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1、第六 章 数理统计的基本概念 总体与样本 直方图与经验分布函数 统计量及抽样分布1数理统计:是一门具有广泛应用的学科.它以概率论为理论基础,根据试验或观察得到的数据来研究随机现象,对所研究的对象的客观规律性作出合理的估计和推断.数理统计的内容:数据的收集,整理 统计推断26.1 总体与样本 1.总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项数量指标（如:某种灯泡的寿命,某种产品的合格率等)。更多的情况下,我们把全部可能的研究对象的数量指标的所有观察值称为总体.组成总体的元素称为个体。对总体的研究就是对某项数量指标（随机变量）的研究，实际上就是对该随机变量的概率分布进行研究从本质上讲，总体就是所研究
2、的随机变量或随机变量的分布。所以，我们一般用随机变量表示总体32.样本：来自总体的部分个体X1，Xn 如果满足：（1）同分布性：Xi，i=1,n与总体同分布.（2）独立性：X1，Xn 相互独立；则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本。而称X1，Xn 的一次实现为样本观察值，记为x1，xn 4来自总体X的随机样本X1，Xn可记为显然，样本联合分布函数或密度函数为或53.总体、样本、样本观察值的关系总体 样本 样本观察值 理论分布 统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察
3、值去推断总体6直方图设来自总体的一个样本为样本观察值为6.2 直方图与经验分布函数7(1)(1)对样本进行排序分组：作为一般性的原则，组对样本进行排序分组：作为一般性的原则，组数通常在数通常在520520个，对容量较小的样本个，对容量较小的样本;(2)(2)确定每组组距：近似公式为确定每组组距：近似公式为组距组距 t t=(=(最大观测值最大观测值 最小观测值最小观测值)/)/组数组数;(3)(3)确定每组组限确定每组组限：各组区间端点为各组区间端点为tt00,tt11=tt00+dd,tt22=tt00+2+2dd,ttkk=aa00+kdkd,形成如下的分组区间形成如下的分组区间(tt00
4、,t,t11,(,(tt11,tt22,(,(ttkk-1-1,ttkk具体步骤如下具体步骤如下:其中其中tt00 略小于最小观测值略小于最小观测值,ttkk 略大于最大观测值略大于最大观测值.8（）统计落在每个小区间的频数（）作频率直方图（）近似得概率密度曲线图 160 196 164 148 170 160 196 164 148 170 175 178 166 181 162 175 178 166 181 162 161 168 166 162 172 161 168 166 162 172 156 170 157 162 154 156 170 157 162 154例例 为研究某厂
5、工人生产某种产品的能力，为研究某厂工人生产某种产品的能力，我们随机调查了我们随机调查了2020位工人某天生产的该种产品位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下的数量，数据如下9大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流 大家有疑问的，可以询问和交流10 列出其频数频率分布表。组序 分组区间 组中值 频数 频率 累计频率(%)1(147，157 152 4 0.20 20 2(157，167 162 8 0.40 60 3(167，177 172 5 0.25 85 4(177，187 182 2 0.10 95 5(187，197 192 1 0.05 100合计 20 111
6、直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所关心变量的取值区间，纵坐标是频率/组距，它可使得诸长条矩形面积和为1。将直方图中每个长方形的“顶边”的中点用一条光滑的曲线连接起来，即得的分布密度函数的近似曲线12经验分布函数设 X1,X2,Xn 是取自总体分布函数为F(x)的样本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1),x(2),x(n)，则称 x(1),x(2),x(n)为有序样本，用有序样本定义如下函数 13则则FFnn(xx)是一非减右连续函数，且满足是一非减右连续函数，且满足FFnn()=0)=0 和和 FFnn()=1)=1由此可见，由此可见，FFnn(xx)是一个分布函数，是一个
7、分布函数，并称并称FFnn(xx)为经验分布函数。为经验分布函数。14例1 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上 随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克）351 347 355 344 354x(1)=344,x(2)=347,x(3)=351,x(4)=354,x(5)=355这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本：15其经验分布函数为由贝努里大数定律：由贝努里大数定律：只要只要 n n 相当大，相当大，FFnn(xx)依概率收敛于依概率收敛于FF(xx)。166.3 一、2分布数理统计中常用到如下三个分布：2分布、t 分布和F分布。172.2分布的密度函数f(x)183.分位点 设X 2
8、(n)，若对于：0 1，存在满足则称为分布的上侧分位数。194.性质a.分布可加性 若X 2(n)，Y 2(m),X,Y独立，则 X+Y 2(n+m)b.期望与方差 若X 2(n)，则E(X)=n，D(X)=2n1.构造 若XN(0,1),Y 2(n),X与Y独立，则的分布称为自由度为n的t分布。记为Tt(n)二、t分布20t(n)的概率密度为212.基本性质:(1)f(t)关于t=0(纵轴)对称。(2)f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即 3.分位点设Tt(n)，若对:00，满足PTt(n)=，则称t(n)为t(n)的上侧分位点22注:23三、F分布1.构造 若X 2(n1)，Y 2(n2)，X，Y独立，则 称为第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布,其概率密度为242.F分布的分位点对于：00，满足PFF(n1,n2)=，则称F(n1,n2)为F(n1,n2)的上侧分位点；25证明:设FF(n1,n2),则注：得证!266.4、统计量及抽样分布1.统计量 定义：称样本X1，Xn 的函数g(X1，Xn)是 总体X的一个统计量,如果g(X1，Xn)不含 未知 参数几个常用的统计量：273.样本k阶矩282.抽样分布证明:是n 个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布29(3)证明:且U与V独立,根据t分布的构造得证!3031323334