同济(第六版)高等数学课后答案.pdf

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1、高等数学课后答案习 题 1-11.设 A=(OO,5)D(5,+OO),8=1 0,3),写出 AuB,AcB,AW 及 A(AW)的表达式.解 AuB=(-oo,3)u(5,+oo),AnB=-10,-5),A5=(-oo,-10)u(5,+oo),A(AB)=-10,-5).2.设 A、8 是任意两个集合，证明对偶律:(4 仁8尸=川口那.证明因为xeC4c8)cx史或 X史 B o x eA，或 X GACUBC,所以(AnB)c-Acu 5c.3.设映射/:X fK A u X,B u X.证明(1 次AuB)力(2V(An5)U(4)Q/.证明因为y ef(A wA u B,使 f(

2、x)=yu(因为 xeA 或 xe8)ye/(A)或o y/A)5 ，所以/(Ao5M A)u/(B).(2)因为ye/(A n5)=3xeA n5,使/(x)=yo(因为 xeA 且 xeB)ye/(4)且 y 8)n ye九4 W ，所以4.设映射/:X f Y,若存在一个映射g:X,使 g /=/x，/*=/丫，其中/x、/y分别是X、丫上的恒等映射，即对于每一个x e X,有/xx=x；对于每一个y e Y,有lYy=y.证明 是双射，目 g 是/的逆映射:证明因为对于任意的y e Y,有*=8。)乂且/(x)下gU)=/),y=y,即丫中任意元素都是X 中某元素的像，所 以/为 X

3、到丫的满射.又因为对于任意的X/X 2,必有兀川4 X2),否则若/U i)/X 2)ng_/(Xl)=glAX2)=X=X2.因此,既是单射，又是满射，即/是双射二对于映射g：y f X,因为对每个y e 匕 有 g(y)=xe X,月.满足於月I g(y)=产y,按逆映射的定义,g是7的逆映射.5 .设映射/:X f 匕4=X.证明：(1 尸(A A)z)A;(2)当/是单射时，有/T(/G 4)=A.证明 因 为 xe A n於)=y/A)=广七)=大/领4),所以(2)由知i(M)n A.另一方面，对于任意的xe/T(/(4)n 存在)句(A),使/T(y)=xm/(x)=y.因为y

4、A)且/是单射，所以x e A.这就证明了尸(M)u 4.因 此/领 4)=4 .6.求下列函数的自然定义域：产 病 包解 由 3x+2 2 0 得 x-号.函数的定义域为-；,+0).尸占解 由 1T2M得用1 函数的定义域为(F,-l)U(-1,1)口(1,+).(3)y=-y/l-x2;X解 由x M且 l-x2 0 得函数的定义域4-1,0)5。，I L 产 JV 4-x2解 由 4T2 0得 l xl 0 且 x M得函数的定义域Q=(-o o,0)。3).(9)y=l n(x+l);解 由科1 0得函数的定义域。=(-1,+8).1(1 0)y=ex.解 由 x M得函数的定义域=

5、(-o o,0)5。,+0).7 .下列各题中，函数段)和8。)是否相同？为什么？(iy(x)=l g x2,g(x)=2 1 g X；(2)/(x)=x,g(x)=G;(3)f(x)=l j x4-x3,g(x)=x y/x .(4)/(x)=l,g(x)=s e c x-t a n x .解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x0,因为当X%2 时，力1 _/1-X2(1-X )(1-X2)所 以 函 数 在 区 间(-o o,1)内是单调增加的.(2)对于任意的孙尬以0,+o o),当时,有y1-y2=(xI+l n x1)-(x2+l n x2)=(-;t1-x2

6、)+l n 0,一x2所以函数y=x+l n x在区间(0,+o o)内是单调增加的.1 0 .设 A x)为定义在(-/,/)内的奇函数，若於)在(0,/)内单调增加,证明於)在(-/,0)内也单调增加.证明 对于V xi,X2G(-/,0)且%1 一孙因为/(x)在(0,/)内单调增加且为奇函数，所以/(-X 2 M-X!),如 2)g(T)=Ar g(x)=F(x),所以尸(X)为偶函数，即两个偶函数的积是偶函数.如果/(X)和 g(x)都是奇函数，则/(T)4 X g(T)=H Ax)g(X)/x g(X)=F(X),所以尸(X)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果/(X)是偶函数

7、，而 g(x)是奇函数，贝 I JF(-x)M f g(-x)y(x)-g a)=d x g(x)=-Rx),所 以 F(x)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.1 2 .下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？(l)y=x2(l-x2);(2)y=3x2-%3;厂产l+x-(4)y=x(x-l)(x+l);(5)y=sin x-cos x+l;尸 此 尸解 因为犬-3 尸口-(-X)2=x2(_x2)n(X),所 以 段)是偶函数.(2)由/1)=3(-幻2-(-犬)3=3 +/可见於)既非奇函数又非偶函数.(3)因为/()=1(x)2 _ 1 X2l+(-x)2

8、 1+X2=/(x),所以/(X)是偶函数.(4)因为 A-x)=(-x)(-x-l)(-%+1)=-x(x+l)(X-1 )=f(X),所 以 是 奇 函 数.由/(-x sin(-x)-cos(-x)+l=-sin x-cos x+可见_/(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因为/(一加：=贮 严=/曲 所以/(x)是偶函数.13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(l)y=cos(x-2);解是周期函数，周期为/=2兀(2)y=cos 4x;解 是周期函数，周期为/=半(3)y=l+sin TJX解是周期函数，周期为/=2.(4)y=xcos x;解不是周期函数.(5)

9、y=sin.解是周期函数，周期为/=加14.求下列函数的反函数：尸 也 口；解 由y=V x+l得x=y3l,所 以y=V x+l的反函数为y=x3-l.尸 修解 由 尸 与得工 所 以 产 二 的反函数为产早.1+x l+y l+x +x(3)y=x+cx+d解 由 尸 些 乡 得 后 也 助，所 以 尸 些 乡 的 反 函数为y=2地.cx+d cy-a cx+d cx-a(4)y=2 s i n 3 x;解 由y=2 s i n 3 无得,v=ar c s i n-1-5所以产2 s i n 3 x的反函数为y=g ar c s i 吟.(5)-l+ln(x4-2);解 由 y=l+ln

10、(x+2)得 x=e i-2,所以 y=l+ln(x+2)的反函数为广产T-2.(6)y=-.2X+1解 S x=lo g2-,所以 的反函数为 y=lo g 2 4.2X+1 1-y 2 +1 1-x1 5 .设函数/(x)在数集X 上有定义，试证：函数/U)在 X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证 明 先证必要性.设 函 数 於)在X上有界，则 存 在 正 数 M,使舱)K M,即-M j x)M.这就证明了共外在X上有下界-M 和上界M.再证充分性.设函数式外在X上 有 下 界K i和 上 界K2,即K(x)K2.取M=m ax K i,K2,则-M K i f(x)

11、K2,2=s i n 2y=(-y)2=1-y=s i n ,=2 x,X=y,x2=j；解 y=s i n 2 x,=s i n(2 )=s i n-=,y2=s i n(2 )=s i n y=l.(3)y =y/u ,W=l+X2,Xi=l,X 2=2;解 y=Jl+X2 ,yj=vl-l-P=A/2,y2=vl+2=V5 .(4)y=eu,w=x2,X =0,%2=1；解 y =ex 2,%=,乃=/2=.(5)y=u ,u=e,%i=l,x=.解 y=e2x,y i=e2 l=e2,y 2=e(l)=e2.1 7.设/U)的定义域D=0,1,求下列各函数的定义域：底)；解 由 0。2

12、 4 1 得仇建,所以函数加2)的定义域为_i,1 /(s i n x);解 由O Vs i n xVl得 2 0 4(2+1)%(=0,1,2-一)，所以函数/(s i n x)的定义域为2%(2 +1)同(=0,1,2-).(3)/U+a)(0);解 由 0。+於 1 得一 4。4 1 一 4,所以函数/(x+a)的定义域为一4,1 一 回.(4)J(x+a)+_/(x-a)(a0).解 由0 0+延 1 且 0。一心1 得：当时,“今 1 一 4；当a；时，无解.因此当0 l形.1 ex l1 xl-1 x 0el lxl le lxl lg (x)=e *)=，e 0 1 x1=1,B

13、P g f(x)=lel lxl l1 9.已知水渠的横断面为等腰梯形,的 面 积 为 定 值 S o 时，求湿周L(=AB+8 C+C D)与 水 深h之间的 _.斜 角 方 40。(图 1-37).当过水断面A B C D_I-X函数关系式，并指明其定义域.图 1-37解 AB=DC=,又 从 川 B C+(8 C+2c o t 40:/i)=S o 得si n 40 28 C=学-c o t 404,所以hh si n 40自变量的取值范围应由不等式组h 0,c o t 40-/2 0确定，定义域为0/s()c o t 40.20.收敛音机每台售价为9 0 元，成 本 为 6 0 元.厂

14、方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1 台，售价就降低1 分，但最低价为每台7 5 元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；(3)某一商行订购了 1000台，厂方可获利润多少？解(1)当 0仝4100 时,p=90.令 O.Ol(x o l OO)=9O 75,得 M=1600.因此当 后 1600 时,p=75.当 100 r 1600 时，p=90-(x-100)x 0.0 1=91-0.Ol x.综合上述结果得到-90 0 x 100p=91-0.01x 100 x 160030 x 0 x 100(2

15、)P=(p-60)x=(31x-0.01/100X 1600(3)P=31 x 1000-0.01 x 10002=21000(元).习 题 1-21.观察一般项尤 如下的数列%,的变化趋势，写出它们的极限:解 当 fo 时，煦*=0.(2)4=(-1)心n解 当-8 时，x =(-l)n-0,l i m(-i y 二 O.n n=2+3；n解 当-00时，x=2+-V-2,l i m(2+-V)=2.几乙nL解 当-8时，x =叱 1=1 4-0,l i m 七 1=1.(5)3(-1).解 当00时,无 产 (一 1)没有极限.C0S第2.设数列/的一般项%=问 1吧 4=?求出N,使当心

16、N 时,x 与其极限之差的绝对值小于正数,当=0.001时，求出数N.解 l一im8 xn=0.I c o s 1 1 1 11/-01=V 0,要使k-01 ,只 要,也 就 是 ，.取n n n N=山，则V 心N,有比厂01 .当 =0.001 时，7V=-=1000.3.根据数列极限的定义证明:l i m 4=0;M-OO 乙分析要使4-o i=e 0,m N=J=,当 N时，有I 01 8 l i m誓2+1 2分析 要使|11 一_ 11_ 0,m N=H-,当心N时，有|当 一 心，所以 所 等4 T4c2 +1 2 -c o 2+1 2 l i m7100几？+。2-二，n分析

17、要使 生 打 只 须“上n n(y/n2-a2+H)8证 明 因 为V0 TN=Q,当V N(H,有逵_k,所以8 n加近 Q=i.98 n(4)l i m O.999 9=1.分析 要使 10.99 9-l l=_ L _r,只 须=r r l+l g L.10T 10 f 证明 因为 V 0,m N=l+l g J,当V N 时,有 10.99 9l l 00un-aun-aoo数列 lx“l 有极限，但数列/未必有极限.例如liml(-但 lim(-1)不 一 8 一 8存在.5 .设数列%“有 界,又 l i m%=0,证明：limx”%=0.一 8 一 8证明因为数列&”有界，所以存

18、在M,使有建M.又 limy”=0,所以VQO T NCN,当心N 时，有 二.从 而 当 N 时，有lx y“-O Nx y.言=,所以=0.，T 86 .对于数列 斯,若 X2 -ifa(kf0),-0 0),证明：X-证明 因为 X2 bi-a(A-8),X 2 -a 6-8),所以VQO,3 AI,当 2 女 12 K 1 时，有 I x”-al;BK2,当 2 k 2 K 2 时，有IX2L IN,就有k“-al3分析因为l(3 x-l)-8l=l3 x-9h 3 Lc-3 l,所以要使I(3X-1)-8I,只须I 尤-3 畤.证明 因为当0lx 3 lb时，有1（3 元 1）81

19、3(2)lim(5x+2)=12;x 7 2分析因为l(5x+2)-l 2 H 5x-101=5 Lr-21,所以要使l(5x+2)-12l 0.=卜，当 0k-215时,有l(5x+2)121 2 X+2分析因为|奈-4)卜|1 也+2幻一(一冽所以要使I左 号-(-4)|0,m s=,当 0仅 一(一 2)1-2 X+2(4)lim 4=2.X2x4-12分析因为I -2|=ll-2x-2l=2lx-I 2x+l 所以要使|呈2 卜 ,只 须 lx-(弓 .证 明 因 为 V 0,m S=*,当00,三 乂=霜，当闭XU 寸，有挈一*所 以 limXT8l+x l2 x3 -2lim半=0

20、.1+0 0y j x分析因为所 以 要 使|乎-0 卜,只须=-.证 明 因 为 VQO凸 X=-V，当x X 时，有2 时，0,故可设仅 一 2 11,即 lx 3.要使lx2-4 l=Lr+2 lk-2 l5 bc-2 l0.001,只要 lx 2 1=0.0002.取 应 0.0002,贝!)当 03 2 15 时,就有k2 一 4 10.001.4 .当 xf 8 时,产 宰 11,问 X 等于多少，使当 X 时,ly-ll0.01?xz+3解 要使|毕 三-1卜 定 打 001，只要故乂=闻 7.X 十 J X 十 3 V U.U 15 .证明函数/(x)=ld当xf O时极限为零

21、.证明因为l/(x)-01=11x 1-0 l=lx l=lx-O I,所以要使(Ax)-01,只须lx l.因为对，便当0k-O l a时有l/(x)-01=11x 1-0106 .求/(x)=3,e(x)=区 当 x-0 时的左、右极限，并说明它们在x-0 时的极X X限是否存在.证明因为lim/(x)=lim=lim 1=1,x-0-x-O-X x-0lim f(x)=lim=lim 1=1,x f o+x-o+x x-0+lim/(x)=lim f(x),x-0-x f 0+所以极限lim/(x)存在.x-0因为lim e(x)=lim =lim =-l,x。-x 0-X x 0-Xl

22、im 0(x)=lim =lim=1,1o+x-0+x x-0+xlim(x)w lim(p(x)9X T。-X TO+所以极限lim(x)不存在.x-07.证 明：若 x r+oo及 x f-oo时，函 数/U)的极 限 都 存 在 且 都 等 于 A,则lim f(x)=A.X f 8证明 因为 lim f(x)=A,lim f(x)=A,所以VQO,x-O0 Xf+8m x o,使当 x-X|时，有！Z(X)AI0,使当x X2 时，有族x)-4 IX 时，有即 lim/(x)=A.xf 008.根据极限的定义证明：函 数 兀x)当 x f x。时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各

23、自存在并且相等.证明 先证明必要性.设 段)f4(x fx o),则VQO,3 0,使 当 0bx ol6 时,有f x)-A.因此当x o-*r x o和 x or 0,3 I0,使当 x o-bir x o 时，有I/(X)-A 0,使当 XoXX()+&时，有 1 於)-4 .取 5=min 3,%,则当 0Lr-x()l3 时，有 x()-3 x x o及 x oO O o+%,从而有j(x)-A0 及 M 0,使当 klX 时,证明 设Ax)-A(x foo),则对于=l,mX0,当bdX 时，有取X)AI =1.所以f(x)f(x)-A+A f(x)-A l+IAI 0及 M 0,

24、使当bd X 时,叭 x)l=上?当x f 3 时为无穷小；尤+3(2)y=x s i n 当%0 时为无穷小.x证 明(1)当x#3时|)，H 左 全|Hx 31.因为VQO辰,当0k 3lb时，有lyl=|出-3kb=,所以当x-3时y=足言为无穷小.x+3(2)当在0 时lyHxllsin-国x-O I.因为 VQO展,当 01。4?证 明 分 析I止|曰 卜|2+4 271r2,要 使 心M只 须;-2M，即X X IXI 1 X 1证明 因为VM0,皿使当 0Lr 013时，有M+2 1 x 1所以当X fO时，函数y=l是无穷大.X取刊=1。4 贝I=-4 当 010t4.求下列极

25、限并说明理由：1 8 X1 r2(2)l i m p.xfO 1-X解(1)因为生包=2+_l,而当x fo o时上是无穷小，所 以iim il=2.X X X S8 X(2)因 为 二+近 1),而当x 3 0时“为无穷小，所 以lim F=l.1-XX 0 1-X5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:本）-4X）-8於）-+0 0X%0Vf0,m 苏0,使解当 0Lv-xol丽，有恒贝x)-4l%0+x-oo3 0,W 0,使当MX 时，有恒贝x 4-00X-00於)-A危)-8段)f+8氏 X)+8XfXoVQO石苏0,使当 Ok-xol5B,有恒火X)-AI0,3 0,使当 0k-x

26、()lM.VMO,m苏0,使当 01%的10,m苏0,使当 OcIx-xoktSf,有恒/(x)-M.x-xx()+Vf0,3苏0,使当 O x-xo50寸，有恒|/(X)-AI0,350,使当 Ox-xoM.VM0凸苏0,使当 Or-xoM.VMO,m%0,使当 Ox-xoXo-VQO产金0,使当 Oxo-x(5 H 寸，有恒!/(X)-AI0,350,使当 Oxo-xM.VM0凸历0,使当 Ovo-xM.方0,使当 OX时，有恒V0,3X0,使当bdX时，有恒V60,3X0,使当lrl X 时-，有恒於)M.v o m o,使当bdX时,有恒X f+8V0,3X0,当x X时，有恒V0,3

27、X0,使当xX时，有恒V0,mX0,使当xX时，有恒fM M.9 0,止0,使当x X 时，有恒X 8WQO凸X 0,使当x-X时，有恒f x)-A0,3X0,使当x0,使当x0,mX0,使当x0,在(-8,+8)内总能找到这样的x,使得例如y(2k力=2k%cos2Z庐=2左 乃(k=0,1,2,),当女充分大时，就有ly(2Z砌当x f+o o 时，函数y=xcosx不是无穷大.这是因为VM 0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N 的x,都有欣x)lM.例如+y)=(2A：+y)c o s(2A：+y)=0(k-0,1,2,),对任何大的N,当充分大时，总有无=2h r+5 N,但b(x

28、)l=0 0,在(0,1 中总可以找到点以 使例如当xk=-(=0,1,2,)2k兀+刍2时，有yx D=2k *等当k充分大时,y(x M.当x f 0+时，函 数 厂L i r 4不是无穷大.这是因为X XV M 0,对所有的 0,总可以找到这样的点网,使0。育但例如可取1伏=0,1,2,),当 k 充分大时,X k 8,但 y Q D=2女;zs i n 2Z%=0 o 3x+2 2a+/i)2-尤2修h解A p vli m (-x-+-/-?-)-2-x-2=hj.m x-2-+-2-h-x-+-hf2x2 二 vli m(z/2 xh7)、=2cx.h 20 h 20(6)lim(2

29、-l+Jy)；Xf8 x X解 lim(2-+z-)=2-lim+lim 4r=2.x-oc X X1 X 8 X Xf 8 X1r妈2科_i；v2 _ i解 lim-=limX-8%1 X-8i_ x2.11 2x x.2（8）ii m-；xf8 X4-3X2-12解lim J；,=0（分子次数低于分母次数,极限为零）.x-oo x4-3xz-l或1+1l i m -A,=0.Kf 8 _ 2_ 1_(9)iim4 z|；X-4K-5X+4解 lim x；-6x+8=5 x-2 4-2 2x2-5x+4 x-4(x-l)(x-4)x-4 x-1 4-1 3(1 0)l i m(l+-)(2-

30、);X T8 X X解 l i m(l+-)(2 V)=l i m(l+-)l i m(2 V)=l x 2=2.X f 8 X XZ A X X f 8 X2(1 1)H m(l+)+.+、；n-o o 2 4 2解 l i m(l+-+-+-+)=l i m 2-=2.”7 8、2 4 2 T8 ,11-2(1 2)l i m 1+2+3+；+d)；-8 几2(n-)nA用S车 l i m-1 -+-2-+-3-H-z-F(-n-1-)=rl i m 2%=1 ihm-几-一-1=1.一 8 晨 fco 2 7-8 n 2(1 3)l i m(/f+3).5/解Hm(/7 +l)(/7+2

31、)(/7+3)=l (分子与分母的次数相同，极限为-8 5/1*5最高次项系数之比).p.(+1)(九+2)(+3)1 .n I、”3、1或 h m-一一会-=-l i m (1+)(1+-)(1 4-)=-.5 8 n n n 5(1 4)l i m(-!-y);X T 1 1-X 1 一 炉解=l i m上 吐 三/=_ i i m 止X fl l-x l-x3 X fl (1 尤)(1+工+工2)X fI(1一1)(1 +工+工2)=-l i m-+2v=-l.H I+X+W2.计算下列极限：等解 因 为 妈 晶 哈=仇 所 以!蜡 罂(2)l i mX 8x22 x+l2解l i m卢

32、 7=8 (因为分子次数高于分母次数).18 2 x 4-1(3)l i m(2 x3-x+l).x 0 0解l i m(2 x 3-x+l)=o o(因为分子次数高于分母次数).X T 83.计算下列极限：(l)l i m x2s i n-;x-0 x解lim&inL。(当xf 0时 是 无 穷 小，而s i n 是有界变量).1 0 X X Hm胆吟XT8 X解l i m arctanx=而Lar ctan x=O (当xf 8时,工是无穷小，1 8 X X-8 X X而ar ctan x是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习 题1-51 .计算下列极限:(1)则 已1 2 X-3

33、解 啊2-3r2 _ a 号;解给舄=嚼今%2 -2 x +l .一1 (3)l i mX-1解l i m与l=l i m 止口-X T 1 x2-l -1 (x-1)(X 4-1)=1r=r(4)lim 4叱2/+xi o 3x2+2x解 lim 4T 2+5m 4x：2：+Rx，o 3X2+2X i。3x+2 2(5)lim20(x+/i)2-x2h解(X+/7)2-X2h=3+2 +/2 T 2 2X+心.h f O h h i O(6)l i m(2-;Xf 8 x x解 lim(2-+4r)=2-lim+lim 4r=2.X-OC X X2 X-8 X X-8 X2 蚂Ar；v2 _

34、 i解 lim:=limx f o o 2x2-x-l Jt001-XX2 _ 12-.21 2X X(8)lim广：；x-8%4-3X2-12解lim J：,=0(分子次数低于分母次数,极限为零).X-4 0 0 x4-3xz-l或1 ,-1-lim x；x；=oX T 8 _ _ 2 _ _ _立 一7呵本;解妈!望=蚂胎豺=妈一x-一2 4j-2 一2 3(10)lim(l+4(2-)；x-8 X X解 lim(l+-)(2-i=lim(l+-)-lim(2-4r)=lx2=2.X-8 X X T 0 X Xf 8 X2(11)+J)；T 8 2 4 2解 l i m(l+H-1-)=l

35、 i tn-=2.”7 8、2 4 2 28 _ j _2(1 2)l i m 2+3+；+d)；7?00(n-l)n板 r 1+2+3H-F(n-1)2 1 i-n 1W l i m-5 -=Ii m q-=l i m-=.-8 00 几 2 2 8 几 2八 a、1.(+1)(+2)(+3)(1 3)h m -_-；5/解Hm(/7+1)(/7+2)(/?+3)=(分子与分母的次数相同，极限为-8 5户 5最高次项系数之比).t (+1)(+2)(+3)1 .“I、”2 /i 3、1或 h m -=h m (1+-)(1+-)(1+-)=-.-8 5 -8 n n n j(1 4)1 1

36、0 1(-1-)；X fl -X 1 一 炉解 l i m(-!)=l i m +x+_3,=_ 而 _(1磔m+2)X fl l-x l-x3(1 x)(l +x+x 2)1 1 (1一 劝a+x+%2)=-l i m 无+2,=-1X fl l +x+廿2.计算下列极限:小 u X3+2X2.(1)l i m-z-12(1)2解 因 为!脸 感 假=仇 所 以 甄 筌 第=0(2)l i mX 8X22 x+lX2解 l i m c=o o （因为分子次数高于分母次数）.1x-8 2 x+l(3)l i m(2 x3-x+l).X T 8解l i m（2 x 3 x+l）=o o（因为分子

37、次数高于分母次数）.X f 83.计算下列极限：(l)limx2sin-;x-0 x解lim/sin L。(当x-0时,/是无穷小，而sin是有界变量).1 0 X X(2)lim 空当XT8 X解 lim胆3=lim L arctanx=0(当 x/0时，!是无穷小，1 8 X 1 8 X X而arctan x是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习 题1-71.当x f 0时,2x-x2与x2-x3相比，哪一个是高阶无穷小？2 3 2解 因 为 l im=l im F=，xf0 2x-%2 xfO 2-X所以当X f 0时,x2-x3是高阶无穷小，即X2-X3=O(2X-X2).2.

38、当X f 1时，无 穷 小IT和 1-/(2)51_了2)是否同阶？是否等价？解(1)因为 lim|一 =lim x)?+x+x)=im(l+x+x2)=3,X-1 1 -X XTl X XTl所以当x f 1时，IT和l-d是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.(2)因为 lim-=-lim(l+x)=l,x 1 1-X 2 x所以当X f 1时，1 T和(1-是同阶的无穷小，而且是等价无穷小.3.证明：当x-0时，有：(1)arctan x;避(2)sccx 1 .证明 因 为lim里也”=lim-=l(提示：令 尸1 由11%则当x f 0时,xf o x y-o tan yy-0),所以当

39、 x0 时,arctanx-x.(2)因为 lim s e尸T=21iml；cs xIO 1 v2-vO X2COSX22sin24lim-,r-0 x2Tx_22sin 3一g,2所以当x 0时，secx-14.利用等价无穷小的性质，求下列极限:n m啜；x-o 2x 项 配(,/n 为正整数);(3)tanx-sinxsin3xsinx-tanx(4)lim/-/.(V l+x2 T)M+sinx l)解 誓(2)limsin(-x-)=lri m xtl=mnmsinx(1).枭 2 limtan x-s i n x=lim一弩小 加 上 竿 一=l i m/xfo sinx xfo s

40、inx cosxsin2%xz cosx 2(4)因为=-*(1 0),Vl+x2-1=?xLM(1 +X2)2+VF-x-(x f 0),+x2+l 3=1蝮HJl+sin x-l=-j士-sinx x(x f0),Vl+sinx+1_ 1%3所以 s i n x-.X K m 2 _3x(V l+x2-l)(V l+s i n x-l)lx2.x35.证明无穷小的等价关系具有下列性质：a a(自反性);(2)若 a A 则 住 o(对称性);若a(J,P y,则&火传递性).证 明(l)l i m 2=l,所以 a a;a(2)若 a 以 则 l i n g=l,从而l i m 2=l.因

41、 此 夕 a;p a(3)若 a 0,%y,l i m=l i m-l i m-=l.因此 a/Y Y P习 题 1-81.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：/(x)书1 2-x l x i-x-r x-i+x-i+所以l i m/(x)=l,从而函数 )在 x=l 处是连续的.x-综上所述，函数/(x)在 0,2 上是连续函数.小)=(：高解只需考察函数在4-1 和 4 1 处的连续性.在=-1处，因为八一1)二 一 1,并且l i m /(x)=l i mx-r xf-rlim/(x)=lim x=-l=/(-l),x-l+x-l+所以函数在x=-l处间断，但右连续.在X=1处，因为

42、川)=1,并且lim/(x)=lim x=l=/(l),lim f(x)=limX fl X-1-XT1+JC-1+所以函数在X=1处连续.综合上述讨论，函数在(-00,-1)和(-1,+00)内连续，在x=-l处间断，但右连续.2,下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：2_1 V =-2 Q ，O，X=1，X=2；x 3x+2解 尸=1 A?因为函数在X=2和X=1处无定义，所以3 2和产-3了+2(x-2)(x-l)m l是函数的间断点.因为limy=lim/一1=8,所以m 2是函数的第二类间断点；1 2，1 22-3X+2

43、因为limy=lim5兴=-2,所以x=l是函数的第一类间断点，并且是可去间断x f 1 x 1(x 2)点.在m l处，令y=-2,则函数在x=l处成为连续的.(2)y=-x-,x=k,x=k兀+4(k=0,1,2,)；tanx 2解 函 数 在 点x=AX%eZ)和处无定义，因而这些点都是函数的间断点.因lim)-=oo(kR O),故 是 第 二 类 间 断 点；xik 4 tan x因为 lim=1,lim-=O(ZEZ),所以 X=0 和 是第1X TO tan x xik 兀+工 tan x 2.2类间断点且是可去间断点.令儿=0=1,则函数在x=0处成为连续的；令=%)+孑 时,

44、)：=0,则 函 数 在 处 成 为 连 续 的.(3)y=cos2,x=0;x解 因为函数y=cos2工在m 0处无定义，所以xH)是函数y=cos2工的间断点.X X又因为limcos2上不存在，所以m 0是函数的第二类间断点.1 0 X 尸x-3 xx1,x=l.解 因 为 lim/(x)=lim(x-l)=0.lim/(x)=lim(3-x)=2,所以 x=l 是函数的第X-r X T 1+X T1+一类不可去间断点.3.讨论函数/(x)=lim上 卑x的连续性，若有间断点，判别其类型.-8 1 +工 功9/?-x lxll解/(x)=lim A x=-l/-1 x-l+x-l+x=_

45、l为函数的第一类不可去间断点.在分段点 x=l 处，因为 lim/(x)=lim x=l,lim/(x)=lim(-x)=-l?所以 x=lx-r x-i+x-i+为函数的第一类不可去间断点.4.证明：若函数人处在点沏连续且/(劭)/0,则存在劭的某一 邻 域“沏)，当xet/Uo)时,.证明不妨设xo)O.因为_/(x)在x()连续，所 以lim/()=/(/)0,由极限的局l x。部保号性定理，存在xo的某一去心邻域6(与)，使当跣/(%)时 段)0,从而当xeUQo)吐/(x)0.这就是说，则存在沏的某一 邻 域U(xo),当xeU(x()时J(x)M.5.试分别举出具有以下性质的函数;

46、(x)的例子：(l)x=0,1,2,l.,n,L 是/(x)的所有间断点，且它们都是无穷间2n断点；解 函数/(x)=csc(办)+csc工在点 x=0,1,2,-,-n,L ,处是间断的x2n且这些点是函数的无穷间断点.(2(x)在R上处处不连续，但取x)l在R上处处连续；解 函数/(x)=；界 在R上处处不连续，但贝x)l=l在R上处处连续.(3(x)在R上处处有定义，但仅在一点连续.解 函 数/(x)=1 x 在R上处处有定义 它只在了=0 处连续.习 题 1-9I.求函数的连续区间，并求极限!吧/(X),、呼y(x)及lim/(x).解X3+3X2-X-3 _(X+3)(X-1)(X+

47、1)x2+x-6(x+3)(x-2),函数在(-oo,+8)内除点x=2和x=-3外是连续的，所以函数/(x)的连续区间为(-co,-3)、(-3,2)、(2,+oo).在函数的连续点x=0处，lim/(x)=/(O)=.X TO 2在函数的间断点x=2和 x=-3处，.(x+3)(x-l)(x+l).，/、.(x-l)(x+l)8lim/(x)=hm、,八 -=00,hm f(x)=lim-=xf2 xf2(X+3)(X 2)x-3 x-3 X-2 52.设函数x)与 g(x)在点xo连续，证明函数*)=m ax伏x),g(x),/(x)=min伏x),g(x)在点xo也连续.证 明 已知

48、lim/()=/(%)，lim g(x)=g(x(j).x o x x()可以验证e(x)=；(x)+g(x)+l/(x)-g(x)l,(x)=；/(x)+g(x)-l/(x)-g(x)l.因此 e(Xo)=g/(x()+g(Xo)+l/(x()-g(x()l,MXo)V(X o)+g(Xo)T/(Xo)-g(Xo)l因为l i m (x)=l i m (x)+g(x)+l/(x)g(x)l x x0 J x0 Z=l i m /(x)+l i m g(x)+l l i m /(x)-l i m g(x)l L X-XQ XTX。4f xo x-x0=J/(X o)+g(X o)+l/(X o

49、)-g(X()l =*O)，所以d x)在点X o也连续.同理可证明M x)在点X o也连续.3.求下列极限：(1)l i my/x2-2 x+5;x-0(2)l i m(s i n 2 x)3;(3)l i m l n(2 c o s 2 x);x-6(4)X TO X(5)l i m叵 壬 五;X-1 x-l l i m皿 血;X a x a(7)l i m (V x2+x-y j x2-x).XT+QO解 因为函数x)=J x2 _ 2 x+5是初等函数，段)在点x=0有定义,所以l i m V x2-2 x+5=/(O)=V O2-2-0+5=V 5.x-0因为函数/(x)=(s i

50、n 2 x)3是初等函数J(x)在点x=?有定义，所以I i m(s i n 2 x)3=/()=(s i n 2-)3=l.T 4 4(3)因为函数/(x)=l n(2 c o s 2 x)是初等函数,7(x)在 点 有 定 义，所以6limln(2cos2x)=/(-)=ln(2cos2)=0.6 6,蜡 箝画=lim r=x_r i i _i一 asinx-sin”f mx-a I”c-x+c x-a2cos-sin-2 2x-asin-=lim cos lim-=cosA-a1=cos a.2 x-a XCl 2(7)lim(Vx2+x-y/x2-x)=limx +00 x +00(y