2020年高中数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版.pdf

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1、2020年 高 中 数 学 课 时 跟 踪 检 测 含 解 析 新 人 教 A 版 课 时 跟 踪 检 测 一 变 化 率 问 题 导 数 的 概 念 课 时 跟 踪 检 测 二 导 数 的 几 何 意 义 课 时 跟 踪 检 测 三 几 个 常 用 函 数 的 导 数 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则 课 时 跟 踪 检 测 四 复 合 函 数 求 导 及 应 用 课 时 跟 踪 检 测 五 函 数 的 单 调 性 与 导 数 课 时 跟 踪 检 测 六 函 数 的 极 值 与 导 数 课 时 跟 踪 检 测 七 函 数 的 最 大 小 值 与 导

2、数 课 时 跟 踪 检 测 八 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 课 时 跟 踪 检 测 九 定 积 分 的 概 念 课 时 跟 踪 检 测 十 微 积 分 基 本 定 理 课 时 跟 踪 检 测 十 一 课 时 跟 踪 检 测 十 二 课 时 跟 踪 检 测 十 三 课 时 跟 踪 检 测 十 四 课 时 跟 踪 检 测 十 五 课 时 跟 踪 检 测 十 六 定 积 分 的 简 单 应 用 合 情 推 理 演 绎 推 理 综 合 法 和 分 析 法 反 证 法 数 学 归 纳 法 课 时 跟 踪 检 测 十 七 数 系 的 扩 充 和 复 数 的 概 念课 时 跟 踪 检 测 十 八

3、 复 数 的 几 何 意 义 课 时 跟 踪 检 测 十 九 复 数 代 数 形 式 的 加 减 运 算 及 其 几 何 意 义 课 时 跟 踪 检 测 二 十 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 课 时 跟 踪 检 测(一)变 化 率 问 题、导 数 的 概 念 一、题 组 对 点 训 练 对 点 练 一 函 数 的 平 均 变 化 率 1.如 果 函 数/=田+6 在 区 间 1,2 上 的 平 均 变 化 率 为 3,则 a=()A.3 B.2 C.3 D.2解 析：选 C 根 据 平 均 变 化 率 的 定 义，可 知?=(2a+?(a+2=4=3.x 2 12.若 函 数/(

4、x)=-f+1 0 的 图 象 上 一 点 仔，斗 及 邻 近 一 点 仔+A x,牛+,则 仁)A.3C.-3(X)2B.3D.一 x-3(A,3 A x.解 析：选 D.y 3 A A 4，工=一 3.求 函 数 尸 F(x)=；在 区 间 1,1+Ax内 的 平 均 变 化 率.解：V A y=A 1+A x)-Al)=;-1q i+xl-d l+A x 1(1+Ax)1+A x(1 1+xyjl+x x一(1+W+A x)y J l+A x.y _ _ _ 丁(1+7 1+A x R l+A x 对 点 练 二 求 瞬 时 速 度 4.某 物 体 的 运 动 路 程 s(单 位:m)与

5、 时 间 t(单 位：s)的 关 系 可 用 函 数 s(t)=N 2 表 示,则 此 物 体 在 f=l S时 的 瞬 时 速 度(单 位：1 人)为()A.1 B.3 C.1 D.0答 案：B5.求 第 4 题 中 的 物 体 在 而 时 的 瞬 时 速 度.解：物 体 在 时 的 平 均 速 度 为=1+?尻 咐(一+A。3 2(4一 2)39A t+3 奴。2+(、H t t=3 4+3 to A t+(A t)因 为 lim 3t+3toA t+(A)2=3原 故 此 物 体 在 f=友 时 的 瞬 时 速 度 为 3 4 m/s.A f-06.若 第 4 题 中 的 物 体 在 友

6、 时 刻 的 瞬 时 速 度 为 27 m/s,求 的 值.M 一 网 友+A t)-(6)+A 一 2一(4 2)解：由“=-y-=-七-3 f+3 to(1)“+(f)3 c 2 1c A、/、2=-7 _-_ 乙=3 4+3 10 f+(A t)t因 为 lim 3 io4-3to f+(Z)=3 4.A f-0所 以 由 3 4=2 7,解 得 to=3,因 为 toO,故 fo3 所 以 物 体 在 3 s 时 的 瞬 时 速 度 为 27 m/s.对 点 练 三 利 用 定 义 求 函 数 在 某 一 点 处 的 导 数 7.设 函 数 f(x)可 导，则 眄“1+黑 力/等 于(

7、)A L Q 3 AxA.f(1)B.3(1)c.(i)i).f(3)J例 希 啡 A i.染+3)-1)解 析：选 A lim-五 二(D.8.设 函 数 f(x)=a x+3,若 F(1)=3,则 a 等 于()A.2 B.2 C.3 D.3解 析：选 C-：f=1 坷“l+；x)-.l)A L O x=lAi xm-0&1+x)+3(d+3)b x,=a,a=3.9.求 函 数 f(x)在 x=l处 的 导 数/(1).解：由 导 数 的 定 义 知，函 数 在 X=1 处 的 导 数 F(l)=lim 二 一 而41+4 才)一/(1)1、x.Xx-，1+Ax+1又 题 目 不 4,所

8、 以 产 高 二、综 合 过 关 训 练 1.若 在 户 施 处 存 在 导 数 则 四）A.与 施，/;都 有 关 B.仅 与 选 有 关，而 与 人 无 关 C.仅 与 力 有 关，而 与 加 无 关 D.以 上 答 案 都 不 对 解 析：选 B 由 导 数 的 定 义 知，函 数 在 x=刖 处 的 导 数 只 与 加 有 关.2.函 数 y=/在 施 到 施+A x 之 间 的 平 均 变 化 率 为 k,在 刘 一 A x 到 刘 之 间 的 平 均 变 化 率 为 左，则 尢 与 人 的 大 小 关 系 为（）A.kiyk2 B.&攵 2C.k尸 k2 D.不 确 定 而*K,*

9、n:Xo+Ax)-x。)(Xo+Axf-国 牟 析：选 D ki-2施+笛 x xfXo fXQ x)/一(xo-A xK2=-7-=-7-=2 照 一 b x 因 为 A x 可 正 也 可 负，所 以 人 与 儿 的 大 小 关 系 不 确 定.3.4 6 两 机 关 开 展 节 能 活 动，活 动 开 始 后 两 机 关 的 用 电 量 用（力，wt w、似 与 时 间 寅 天）的 关 系 如 图 所 示，则 一 定 有（）A.两 机 关 节 能 效 果 一 样 好 B.4 机 关 比 6 机 关 节 能 效 果 好 F 建 C.4 机 关 的 用 电 量 在 0,如 上 的 平 均 变

10、 化 率 比 8 机 关 的 用 电 量 在 0,端 上 的 平 均 变 化 率 大 D.1 机 关 与 8 机 关 自 节 能 以 来 用 电 量 总 是 一 样 大 解 析：选 B 由 题 图 可 知，/机 关 所 对 应 的 图 象 比 较 陡 峭，8 机 关 所 对 应 的 图 象 比 较 平 缓，且 用 电 量 在 0,加 上 的 平 均 变 化 率 都 小 于 0,故 一 定 有/机 关 比 6 机 关 节 能 效 果 好.4.一 个 物 体 的 运 动 方 程 为 s=l 其 中$的 单 位 是：m,t的 单 位 是：s,那 么 物 体 在 3 s 末 的 瞬 时 速 度 是（）

11、A.7 m/s B.6 m/sC.5 m/s D.8 m/s解 析：选 C./r 3+A f)+”r L 3+3”5+AA s/.lim(5+A t)=5(m/s).A L O A Z A L O5.如 图 是 函 数 y=f(x)的 图 象，则(1)函 数/(x)在 区 间-1,1 上 的 平 均 变 化 率 为 一(2)函 数 f(x)在 区 间 0,2 上 的 平 均 变 化 率 为.解 析：(1)函 数 F(x)在 区 间-1,1 上 的 平 均 变 化 率 为 二 1-(1)Z Zfx+3 _ 1,一 IWxWl,(2)由 函 数/Xx)的 图 象 知，f(x)=J 2、x+l,l

12、xW3.所 以，函 数 Ax)在 区 间 0,2 上 的 平 均 变 化 率 为“2厂 10)=二=1Z 0 z 41 3答 案：(1)2；6.函 数 y=一 十 在 点 x=4 处 的 导 数 是.解 析：./=一 亚 廿 十 东 1 1，4+Ax-22.4+A x 2寸 4+x_ Ax_-2.4+A 7 4+x+2).Ay 广 _ I _ 尸 274+A/4+4x+2),.,.iI A x I 2y4+A X V 4+A x+2)_1_1_-2X4X(4+2)-16“I y*4-jg.答 案：167.一 做 直 线 运 动 的 物 体，其 位 移 s 与 时 间 t的 关 系 是 s=3一

13、 次 位 移：叱 时 间：s).(1)求 此 物 体 的 初 速 度；(2)求 此 物 体 在 t=2时 的 瞬 时 速 度;(3)求 力=0 到 t=2时 平 均 速 度.解：初 速 度 的=!匹 A?L)=!再=!囱(3一 a=3(m/s).即 物 体 的 初 速 度 为 3 m/s.片 1 期 2+t)s(2)3(2+)(2+方(30)上 的 平 均 变 化 率 不 大 于-1,求 了 的 范 围.解：因 为 函 数 f(x)在 2,2+Ax 上 的 平 均 变 化 率 为:Ay/(2+Ax)2)一(2+A 冷 2+(2+X)(-4+2)4 A x-A x(A x)1=3 A x,A x

14、所 以 由 一 3 一 AxW-l,得 x 2 一 2.又 因 为 Ax0,即 的 取 值 范 围 是(0,+8).课 时 跟 踪 检 测（二）导 数 的 几 何 意 义 一、题 组 对 点 训 练 对 点 练 一 求 曲 线 的 切 线 方 程 1.曲 线 y=f+l l 在 点(1,12)处 的 切 线 与 y 轴 交 点 的 纵 坐 标 是()A.-9 B.-3 C.9 D.15解 析：选 C:切 线 的 斜 率 k=lim/=1 im(1+可+1 1-1 2A L O X A.r-o A X,1+3 Ax+3(A)2+(A X)3-1=1 出-Ax=lim3+3(x)+(x)1=3,A

15、x O.切 线 的 方 程 为 y12=3(x1).令 x=O 得 y=12-3=9.2.求 曲 线 在 点 g,2)的 切 线 方 程.1 1 V x+&x x 1 1解：因 为 y=lim=lim-;-=lim-T T-7=2,AL O X&L O X&，L(x+x x X所 以 曲 线 在 点（；，2）的 切 线 斜 率 为“=/|x=g=-4.故 所 求 切 线 方 程 为 y2=41 一 习，即 4x+y-4=0.对 点 练 二 求 切 点 坐 标 3.若 曲 线 y=/+a x+6 在 点（0,处 的 切 线 方 程 是*/+1=0,则（）A.a=l,b=l B.a=1,b=1C.

16、a=l,b=l D.a=1,Z?=1解 析:选 A 催 点（0,8）在 直 线 xy+l=O 上,：.b=l.（x+A x）2+a（x+A x）+l x axl又/=1 期-=2x+a,.过 点（0,的 切 线 的 斜 率 为 V|i=a=L4.已 知 曲 线 尸 29+4x在 点 处 的 切 线 斜 率 为 16,则 点 夕 坐 标 为 解 析：设 析（凡 2篇+4 a）.则/（xo）lim施+x）一 4 用）2（工）+4刘 x+4 A x=4 岗+4,又,：f(新)=16,，4场+4=16,.旅=3,；.P(3,30).答 案：(3,30)5.曲 线 尸 的 切 线 分 别 满 足 下 列

17、 条 件，求 出 切 点 的 坐 标.(1)平 行 于 直 线 y=4x5；(2)垂 直 于 直 线 2x-6y+5=0；(3)切 线 的 倾 斜 角 为 135.设 尸(加 加 是 满 足 条 件 的 点.(1)：切 线 与 直 线 y=4x5 平 行，；.2刘=4,.xo=2,%=4,即 户(2,4),显 然 尸 4)不 在 直 线 尸 4x5 上，.符 合 题 意.3 9,3 9、(2)：切 线 与 直 线 2x6 y+5=0垂 直，.北 施=T,.5=一 1,%即(一,才.(3)：切 线 的 倾 斜 角 为 135,.其 斜 率 为-1,即 2x0=1,；.园=一%=；,即 2,4/对

18、 点 练 三 导 数 几 何 意 义 的 应 用 6.下 面 说 法 正 确 的 是()A.若 f(扬)不 存 在，则 曲 线 y=f(x)点(即/(加)处 没 有 切 线 B.若 曲 线 y=f(x)在 点(施，丹 曲)处 有 切 线，则 f(施)必 存 在 C.若 f(8)不 存 在，则 曲 线 尸 f(x)在 点(灰，f(x。)处 的 切 线 斜 率 不 存 在 D.若 曲 线 y=F(x)在 点(粉/(刘)处 没 有 切 线，则，(扬)有 可 能 存 在 解 析：选 C 根 据 导 数 的 几 何 意 义 及 切 线 的 定 义 知 曲 线 在(施，处 有 导 数，则 切 线 一 定

19、存 在，但 反 之 不 一 定 成 立，故 A,B,D 错 误.7.设 曲 线 尸/(X)在 某 点 处 的 导 数 值 为 0,则 过 曲 线 上 该 点 的 切 线()A.垂 直 于 x 轴 B.垂 直 于 y 轴 C.既 不 垂 直 于 x 轴 也 不 垂 直 于 y 轴 I).方 向 不 能 确 定 解 析：选 B 由 导 数 的 几 何 意 义 知 曲 线 f(x)在 此 点 处 的 切 线 的 斜 率 为 0,故 切 线 与 y 轴 垂 直.8.如 图 所 示，单 位 圆 中 弧 的 长 为 8/Xx)表 示 弧 A?与 弦 4?所/一、围 成 的 弓 形 面 积 的 2 倍，则

20、函 数 y=f(x)的 图 象 是()I(1 A Bx解 析：选 D 不 妨 设 力 固 定，8 从 1 点 出 发 绕 圆 周 旋 转 一 周，刚 开 始 时 x 很 小，即 弧 18长 度 很 小,这 时 给 x 一 个 改 变 量 Ax,那 么 弦 46与 弧 48所 围 成 的 弓 形 面 积 的 改 变 量 非 常 小，即 弓 形 面 积 的 变 化 较 慢；当 弦 接 近 于 圆 的 直 径 时，同 样 给 x 一 个 改 变 量 A x,那 么 弧 与 弦 48所 围 成 的 弓 形 面 积 的 改 变 量 将 较 大，即 弓 形 面 积 的 变 化 较 快；从 直 径 的 位

21、置 开 始,随 着 8 点 的 继 续 旋 转，弓 形 面 积 的 变 化 又 由 变 化 较 快 变 为 越 来 越 慢.由 上 可 知 函 数 尸 M*)图 象 的 上 升 趋 势 应 该 是 首 先 比 较 平 缓，然 后 变 得 比 较 陡 峭，最 后 又 变 得 比 较 平 缓，对 比 各 选 项 知 D 正 确.9.已 知 函 数 y=f(x)的 图 象 如 图 所 示，则 函 数 y=/(x)的 图 象 可 能 是(填 序 号).解 析：由 y=f(x)的 图 象 及 导 数 的 几 何 意 义 可 知，当 水 0 时 f(x)0,当 x=0 时，f(x)=0,当 xo时，f a

22、 x o,故 符 合.答 案：二、综 合 过 关 训 练 1.函 数 F(x)的 图 象 如 图 所 示，则 下 列 结 论 正 确 的 是(A.0f(a)r(a+l)/(a+l)-/(a)B.0f(a+l)f(a+l)-f(a)f(a)C.0r(a+l)/(a X A a+D-A a)D.0Aa+l)-Aa)r(a)F(a+l)0,而 f(a+l)-F(a)=/(a+1)a)(a+1)-a表 示(a,f(a)与(a+1,f(a+l)两 点 连 线 的 斜 率，且 在 f(a)与(a+1)之 间./.0r(a+l)Aa+l)-(a).2.曲 线 在 点 P(2,1)处 的 切 线 的 倾 斜

23、角 为()X 1；A X V-1角 窣 析：选 D 尸;)、-7 7=;.1=.,s lim.=2+A x 1 21 1+A x 1+y。A x。1+A xL 斜 率 为 一 1,倾 斜 角 为 牛.3.曲 线 尸 f 2 x+i在 点(i,o)处 的 切 线 方 程 为()A.y=x B.y=x+lC.y=2 x 2 D.y=2x+2解 析：选 A 由 A y=(l+A%)3-2(1+A)+1-(1-2+1)=(A X)3+3(A%)2+Ar得 lim?=l i m(x/+B x+1=1,所 以 在 点(1,0)处 的 切 线 的 斜 率 A=1,切 线 过 点(1,0),Ax O X A

24、A-0根 据 直 线 的 点 斜 式 可 得 切 线 方 程 为 y=x-i.4.设 代 为 曲 线/(x)=+x 2 上 的 点，且 曲 线 在 耳 处 的 切 线 平 行 于 直 线 y=4 x 1,则 片 点 的 坐 标 为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(一 1,4)D.(2,8)或(一 1,4).(x+x)+(x+x)2(f+x 2)解 析：选 C f U=lim-d-A/-0 x=l i m(3+1)立+(式=3召+1.由 于 曲 线/(入)=系+矛 2 在 H处 的 切 线 平 行 Ax-0 A X于 直 线 y=4 x-l,所 以 f(x)在&处 的 导 数 值

25、 等 于 4.设 R(刘，则 有/(.)=3/+1=4,解 得 施=1,耳 的 坐 标 为(1,0)或(-1,4).5.已 知 二 次 函 数 y=F(x)的 图 象 如 图 所 示，则 y=f(x)在 4、8两 点 处 的 导 数 f(a)与 f 的 大 小 关 系 为：f(a)_ f(填“”或 解 析：f(a)与 f(6)分 别 表 示 函 数 图 象 在 点/、6 处 的 切 线 斜 率，故/(a)F(6).答 案：6.过 点 P(1,2)且 与 曲 线 y=3 f 4 x+2 在 点 水 1,1)处 的 切 线 平 行 的 直 线 方 程 为 解 析：曲 线 y=3 f 4 x+2 在

26、 点 水 1,1)处 的 切 线 斜 率 k y=lim3(1+4*)2 4(1+A x)+2 3+4 2&x腐(3 A x+2)=2.所 以 过 点 P(1,2)的 直 线 的 斜率 为 2.由 点 斜 式 得 y-2=2(x+l),即 2%-y+4=0.所 以 所 求 直 线 方 程 为 2x-y+4=0.答 案：2x 什 4=07.甲、乙 二 人 跑 步 的 路 程 与 时 间 关 系 以 及 百 米 赛 跑 路 程 和 时 间 关 系 分 别 如 图，试(1)甲、乙 二 人 哪 一 个 跑 得 快？(2)甲、乙 二 人 百 米 赛 跑，问 快 到 终 点 时，谁 跑 得 较 快？解：(

27、1)图 中 乙 的 切 线 斜 率 比 甲 的 切 线 斜 率 大，故 乙 跑 得 快；(2)图 中 在 快 到 终 点 时 乙 的 瞬 时 速 度 大，故 快 到 终 点 时，乙 跑 得 快.8.“菊 花”烟 花 是 最 壮 观 的 烟 花 之 一，制 造 时 通 常 期 望 它 在 达 到 p最 高 时 爆 裂.如 果 烟 花 距 地 面 的 高 度 Mm)与 时 间 Ms)之 间 的 关 系 式 为 不 从 Z)=-4.91+14.7 L 其 示 意 图 如 图 所 示.根 据 图 象，结 合 导 数 的 几 何 V意 义 解 释 烟 花 升 空 后 的 运 动 状 况.M 六 解：如

28、图，结 合 导 数 的 几 何 意 义，我 们 可 以 看 出：在 r-1.5 s附 近 曲 线 比 较 平 坦，也 就 是 说 此 时 烟 花 的 瞬 时 速 度 几 乎 为 0,达 到 最 h A高 点 并 爆 裂；在 0-L 5 s 之 间，曲 线 在 任 何 点 的 切 线 斜 率 大 于 0 且 切 W线 的 倾 斜 程 度 越 来 越 小，也 就 是 说 烟 花 在 达 到 最 高 点 前，以 越 来 越 小/的 速 度 升 空；在 L5 s 后，曲 线 在 任 何 点 的 切 线 斜 率 小 于 0 且 切 线 的 倾 斜 程 度 越 来 越 大，即 烟 花 达 到 最 高 点

29、后，以 越 来 越 大 的 速 度 下 降，直 到 落 地.课 时 跟 踪 检 测(三)几 个 常 用 函 数 的 导 数、基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 及 导 数 的 运 算 法 则 一、题 组 对 点 训 练 对 点 练 一 利 用 导 数 公 式 求 函 数 的 导 数 1.给 出 下 列 结 论:其 中 正 确 的 个 数 是()A.0 B.1 C.2 D.3解 析：选 B 因 为(cos x)=sin x,所 以 错 误.sin=而=，所 以 错 误.冏,=0一 歹 二 手=子，所 以 错 误.(一 划,1 3 1谟 所 以 正 确.2.已 知/(x)=x(aGQ*),

30、若 f(1)=(,则。等 于()1-8a1A.3-1B.2-1D.4-解 析：选 D(才)=。才”，/、1(1)=。=对 点 练 二 利 用 导 数 的 运 算 法 则 求 导 数 3.函 数 夕=5：111 X9 cos X 的 导 数 是()A.yf=cos-sin%B.y=cosx-sir?xC.y=2cos x,sin x D.y=cos x,sin x解 析：选 B y=(sin x cos x)=cos x cos x+sin x(sin x)=cos2sin2%.4.函 数 尸 工 的 导 数 为 x+3解 析:y_(六),(x+3)_.(x+3)，_ 2A(x+3)f _ 殳+

31、6 x一(x+3)2=(x+3-=(x+3 广 行 3 攵+6 x口 案：(x+3 f5.已 知 函 数 f(x)=a xln x,(0,+),其 中 a 为 实 数，F(x)为 F(x)的 导 函 数.若 f(1)=3,则 a 的 值 为 _.解 析：ff(x)=a(ln x+x 0=a(l+ln x),由 于 f(1)=a(l+ln 1)=a,又(1)=3,所 以 a=3.答 案：36.求 下 列 函 数 的 导 数.不(l)y=s in x-2 x；(2)y=cos x In x；(3)y=7-.sm x解：(l)y=(sin x 2 x)1=(sin x)(2/)r=c o s x4x

32、.(2)yl=(cos x In x)=(cos x)f In x+co s x(In x)=sin x In x+cos xx _(Q _(e)sin x-e(sin _ e sin x-e*cos x _3，(sin x)sin、sir?xe”(sin x-c o s 力 2 sin x对 点 练 三 利 用 导 数 公 式 研 究 曲 线 的 切 线 问 题 7.(2019 全 国 卷 I)曲 线 尸 3(f+必/在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为.解 析：y=3(2 x+l)e*+3(f+x)e*=e*(3 f+9 x+3),.切 线 斜 率 X=eX 3=3,.切 线 方 程

33、 为 y=3x.答 案：y=3 x8.若 曲 线 f(x)=x 5简*+1在 犬=+处 的 切 线 与 直 线 a x+2 y+l=0互 相 垂 直，则 实 数 a.解 析：因 为 尸(x)=s in x+xcos x,所 以 F(司=s i n 万 十 万 c o s 5=1.又 直 线 ax+2 y+l=0 的 斜 率 为 一/所 以 根 据 题 意 得 1X(*=-1,解 得 a=2.答 案：29.已 知 a G R,设 函 数 F(x)=a x In x 的 图 象 在 点(1,F(D)处 的 切 线 为/,则/在 y轴 上 的 截 距 为解 析：因 为/(x)=a-：，所 以 f(D

34、=a 1,又/(l)=a,所 以 切 线/的 方 程 为 ya=(a1)(x1),令 x=0,得 p=L答 案：110.在 平 面 直 角 坐 标 系 才 分 中，点 P 在 曲 线 G y=7-10%+13,且 在 第 一 象 限 内，已 知 曲 线 C在 点 处 的 切 线 的 斜 率 为 2,求 点 的 坐 标.解：设 点 尸 的 坐 标 为(加 内)，因 为 V=3/-1 0,所 以 3/一 10=2,解 得 选=2.又 点 在 第 一 象 限 内，所 以 质=2,又 点 尸 在 曲 线。上，所 以 H=23-10X 2+13=1,所 以 点 的 坐 标 为(2,1).二、综 合 过

35、关 训 练 1.汇(x)=sinx,/；(*)=/o(x),i(x),，E+i(x)=F(x),N,则 fl 019(X)=()A.sin x B.sin x C.cos x D.cos x解 析：选 D 因 为(x)=(sin x)=cos x,f2x=(cos x)=sin x,(x)=(一 sin x)1=cos x,(x)=(-cos x)=sin x,f5(x)=(sin x)r=cos x.所 以 循 环 周 期 为 4,因 此 分 oi9(X)=/Kx)=cos x.12.已 知 曲 线 旷=一 31nx的 一 条 切 线 的 斜 率 为 5,则 切 点 的 横 坐 标 为()A

36、.3 B.2 C.1 D.1v 3 x 3解 析：选 A 因 为 v=T-,所 以 根 据 导 数 的 几 何 意 义 可 知，52=5,解 得 x=3(x乙 X/X 乙=-2 不 合 题 意，舍 去).3.曲 线 尸.在 点 1仟，0)处 的 切 线 的 斜 率 为()sm x十 cos x 2 4)1 1 也 也 A.-B.-C.一 看 D.彳-解 析：选 Bcos*sin x+cos 力 一 sin A(COS x-sin x)_ _ _n(sin x+cos%)2 1+sin 2x X 4代 人 得 导 数 值 为:，即 为 所 求 切 线 的 斜 率.4.已 知 直 线 y=3x+l

37、与 曲 线 尸 a Y+3 相 切，则 a 的 值 为()A.1 B.1C.1 D.2解 析：选 A 设 切 点 为(xo,jb),则 为=3照+1,且=a/+3,所 以 3选+1=京+3.对 尸 a/+3 求 导 得 y=3/,则 3=3,痴=1，由 可 得 照=1,所 以 a=1.5.设 石 为 实 数，函 数*)=寸+之 9+心 3)才 的 导 函 数 为/(才)，且/J)是 偶 函 数,则 曲 线 尸 f(x)在 点(2,A 2)处 的 切 线 方 程 为.解 析：f(x)=3/+2a%+a3,:f(x)是 偶 函 数，a=0,A/U)=x 3xf f(x)=3%23,(2)=8 6=

38、2,f(2)=9,曲 线 y=f(x)在 点(2,F(2)处 的 切 线 方 程 为 y-2=9(才 一 2),即 x y 16=0.答 案：9 x-y-1 6=06.设 f(x)=x(x+l)(x+2)(x+)，则/(0)=.解 析：令 g(x)=(x+1)(x+2)(x+),则 f(x)=x g(x),求 导 得/(x)=x g(x)+x g(x)=g(x)+x g(x),所 以/(0)=g(0)+0 X(0)=g(0)=lX 2 X 3 X X.答 案：1 X 2 X 3 X X 7.己 知 曲 线 尸 x+ln x 在 点(1,1)处 的 切 线 与 曲 线 尸 a/+g+2)x+i相

39、 切，则 己=解 析：法 一：.y=x+ln x,=l+p/lx=i=2.,曲 线 y=x+ln x 在 点(1,1)处 的 切 线 方 程 为 yl=2(x1),即 p=2 x 1.V y=2 x 1 与 曲 线 y=a x+(a+2)x+1 相 切，a 0(当 己=0 时 曲 线 变 为 y=2 x+l与 已 知 直 线 平 行).|y=2 x 1,由 彳 2 1 消 去 外 得 d x-+a x+2=0.y=ax+(a+2)x+l,由=8 a=0,解 得 a=8.法 二：同 法 一 得 切 线 方 程 为 尸 2x1.设 y=2 x 1与 曲 线 y ax+(a+2)x+l相 切 于 点

40、(电(2+2)照+1).V/=2 a x+(a+2),./I x=xo=2axo+(a+2).2aA b+(a+2)=2,由 a瑞+(a+2)x o+1=2照-1,1Ab=解 得 j 2、a=8.答 案：88.设 f(x)=f+ax2+i 的 导 数 J)满 足/(1)=25,f(2)=4 其 中 常 数 a,bR.求 曲 线 y=F(x)在 点(1,f(D)处 的 切 线 方 程.解：因 为 f(x)=x-ax+bx+,所 以 尸(x)=3x+2ax+b.令 x=l,得 f=3+2a+b,又/(l)=2a,3+2a+6=2a,解 得 6=-3,令 x=2 得(2)=12+4a+4又/(2)=

41、bf所 以 12+4a+6=-b,解 得 a=-Q 5则 fx=X-X 3X+19 从 而 又 一=2 X）=-3,所 以 曲 线 尸/（x）在 点（1,/（1）处 的 切 线 方 程 为 了 一（一 9=一 3（*1）,即 6x+2y1=0.9.已 知 两 条 直 线 y=sin x,y=cos x9是 否 存 在 这 两 条 曲 线 的 一 个 公 共 点，使 在 这 一 点 处，两 条 曲 线 的 切 线 互 相 垂 直？并 说 明 理 由.解：不 存 在.由 于 尸 sin x,y=cos x,设 两 条 曲 线 的 一 个 公 共 点 为 尸（照，为），所 以 两 条 曲 线 在 尸

42、（苞，处 的 斜 率 分 别 为=/lx=xo=cos Ab,k2=y,|x=Ab=S i n Ab.若 使 两 条 切 线 互 相 垂 直，必 须 使 cos x（）（sin照）=一 L即 sin Ab cos照=1,也 就 是 sin 2照=2,这 是 不 可 能 的，所 以 两 条 曲 线 不 存 在 公 共 点，使 在 这 一 点 处 的 两 条 切 线 互 相 垂 直.课 时 跟 踪 检 测（四）复 合 函 数 求 导 及 应 用 一、题 组 对 点 训 练 对 点 练 一 简 单 复 合 函 数 求 导 问 题 1.y=c o s 的 导 数 是()A.yr=3cos2xsin x

43、 B.y=-3cos2xC.yl=3 s i n D.y=_ 3cos x s in x解 析：选 A 令=cos x、则 y=汽 y=y j,txr=3 t2,(sin x)=3cos2%sinx.2.求 下 列 函 数 的 导 数.(l)y=ln(eA+/)；(3)y=s i n x+cos解：(1)令=e+f,则 尸 in u.i i p+2 xA/x=y u A=-(e+y)=x.2,(e+2jr)=x.2.u e-rx e 十 x(2)令 u=2 x+3,则 y=10,._/x=y,w u.v=1 0u In 10(2 x+3)=2 X 10l3ln10.(3)y=s i n x+c

44、os4x=(sin x+co s2x)22sinJx cos2x=1-sin22r=1-(l-cos 4x)3,1=：+TCOS 4X.4 4所 以/=+co s 4,，=sin 4x.对 点 练 二 复 合 函 数 与 导 数 运 算 法 则 的 综 合 应 用 3.函 数 尸/cos 2 x的 导 数 为()A.yl=2xcos 2 x-x?sin 2x B.yl=2xcos 2 x-2 x sin 2xC.yr=x c o s 2x2xsin 2x D.yl=2xcos 2x+2x?sin 2x解 析：选 B y=(x)cos 2 x+x(cos 2 x)f=2xcos 2 x+x(si

45、n 2x)(2x)=2xcos 2x2 x s in 2x.4.函 数 y=W n(2 x+5)的 导 数 为()A.l n(2 x+5)-2*+5 B.ln(2 x+5)+?x+5C.2xln(2x+5)XD，2x+5解 析:选 B y=x ln(2 x+5)r=ln(2 x+5)+x ln(2 x+5)=ln(2 x+5)+1 2xx _二(2 x+5)=ln(2%+5)+.2x十 5 2X十 55.函 数 尸 sin 2xcos 3 x的 导 数 是 _.解 析：V y=s in 2%cos 3x,*.yf(sin 2 x)cos 3 x+s in 2x(cos 3x)=2cos 2xc

46、os 3 x-3 s in 2xsin 3x.答 案：2cos 2ACOS 3%3sin 2xsin 3x6.已 知 F(x)=e sin n x,求 f(x)及 自.解：.(x)=e”s in n x,:f(%)=n e sin n x+en cos n x=n ex(sin n x+c o s n x).f(3=e/sin f+c oS=n e 对 点 练 三 复 合 函 数 导 数 的 综 合 问 题 7.设 曲 线 y=a x l n(x+l)在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为 y=2 x,则 a=()A.0 B.1C.2 D.3解 析：选 D 令 y=a x l n(x+l)

47、,则/(x)=a 一/7 所 以 f(0)=0,且(0)=2.联 立 解 得 a=3.8.曲 线 尸 ln(2x1)上 的 点 到 直 线 2xy+3=0 的 最 短 距 离 是()A.4 B.2乖 C.3邓 D.0解 析：选 A 设 曲 线 y=ln(2 x 1)在 点(刖，处 的 切 线 与 直 线 2xy+3=0平 行.,22.=照=2的 一=2,解 得 照=1，/.y0=ln(2 1)=0,即 切 点 坐 标 为(1,0).切 点(1,0)到 直 线 2xy+3=0 的 距 离 为=与 毕 匚=乖，y/4+l即 曲 线 y=ln(2x1)上 的 点 到 直 线 2xy+3=0 的 最

48、短 距 离 是 乖.9.放 射 性 元 素 由 于 不 断 有 原 子 放 射 出 微 粒 子 而 变 成 其 他 元 素，其 含 量 不 断 减 少，这 种 现 象 称 为 衰 变.假 设 在 放 射 性 同 位 素 葩 137的 衰 变 过 程 中，其 含 量 加 单 位：太 贝 克)与 时 间 寅 单 位：年)满 足 函 数 关 系：其 中 筋 为 t=0 时 的 137的 含 量.已 知 t=30JU时，钠 137含 量 的 变 化 率 是 一 101n 2(太 贝 克/年)，则/6 0)=()A.5 太 贝 克 B.751n 2 太 贝 克 C.1501n 2 太 贝 克 D.150

49、太 贝 克 1-解 析：选 D(t)=In 2X,tt2 30,JU1 30由(30)=而 In 2XM2 30=-10 In 2,解 得 跳=600,所 以 欣。=600X2方，60 1-1所 以 f=60 时，钠 137 的 含 量 为,(60)=600X2 3。=600X=150(太 贝 克).二、综 合 过 关 训 练 1.函 数 尸=(2 019 8x)3的 导 数 y=()A.3(2 019-8x)2 B.-24%C.-24(2 0198x)2 D.24(2 019-8?)解 析：选 C y=3(2 019-8)2X(2 019-8JT)=3(2 0198王 尸 义(-8)=-24

50、(2 0198x)2.2.函 数 尸 g(e、+ef)的 导 数 是()A.1(eA-e-0 B.1(ev+e-A)CX X 八 X I X.e e D.e+e解 析：选 A/=；(e+e-9=；(ee-?.3.已 知 直 线 y=x+l 与 曲 线 尸 ln(x+a)相 切，则 a 的 值 为()A.1 B.2C.-1 D.-21_ 解 析：选 B 设 切 点 坐 标 是(刘，刘+1),依 题 意 有，扬+a i 由 此 得 为 Ab+l=ln(Ab+c?),+1=0,X Q=-1,a=2.4.函 数 尸:In三 7和 x=0处 的 导 数 为 _.1十 eX解 析：y=ln；/=ln e*