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1、函数的应用函数的应用31函数与方程函数与方程31.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点1.思考思考：一元二次方程 的根与二次函数的图像有什么关系？先观察下面几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，如：容易知道，方程有两个实根;函数的图像与x 轴有两个交点（-1,0），（3,0）,这样方程方程有两个相等的实根2一般地，一元二次方程ax2bxc0(a0)的实数根及其相应的二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交点的关系如下表，请填写b24ac函数yax2bxc图象方程的实根yax2bxc与x轴的交点结论0 方程的实根即函数图象与x轴交点的横坐标0 0无无3.对于函数yf(x)，我们把使
2、的实数x叫做函数yf(x)的零点方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与有交点函数yf(x)有点f(x)0 x轴零由此可知，求方程f(x)的实数根，就是确定函数y=f(x)的零点。例11.指出下列函数的零点：探究：探究：观察二次函数的图像（如下图）我们发现函数 在区间-2,1上有零点，计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现这个乘积有什么特点？在区2,4上是否也具有这样的特点呢？可以发现，函数在区间（-2,1）内有零点x=-1,它是方程的一个根.同样地，函数在（2,4）内有零点x=3,它是方程的另一个根。一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，我们可以将它与函数y=f(x)联系
3、起来，利用函数性质找出零点，从而求出方程的根。1一般结论如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连连续续不不间间断断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c就是方程f(x)0的根零点c通常称作函数f(x)的变号零点 注意：f(x)的图象必须在区间a，b上连续不断连续不断且f(a)f(b)0时，才可确定f(x)在a，b上有零点2函数变号零点的性质对于任意函数yf(x)，只要它的图象是连续不间断的，则有：当它通过变号零点时，函数值变号如函数 的图象在零点1的左边时，函数值取正号，当它通过零点1时，函数值由正变为负，
4、再通过第二个零点3时，函数值又由负变正 在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号3方程的根与函数的零点的作用 另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x)0来说，我们可以将它与函数yf(x)联系起来，利用函数的性质找出零点或所在范围，从而求出方程的根或根的近似值 一方面，函数是否有零点是研究函数性质和精确地画出函数图象的重要一步例如，求出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略地画出函数的简图例2已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个B3个C4个D5个x123456f(x)123.562
5、1.457.8211.5753.76126.49答案B探究：讨论方程的根的个数（提示：先构造一个函数，可以借助计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表，并且利用此函数的单调性来说明）随堂练习：随堂练习：1、利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根：答案：（1）有，两个 （2）无 （3）有，一个 （4）有，两个2、函数 的两个零点是2和-4，求a、b3、函数 仅有一个零点，求实数a的取值范围。3若a0，则f(x)x1仅有一个零点1；若a0，由14a0得a，此时函数只有一个零点，当a0或时，所给函数有且仅有一个零点解析解析：2由题意知2和4是方程x2axb0的两根a2，b8课堂小结：1、一元二次方程根与一元二次函数图像交点的关系2、零点的概念3、根的存在定理作业：优化设计及同步练习