法化简复数式，然后根据复数的相关概念及其几何意义，按照题目要求求解.【典例精讲】例5.复数，其中为虚数单位（1）求及；（2）若，求实数，的值【答案】（1），；（2）解：（1） ， （2）由（1）可知，由，得：，即，解得【变式训练】练5-1.计算（1）；（2）；【答案】（1）；（2）解：（1）原式.（2）原式.练5-2.已知复数，且，则（）ABC，D，【答案】A解： ， ， 解得.故选：A.题型四 复数的代数式与三
9、角形式的互化【方法储备】1.复数的代数形式转化为三角形式的步骤：求出模；确定辐角的主值；写出其三角形式.2.将复数的三角形式化为代数形式，只需将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.【典例精讲】例6.复数的三角形式是（ ）A. BC D【答案】C解：故选：C.【变式训练】练6-1.复数10表示成代数形式为_【答案】解：1010练6-2.以下不满足复数的三角形式的是（ ）A； B；C； D【答案】C解：对于A：，符合；对于B：，符合；对于C：，不符合；对于D：，符合故选：C.练6-3.下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式（1）；（2）；【答案】（1）是三角形式；（2）不是三角形式，解
10、：（1）符合三角形式的结构特征，是三角形式（2）由“加号连”知，不是三角形式，模，.复数对应的点在第三象限，所以取，所以；题型五 辐角主值【典例精讲】例7.的辐角主值为（ ）A B C D【答案】C解：对于A，若辐角主值为，则，不可能为，故A错误；对于B，若辐角主值为，则，不可能为，故B错误；对于C，若辐角主值为，则，当时，故C正确；对于D，由于辐角主值的范围为，不可能为，故D错误.故选：C.【变式训练】练7-1复数的辐角主值是（ ）A B C D【答案】D解：复数，所以复数的辐角主值是故选：D练7-2.设，则（ ）A B C D【答案】B解：，复数对应的点是，位于第三象限，且，所以.故选：B练7-3.设，则复数的辐角主值为（ ）A B C D【答案】B解：，因为，所以，所以，所以该复数的辐角主值为故选B.共12页/第11页学科网（北京）股份有限公司