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1、2019-2020年高中数学 4.1.1 定积分的背景面积和路程问题（一）教案 北师大选修 2-2教学过程:一、问题引入师：1.求下图中阴影部分的面积：师：对于哪些图形的面积，大家会求呢？（学生回忆，回答）师：对于，围成的图形（曲边三角形）的面积如何来求呢？（一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往比较好奇，激发他们的求知欲）今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。二、学生活动与意义建构1、让学生自己探求，讨论（34 分钟）2、让学生说出自己的想法希望学生说出以的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？希望学生讨论得出将曲边
2、三角形进行分割，形成若干个曲边梯形。（在讨论的过程中渗透分割的思想）师：如何计算每个曲边梯形的面积呢？（通过讨论希望学生能出以下三种方案，在讨论的过程中，让学生想到以直代曲，给学生创新的机会）方案一方案二方案三方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的面积就可以近视代替曲边梯形的面积。方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积。方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。（对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边”来代替“曲边”（即在很小的范围内以直代曲），这三
3、种方案是本节课内容的核心，故多花点时间引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直”的思想，从近似中认识精确，给学生探求的机会）师：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边三角形面积的近似值，（求和），并且分割越细，面积的近似值就越精确，当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求的曲边三角形的面积。如何求这个曲边三角形的面积，以方案一为例：分割细化将区间等分成个小区间，每个区间的长度为（学生回答），过各个区间端点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，它们的面积分别记作，。以直代曲对区间上的小曲边梯形，以区间左端点对应的函数值为一边的长，以为邻边的长的小矩形的面
4、积近似代替小曲边梯形的面积。即2111iiiSfxnnn（当分割很细时，在上任一点的函数值作为矩形的一边长都可以，常取左右端点或中点，这样为以后定积分的定义埋下了伏笔，为学生的解题提供了方法）作和因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积之和就是所求曲边三角形面积的近似值：（复习符号的运用）22231011nn逼近当分割无限变细时，即无限趋近于（趋向于）22233111111011121(1)(2)66nnnnnnnn当趋向时，无限趋近于，无限趋近于，故上式的结果无限趋近于，即所求曲边三角形面积是。（在逼近的过程中，难点是求222211231216nn nn在此应给学
5、生一些时间探求自然数的平方和，最好在讲数列知识时补充进去。新教材有很多知识点前后顺序编排的有所不妥，有好多知识应该先有伏笔，而不是要用到什么就补充什么，在研究解析几何中直线部分时，这个问题也有所体现）3、分成两组，分别以方案二、方案三按上述四个步骤重新计算曲边三角形的面积，并将操作过程和计算结果与方案一进行比较。（设计的目的是培养学生的合作交流的能力，优化解题方案）师：请用流程图表示求曲边三角形面积的过程4、反思在求曲边梯形面积过程中，你认为最让你感到困难的是什么？（如何分割，求和逼近是两大难点）（在新课程的课堂教学过程中，经常性地问学生一些这样的问题，可以让学生对自己的学习过程起到一个自查作
6、用，查漏补缺，对培养学生学习数学的自查意识是一个很好的途径，也可以活跃课堂气氛）三、数学应用1、典型例题师：在方案一中，和式12nfxxfxxfxx（*）表示曲边梯形的面积的近似值，这一和式不仅是有直观的几何意义，还有丰富的实际背景。例 1：火箭发射后的速度为（单位），假定，对函数按（*）式所作的和具有怎样的意义？解：将区间等分成个小区间，每个小区间的长度为，在每个小区间上取一点，依次为，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，可以用来代替火箭在第一个小区间上的速度，这样，火箭在第一个时段内运行的路程同理火箭在第二个时段内运行的路程从而12ninSv ttv ttv ttv tt火
7、箭在内运行的路程总和这就是函数在时间区间上按（*）式所作的和的实际背景。（由于学生初次遇到这类问题，语言表达比较困难，故教师在教学过程中最好采用对话式教学，边说边写，规范板书）例 2：如图，有两个点电荷、，电量分别为、，固定电荷将电荷从距为处移到距为处，求库仑力对电荷所做的功。先分析，再让学生尝试书写，然后投影解题过程。（设计两道例题的目的，一是培养学生的文字表达能力，二是让学生体会数学在物理上的应用，也为后面的定积分的物理意义变力所做的功，变速运动的位移埋下伏笔）学生练习：课本P46 练习四、回顾反思知识点：求曲边梯形面积的四个步骤；数学知识在物理上的应用。反思消化：对今天学习的内容，你觉得有什么困难？在以前的学习过程中，有哪些地方用到了与今天类似的方法？（希望学生能回忆起初中圆的周长、高中球的表面积以及线性回归方程等类似的内容）五、布置作业：1、探究：有没有不同于方案一、方案二、方案三的以直代曲的方案？2、课课练P41 1.2.