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1、第三节简单的逻辑联结词、全称量词 与存在量词1.命题p,q,pq,pq,p的真假关系p q pq pq p真 真 _ _ _真 假 _ _ _假 真 _ _ _假 假 _ _ _真 真 假假 真 假假 真 真假 假 真2.全称命题和特称命题(1)全称量词和存在量词:量词名称 常见量词 符号表示全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 _存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 _(2)全称命题和特称命题:命题名称 命题结构 命题简记全称命题 对M中任意一个x,有p(x)成立 _特称命题 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 _xM,p(x)x0M,p(x0)(3)全称命题和特称命题的否定:
2、命题 命题的否定xM,p(x)_x0M,p(x0)_x0M,p(x0)xM,p(x)判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)命题pq为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个假命题.()(2)命题pq为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个假命题.()(3)命题p,p可能都是真命题.()(4)如果一个全称命题是真命题,则这个命题就是一个一般性结论.()(5)如果一个特称命题是真命题,则这个命题就是一个一般性结论.()【解析】(1)正确.命题pq,只有当p,q同时为真时才是真命题,故命题pq为假命题的充要条件是命题p,q至少有一个假命题.(2)错误.命题pq,只有当p,q同时为假命题
3、时才是假命题.(3)错误.一个命题与其否定一定是一个为真命题、一个为假命题.(4)正确.由于全称命题是对任意对象都成立的一个命题,当全称命题为真时就是一个一般性结论.(5)错误.特称命题是对个别对象成立的命题,这个命题为真只是对个别对象为真,故其不是一个一般性结论.答案:(1)(2)(3)(4)(5)1.已知命题pq为假命题,下列结论正确的是()(A)pq为真命题(B)(p)q为真命题(C)p,q有且只有一个假命题(D)p,q至少有一个真命题【解析】选D.pq为假命题时,p,q可能一个真命题一个假命题,也可能两个都是假命题.故选项A,B,C中的结论都不正确;选项D中结论等价于p,q至少有一个假
4、命题,故正确.2.若命题“p且q”为假,且“p”为假,则()(A)“p或q”为假(B)q假(C)q真(D)p假【解析】选B.“p”为假,则p为真,而pq为假,得q为假.3.如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列四个结论:命题“p且q”是真命题;命题“p且q”是假命题;命题“p或q”是真命题;命题“p或q”是假命题.其中正确的结论是()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.“非p或非q”是假命题,可得“非p”与“非q”均为假命题,即p,q均为真命题,故结论正确.4.已知命题p:xR,sinx1,则()(A)p:x0R,sinx01(B)p:xR,sinx1(C)p:x0R,sinx01(D)p
5、:xR,sinx1【解析】选C.p是对p的否定,故有p:x0R,sinx01.5.命题“对一切非零实数x,总有x+2”的否定是,它是命题(填“真”或“假”).【解析】x0R,x00,x0+2,这个命题是真命题.例如,x=-2,则xR,x0,x+2.答案:x0R,x00,x0+2 真考向 1 含有逻辑联结词的命题的真假问题【典例1】(1)命题p:函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)内单调递减,命题q:函数f(x)=|sin2x|的最小正周期为,则下列命题为真命题的是()(A)pq(B)(p)q(C)pq(D)(p)(q)(2)已知命题p:方程x2-mx+1=0有实数解,命题q:x2-2x+
6、m0对任意x恒成立.若命题q(pq)真、p真,则实数m的取值范围是.【思路点拨】(1)首先判断命题p,q的真假,再根据含有逻辑联结词的命题真假判断方法逐项进行判断.(2)根据命题q(pq)真、p真可得命题p,q的真假,然后根据方程和不等式的知识得出m的取值范围.【规范解答】(1)选C.由f(x)=3x2-30,解得-1x1,故函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)内单调递减,即命题p为真命题;函数y=sin2x的最小正周期为,则函数f(x)=|sin2x|的最小正周期为,即命题q为假命题.由于p真、q假,故pq为假命题,pq为真命题;由于p假、q假,故(p)q为假命题;由于p假,q真,故(
7、p)(q)为假命题.(2)由于p真,所以p假,则pq假,又q(pq)真,故q真,即命题p假、q真.当命题p假时,即方程x2-mx+1=0无实数解,此时m2-40,解得-2m2;当命题q真时,4-4m1.所以所求的m的取值范围是1m2.答案:(1,2)【互动探究】本例题(2)中,命题p,q不变,若命题pq为真,则m的取值范围是.【解析】命题pq为真时,p,q至少有一个为真.若命题p真、q假,则m-2或m2,且m1,此时m-2;若命题p假、q真,则-2m1,此时1m1,此时m2.故命题pq为真时,m的取值范围是(-,-2(1,+).答案:(-,-2(1,+)【拓展提升】含逻辑联结词命题真假的等价关
8、系(1)pq真p,q至少一个真(p)(q)假.(2)pq假p,q均假(p)(q)真.(3)pq真p,q均真(p)(q)假.(4)pq假p,q至少一个假(p)(q)真.(5)p真p假;p假p真.【变式备选】已知命题p:x0R,使tanx0=,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2,下列结论:命题“pq”是真命题;命题“p(q)”是假命题;命题“(p)q”是真命题;命题“(p)(q)”是假命题.其中正确的是()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.命题p是真命题,命题q也是真命题.所以p,q是假命题,从而得都正确.考向 2 全称命题、特称命题的真假判断【典例2】(1)(2012福建高考)下列命
9、题中,真命题是()(A)x0R,0(B)xR,2xx2(C)a+b=0的充要条件是=-1(D)a1,b1是ab1的充分条件(2)下列命题为假命题的是()(A)xR,x2+x+10(B)x0R,+x0=1(C)a0R,f(x)=x3+a0 x在(-,+)单调递增(D)aR,f(x)=x2+ax+a存在零点【思路点拨】(1)根据函数、不等式等知识逐项分析即可.(2)只要根据不等式、函数、方程的知识进行推证即可,注意全称命题和特称命题为真的区别.【规范解答】(1)选D.根据指数函数性质,对xR,ex0为真,故其否定x0R,0为假,即选项A中的命题为假;根据指数函数与二次函数知识,在(-,-1)上2x
10、1,此时2x1,b1ab1,但反之不真,故选项D中的命题为真.(2)选D.由于x2+x+1=(x+)2+0对任意实数x恒成立,故选项A中的命题为真命题;令y=ex,y=-x+1,结合两个函数的图象可知这两个函数的图象存在公共点,故“x0R,+x0=1”为真命题;f(x)=3x2+a0,只要a00,f(x)0即在(-,+)上恒成立,函数f(x)=x3+a0 x即在(-,+)上单调递增,故选项C中的命题为真命题;由于=a2-4a,当0,即0a4时,函数f(x)=x2+ax+a不存在零点,故“aR,f(x)=x2+ax+a存在零点”是假命题.【拓展提升】全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称 真假
11、 判断方法一 判断方法二全称命题真 所有对象使命题真 否定为假假 存在一个对象使命题假 否定为真特称命题真 存在一个对象使命题真 否定为假假 所有对象使命题假 否定为真【变式训练】(1)下列命题中,真命题是()(A)m0R,使函数f(x)=x2+m0 x(xR)是偶函数(B)m0R,使函数f(x)=x2+m0 x(xR)是奇函数(C)mR,使函数f(x)=x2+mx(xR)都是偶函数(D)mR,使函数f(x)=x2+mx(xR)都是奇函数【解析】选A.当m0=0时,f(x)=x2是偶函数,故选A.(2)已知a0，函数f(x)=ax2+bx+c，若m满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项中的
12、命题为假命题的是()(A)x0R，f(x0)f(m)(B)x0R，f(x0)f(m)(C)xR，f(x)f(m)(D)xR，f(x)f(m)【解析】选C.由2am+b=0,得又a0，f(m)是函数f(x)的最小值,即xR，有f(x)f(m)，故选C.考向 3 含有一个量词的命题的否定【典例3】(1)(2012辽宁高考)已知命题p:x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,则p为()(A)x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(B)x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(C)x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(D)x1,x2R,(
13、f(x2)-f(x1)(x2-x1)0(2)“a0R,函数f(x)=是R上的奇函数”的否定是_.【思路点拨】(1)已知命题是一个全称命题,其否定是一个特称命题.(2)已知命题是一个特称命题,其否定是全称命题,注意“奇函数”的否定为“不是奇函数”.【规范解答】(1)选C.由于对任意的x1,x2R都有(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,要否定这个命题,则只要存在x1,x2R,使(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0不成立即可,即使得(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,故已知命题的否定是“x1,x2R,(f(x2)-f(x1)(x2-x1)0”.(2)“a0R，函数f(x)=是R上的奇
14、函数”的否定就是“aR，函数f(x)=不是R上的奇函数”.答案:aR，函数f(x)=不是R上的奇函数【拓展提升】对全(特)称命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定.(2)找到p(x)并否定.【变式训练】(1)已知命题p:n0N,1 000,则p为()(A)nN,2n1 000(B)nN,2n1 000(C)n0N,1 000(D)n0N,1 000,是特称命题,其否定为nN,2n1 000.(2)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()(A)所有不能被2整除的整数都是偶数(B)所有能被2整除的整数都不是偶数(C)存在一个不能被2整除的
15、整数是偶数(D)存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】选D.全称命题的否定为特称命题,即将“所有”变为“存在”,并且将结论进行否定.该命题的否定为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.【易错误区】命题的否定与否命题混淆致误【典例】(2012湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是()(A)任意一个有理数,它的平方是有理数(B)任意一个无理数,它的平方不是有理数(C)存在一个有理数,它的平方是有理数(D)存在一个无理数,它的平方不是有理数【误区警示】本题易出现的错误是:(1)把命题的否定与命题的否命题相混淆致误.(2)没有改写量词或未对结论进行否定.【规范解答】选B.否定“存
16、在一个无理数,它的平方是有理数”这个论断,只要对于所有的无理数,它的平方不是有理数,即“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.【思考点评】1.命题的否定与否命题的真假关系 命题的否定是否定这个命题作出的结论.否命题是指对“若p,则q”形式的命题,把否定的条件作条件、否定的结论作结论得出的形式上的命题“若p,则q”,这两个命题的真假没有必然的联系,但是一个命题及其否定中一定是一个为真一个为假.2.含有量词的命题的否定 对于全(特)称命题,在写出其否定时,都可从两个方面进行:一是对量词或量词符号进行改写.二是对命题的结论进行否定.两者缺一不可.1.(2013浏阳模拟)对于函数 下列命题中正确的是(
17、)(A)xR,f(x)=2(B)x0R,f(x0)=2(C)xR,f(x)2(D)x0R,f(x0)2【解析】选B.f(x)=当x=时，f(x)=2，故B正确.2.(2013福州模拟)下列关于命题的说法错误的是()(A)命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x2-3x+20”(B)“a=2”是“函数f(x)=logax在区间(0,+)上为增函数”的充分不必要条件(C)若命题p:n0N,300,则p:nN,en300(D)命题x0(-,0),是真命题【解析】选D.根据逆否命题的构成可知选项A中的说法正确；a=2函数f(x)=logax在区间(0,+)上为增函数，反之只要a
18、1即可，选项B中的说法正确；特称命题的否定是全称命题，选项C中的说法正确；根据指数函数性质，当x00时，选项D中的说法不正确.3.(2012安徽高考)命题“存在实数x,使x1”的否定是()(A)对任意实数x,都有x1(B)不存在实数x,使x1(C)对任意实数x,都有x1(D)存在实数x,使x1【解析】选C.“存在”的否定为“任意”,“x1”的否定是“x1”.4.(2013牡丹江模拟)在下列结论中,正确的为()(1)“pq”为真是“pq”为真的充分不必要条件(2)“pq”为假是“pq”为真的充分不必要条件(3)“pq”为真是“p”为假的必要不充分条件(4)“p”为真是“pq”为假的必要不充分条件
19、(A)(1)(2)(B)(1)(3)(C)(2)(4)(D)(3)(4)【解析】选B.pq为真时p,q均为真,此时pq一定为真,而pq为真时只要p,q至少有一个为真即可,故“pq”为真是“pq”为真的充分不必要条件,结论(1)正确;pq为假,可能p,q均假,此时pq为假,结论(2)不正确;pq为真时,可能p假,此时p为真,但p为假时,p一定为真,此时pq为真,结论(3)正确;p为真时,p假,此时pq一定为假,条件是充分的,但在pq为假时,可能p真,此时p为假,故“p”为真是“pq”为假的充分不必要条件,结论(4)不正确.1.下列选项叙述错误的是()(A)若p或q为假命题,则p,q均为假命题(B
20、)若命题p:xR,x2+x+10,则p:x0R,x02+x0+1=0(C)若pq为真命题,则p,q均为真命题(D)“x2”是“x2-3x+20”的充分不必要条件【解析】选C.选项A中,若p,q中有一个为真命题,则p或q为真命题,所以A正确;选项B中,根据全称命题的否定是特称命题,“不等于”的否定是“等于”可知是正确的;选项C中,根据“pq为真只要两个命题p,q至少一个为真”,可知叙述是不正确的;选项D中,由于不等式x2-3x+20的解是x2或者x2”是“x2-3x+20”的充分不必要条件.2.下列命题中的真命题是()(A)x0R,使得sin x0+cos x0=(B)x(0,+),exx+1(C)x0(-,0),(D)x(0,),sin xcos x【解析】选B.xR，sin x+cos x，故不存在x0R，使得sin x0+cos x0=，选项A中的命题不是真命题；设f(x)=ex-x-1，则f(x)=ex-10对于x(0,+)恒成立，故f(x)在(0,+)上单调递增，即f(x)f(0)=0，exx+1，选项B中的命题是真命题；根据指数函数的性质，在(-,0)上，2x3x，故不存在x0(-,0)，使得，选项C中的命题为假命题；当x=时，sin xcos x，故选项D中的命题是假命题.