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1、教学设计标题：圆锥曲线光学性质的数学原理及其应用学情分析：圆锥曲线光学性质及其应用是教材中圆锥曲线章节末的阅读与思考内容，学生已经学习了椭圆、双曲线、抛物线的内容，掌握了圆锥曲线的概念、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，了解光的反射原理.教学目标：1.通过探究，能发现并证明圆锥曲线的光学性质，发展学生的直观想象，逻辑推理素养;2.能应用圆锥曲线的光学性质解决有关问题，发展学生分析问题，解决问题的能力.教学重难点：重点：圆锥曲线光学性质的数学原理及其应用难点：圆锥曲线光学性质的数学原理.教学过程：一、情景引入我们知道，当一束光线照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即入射角等于反射角.当光线从圆
2、锥曲线的一焦点射出，经曲线上的一点反射后，会发生什么现象？【师生活动】教师：(看到动画演示后) 当光线从圆锥曲线的一焦点射出，经曲线反射后，会发生什么现象？学生：从椭圆一焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线会交于椭圆另一个焦点上；从双曲线一焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的的延长线会交于双曲线的另一个焦点;从抛物线焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线会平行于抛物线的对称轴.教师：我们把上述性质称为圆锥曲线的光学性质，你能否从数学角度来解释圆锥曲线的光学性质呢？二、探究实验探究活动1如图，圆O的半径为定长r,A是圆O内一个定点，P是圆O上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相
3、交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？你能给出证明吗？你还有什么发现？【师生活动】教师手动操作，学生仔细观察思考.教师：(动画制作后) 点Q的轨迹是什么？学生：椭圆！教师：你能证明吗？学生：由于点Q在线段PA的垂直平分线上，由图可知，QA+QO=QP+QO=OP=r,且r|OA|,根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O、A两点为焦点的椭圆.教师：你还发现什么？学生：AP的垂直平分线l与椭圆相切，Q是切点.教师：你能给出证明吗？学生：有点难教师：直线与椭圆相切的定义是什么？学生：直线与椭圆只有一个交点.教师：显然，点Q已经是直线l和椭圆的交点了，你有什么想法？学生：那么只需要证明直线l 上除
4、了点Q在椭圆上外，没有其它的点在椭圆上了.教师：如何证明点是否在椭圆上？学生：用定义！教师：请你给出证明过程学生：如图所示，设M为l上任意一点，由于l为线段PA的垂直平分线，则有MO+MA=MO+MPPO=r，当且仅当M与Q重合时等号等成立.即证明AP的垂直平分线l与椭圆相切，Q是切点.教师:若过点Q作l的垂线，该垂线是否平分AQO?学生：如图所示，由于OQl=PQl=AQl,故可得l的垂线平分AQO.教师：当直线l斜率不存在时，是否也成立？学生：此时Q,O,A三点共线，还是可以认为l的垂线平分AQO.教师：由此你得到了一个关于椭圆的什么性质？学生经过讨论总结，教师板书：性质1设F1,F2为椭
5、圆的两个焦点，点P为椭圆上的任意一点，l为过点P且与椭圆相切的直线，则过点P且与l垂直的直线平分F1QF1.教师：你能否利用这个性质解释说明椭圆的光学性质？学生：如图，当光线从F1射入经椭圆上的点P反射时，过点P作椭圆的切线,过点P作切线的垂线，则该垂线就是光线反射的法线，根据性质1，该垂线平分F1PF2，故根据光的反射原理，光线从F1射入经点P反射后会经过F2.请同学们使用网络画板完成以下探究.探究活动2如图，将探究1中的定点A移动到圆O外，其他条件不变，点Q的轨迹是什么？你能给出证明吗？你还有什么发现？【师生活动】学生动手操作，发现点Q的轨迹为双曲线，经过小组讨论和论证，得到了一个关于双曲
6、线的性质：性质2设F1,F2为双曲线的两个焦点，点P为双曲线上的任意一点，l为过点P且与双曲线相切的直线，则l平分F1PF1.教师：你能否利用这个性质解释说明双曲线的光学性质？l学生：如图，当光线从F2射入经双曲线上的点P反射时，过点P作双曲线的切线,过点P作切线的垂线，则该垂线就是光线反射的法线，根据性质2，该切线l平分F1PF2，故根据光的反射原理，光线从F2射入经点P反射后的反射光线的延长线会经过F1.探究活动3如图，A为一定点，l为不经过点A的定直线，在直线l上任取一点P，过点P作l的垂线，连接AP，设线段AP的垂直平分线交l的垂线于点Q, 点Q的轨迹是什么？你能给出证明吗？你还有什么
7、发现？【师生活动】学生动手操作，发现点Q的轨迹为抛物线，经过小组讨论和论证，得到了一个关于抛物线的性质：性质3设F为抛物线的焦点，点P为抛物线上任意一点，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为H，l为过点P与抛物线相切的直线，则l平分F1PF1.教师：你能否利用这个性质解释说明抛物线的光学性质？学生：如图，当光线从F射入经抛物线上的点P反射时，过点P作抛物线的切线l,过点P作切线l的垂线，则该垂线就是光线反射的法线，根据性质3，切线l平分HPF，故根据光的反射原理，光线从F射入经点P反射后的反射光线平行于抛物线的对称轴(垂直于抛物线的准线).三、应用1.用圆锥曲线的光学性质解释说明下列问题.(1) 国家大剧院为什么设计成椭球形？椭圆空间的舞台和观众分别位于椭球形的两个焦点上，舞台在焦点处发出的光线和声音经椭圆反射后汇集在另外一个焦点上，给观众带来视觉和听觉的极致.(2) 汽车的内反光镜的镜面是双曲线形，为什么反光镜内的视野会更开阔？司机的眼睛位于双曲线的焦点处，远处的光经双曲线反射后汇集在焦点处，因此增加视觉范围.(3) 为什么卫星信号接收器的曲面要设计成抛物线面？根据抛物线的光学性质，远处的信号经抛物线反射后会汇集在抛物线的焦点处，以此来增加接收器的接收信息能力.学科网（北京）股份有限公司