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1、第一章几何光学基础1.3 光路计算 所谓成像过程，就是物光束经光学系统逐次折、反射所谓成像过程，就是物光束经光学系统逐次折、反射的结果。的结果。光在各向同性、均匀介质中总是沿直线传播的改变方光在各向同性、均匀介质中总是沿直线传播的改变方向只有在界面上进行，所以，把单个折射球面的问题搞清向只有在界面上进行，所以，把单个折射球面的问题搞清楚了，那么由多个球面组成的系统的问题亦就迎刃而解。楚了，那么由多个球面组成的系统的问题亦就迎刃而解。一、一、基本概念与符号规则基本概念与符号规则设在空间存在如下一个折射球面：折射球面曲率半径顶点物方截距像方截距物方孔径角像方孔径角（1）沿轴线段：以顶点O为原点，光
2、线到光轴交点或 球心，顺光线为正，逆光线为负。（2）垂轴线端：光轴以上为正，光轴以下为负（3）光线与光轴夹角：由光轴转向光线锐角，顺时针为正，逆时针为负。（4）光线与折射面法线的夹角：由光线经锐角转向法线，顺时针为 正，逆时针为负。符号规则：光线方向自左向右（5）光轴与法线的夹角：由光轴经锐角转向法线，顺时针为正 逆时针为负。（6）折射面间隔：d 由前一面顶点到后一面顶点方向，顺光 线方向为正，逆光线方向为负。不同教材对符号有不同的规定，自成体系只要按某种规则计算，就要始终如一，这样才不致影响计算结果。上正 下负 顺正 逆负光轴 光线 法线线段角度光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单个折
3、射球面光线的单个折射球面的光路计算，是指在给定单个折射球面的结构参量的结构参量n n、nn和和r r，由已入射光线坐标由已入射光线坐标L L 和和U U，计算折射后，计算折射后出射光线的坐标出射光线的坐标L L和和U U。在在AECAEC中，应用正弦定理有中，应用正弦定理有 或或由折射定律得由折射定律得()()二、单个折射球面的光路计算公式二、单个折射球面的光路计算公式由图可知由图可知所以所以(3)(3)同样，在同样，在AECAEC中应用正弦定理中应用正弦定理化简后得化简后得(4)(4)(1)(1)式（式（4 4）式就是计算含轴面（子午面）内）式就是计算含轴面（子午面）内光线光路的基本公式，可
4、由已知的光线光路的基本公式，可由已知的L L和和U U 通过上通过上列四式依次求出列四式依次求出UU和和LL。由于折射面对称于。由于折射面对称于光轴，对于轴上点光轴，对于轴上点A A 发出的任一条光线，可以发出的任一条光线，可以表示该光线绕轴一周所形成的锥面上全部光线表示该光线绕轴一周所形成的锥面上全部光线的光路，显然这些光线在像方应交于光轴上同的光路，显然这些光线在像方应交于光轴上同一点。一点。由公式可知，当由公式可知，当L L为定值时，为定值时，L L是角是角U U的函数。的函数。若若A A为轴上物点，发出同心光束，由于各光线为轴上物点，发出同心光束，由于各光线具有不同的具有不同的U U角
5、值，所以光束经球面折射后，角值，所以光束经球面折射后，将有不同的将有不同的L L值，也就是说，在像方的光束不值，也就是说，在像方的光束不和光轴交于一点，即失去了同心性。因此，当和光轴交于一点，即失去了同心性。因此，当轴上点以宽光束经球面成像时，其像是不完善轴上点以宽光束经球面成像时，其像是不完善的，这种成像缺陷为像差。的，这种成像缺陷为像差。在利用上式对光路进行计算时，若物体位于物在利用上式对光路进行计算时，若物体位于物方光轴上无限远处，这时可认为由物体发出的方光轴上无限远处，这时可认为由物体发出的光束是平等于光轴的平等光束，即光束是平等于光轴的平等光束，即L=L=，U=0U=0，如下图所示。
6、此时，不能用（，如下图所示。此时，不能用（1 1）式计算入射）式计算入射角角I I，而入射角应按下式计算，而入射角应按下式计算h h为光线的入射高度。为光线的入射高度。(5)(5)(6)(6)三三.近轴光的光路计算公式近轴光的光路计算公式如果限制如果限制U U角在一个很小的范围内，即从角在一个很小的范围内，即从A A点发出的点发出的光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。由于光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光。由于U U角很小，其相应的角很小，其相应的I I、I I、U U 等也很小，这时这些角等也很小，这时这些角的正弦值可以用弧度来代替，用小写字母的正弦值可以用弧度来代替，用小写字母u,
7、i,iu,i,i,u u 来表示。近轴光的光路计算公式可直接由（来表示。近轴光的光路计算公式可直接由（1 1）式）式（4 4）式得到）式得到(8)(8)当光线平行于光轴时，（当光线平行于光轴时，（5 5）式变为：）式变为：由（由（6 6）式中可以看出，当）式中可以看出，当u u角改变角改变k k倍时，倍时，i,ii,i,u,u 亦相应改变亦相应改变k k倍，而倍，而l l 表示式中的表示式中的i i/u/u 保持不变，即保持不变，即l l 不随不随u u角的改变而改变。即表明由物点发出的一束角的改变而改变。即表明由物点发出的一束细光束经折射后仍交于一点，其像是完善像，称为高细光束经折射后仍交于
8、一点，其像是完善像，称为高斯像。高斯像的位置由斯像。高斯像的位置由l l 决定，通过高斯像点垂直于决定，通过高斯像点垂直于光轴的像面，称为高斯像面。构成物像关系的这一对光轴的像面，称为高斯像面。构成物像关系的这一对点，称为共轭点。点，称为共轭点。显然，对于近轴点，如下关系成立：显然，对于近轴点，如下关系成立：(7)(7)1.4 单个折射球面近轴区成像将（将（6 6）式中的第一、第四式）式中的第一、第四式i i和和i i 代入第二式，并利用代入第二式，并利用（8 8）式，可以导出以下三个重要公式：）式，可以导出以下三个重要公式：(11)(11)(10)(10)(9)(9)(13)(13)(12)
9、(12)若物点位于轴上左方无限远处，即物距若物点位于轴上左方无限远处，即物距l=l=，此时入，此时入射光线平行于光轴，经球面折射后交光轴于射光线平行于光轴，经球面折射后交光轴于F F点，如图点，如图所示。这个特殊点是轴上无限远物点的像点，称为球面所示。这个特殊点是轴上无限远物点的像点，称为球面的像方主焦点或第二焦点。从顶点的像方主焦点或第二焦点。从顶点O O到到F F 的距离称为第的距离称为第二主焦距，用二主焦距，用f f 表示。将表示。将l=l=代入（代入（1111）式可得）式可得一一.物像公式物像公式同理有球面的第一主焦点同理有球面的第一主焦点F F及第一主焦距及第一主焦距f f，且，且(
10、15)(15)(14)(14)二二.高斯公式和牛顿公式高斯公式和牛顿公式(17)(17)(16)(16)式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径有关，因而对式右端仅与介质的折射率及球面曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，它于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，它表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度，以表征球面的光学特征，称之为该面的光焦度，以 表示：表示：当当r以米为单位时，以米为单位时，的单位称为折光度，以字母的单位称为折光度，以字母D D表表示。例如，示。例如，n n=1.5=1.5，n=1.0n=1.0，r=100mmr=100mm的球面，的球面，=5
11、D.=5D.单折射球面两焦距和光焦度之间的关系为单折射球面两焦距和光焦度之间的关系为三三.光焦度光焦度作业作业(1):(1):一个折射率为一个折射率为1.51.5的玻璃哑铃，长为的玻璃哑铃，长为20cm20cm，两端，两端 的曲率半径为的曲率半径为2.0cm2.0cm若在离哑铃左端若在离哑铃左端.0cm.0cm处处 的轴上有一物点，试求象的位置和性质。的轴上有一物点，试求象的位置和性质。作业作业 习习 题：题：P277 P277 5-7预预 习：习：P257-259 单个折射球面成像性质单个折射球面成像性质 P262-263 球面反射成像球面反射成像再再 见见5.5 单个折射球面近轴区成像性质
12、(放大率公式)一、单折射球面近轴区成像光路图对对B B点的物点而言，点的物点而言，BBBB 相当于其光轴（辅轴）相当于其光轴（辅轴），那么，那么B B一定成像于一定成像于B B 点。点。ABAB上每一点都如此，那么，上每一点都如此，那么，A A B B 就就是是ABAB的完善像。的完善像。1.1.垂轴放大率垂轴放大率定义 相似于 利用若无界面 未成像，无意义注意：垂轴放大率是物截距 的函数，即物 点位于不同位置其 是不同的。或时时讨论:当 时 无折射面 正像,物像同方向,同号 倒像,物像逆方向,异号 同号物像虚实相反(物像同侧)异号物像虚实相同（物像异侧）放大，缩小 即无穷远物将在某点缩 为一
13、点2.2.轴向放大率轴向放大率 对于有一定体积的物体，除垂轴放大率外，其轴向也有尺对于有一定体积的物体，除垂轴放大率外，其轴向也有尺寸，故还有一个轴向放大率。轴向放大率是指光轴上的一寸，故还有一个轴向放大率。轴向放大率是指光轴上的一对共轭点沿轴移动量之间的关系。如果物点沿轴移动一微对共轭点沿轴移动量之间的关系。如果物点沿轴移动一微小量小量dldl，相应地像移动，相应地像移动dldl，轴向放大率用希腊字母，轴向放大率用希腊字母 表表示，定义为示，定义为则有则有 由此式可见，如果物体是一个沿轴放置的正方形，因垂轴放由此式可见，如果物体是一个沿轴放置的正方形，因垂轴放大率和轴向放大率不一致大率和轴向
14、放大率不一致,则其像不再是正方形。还可以看出，则其像不再是正方形。还可以看出，折射球面的轴向放大率恒为正值，这表示物点沿轴移动，其折射球面的轴向放大率恒为正值，这表示物点沿轴移动，其像点以同样方向沿轴移动。像点以同样方向沿轴移动。补充一点：一个沿轴向有一定厚度的物经成像后，其轴向一个沿轴向有一定厚度的物经成像后，其轴向 高度将不再与物相似。高度将不再与物相似。如图所示3.3.角放大率角放大率 在近轴区域内，通过物点的光线经过光学系统后，必然通过在近轴区域内，通过物点的光线经过光学系统后，必然通过相应的像点，这样一对共轭光线与光轴夹角相应的像点，这样一对共轭光线与光轴夹角u u 和和u u的比值
15、，的比值，称为角放大率，以希腊字母称为角放大率，以希腊字母表示表示利用关系式利用关系式,上式可写为上式可写为可得可得 4.4.三放大率之间的关系三放大率之间的关系 5.5.拉亥不变量拉亥不变量J J由公式由公式可得可得 此式称为拉格朗日此式称为拉格朗日-亥姆霍兹恒等式，简称拉亥公式。其亥姆霍兹恒等式，简称拉亥公式。其表示为不变量形式，表明在一对共轭平面内，成像的物高表示为不变量形式，表明在一对共轭平面内，成像的物高y y,成像光束的孔径角成像光束的孔径角u u 和所在介质的折射率和所在介质的折射率n n 三者的乘积三者的乘积是一个常数，用是一个常数，用J J 表示，称为拉格朗日表示，称为拉格朗
16、日亥姆霍兹不变量，亥姆霍兹不变量，简称拉亥不变量。简称拉亥不变量。5.6 单个球面反射成像反射定律可由折射定律在反射定律可由折射定律在在折射面的公式中，只要使在折射面的公式中，只要使便可直接得到便可直接得到时导出。因此，时导出。因此，反射球面的相应公式。反射球面的相应公式。一一.球面反射镜的物像位置公式球面反射镜的物像位置公式二二.球面反射镜的焦距球面反射镜的焦距该式表明球面反射镜的该式表明球面反射镜的二焦点重合。二焦点重合。三三.球面反射镜的高斯公式球面反射镜的高斯公式四四.球面反射镜的放大率公式球面反射镜的放大率公式该式表明，球面反射镜的轴向放大率永为该式表明，球面反射镜的轴向放大率永为负
17、值，当物体沿光轴移动时，像总以相反负值，当物体沿光轴移动时，像总以相反的方向沿轴移动。当物体经偶数次反射时，的方向沿轴移动。当物体经偶数次反射时，轴向放大率为正。轴向放大率为正。五五.球面反射情况下的拉亥不变量球面反射情况下的拉亥不变量例题例题:一个点状物体放在离凹球面镜前一个点状物体放在离凹球面镜前0.05m0.05m处，凹球面镜的曲处，凹球面镜的曲率半径为率半径为0.20m0.20m，试确定象的位置和性质，试确定象的位置和性质作业作业 习习 题：题：P277 P277 5-8,5-9,5-10,5-11,预预 习：习：P263-268 平面反射和平面折射平面反射和平面折射 P271-273 折射棱镜和光楔折射棱镜和光楔再再 见见