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1、2015 高三数学知识点汇总圆锥曲线部分一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于|21FF）的点的轨迹。第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(ee的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。注意：|221FFa表示椭圆；|221FFa表示线段21FF；|221FFa没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴 上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay参数方程(sincosbyax为参数)(sinco
2、saybx为参数)图形顶点),0(),0()0,(),0,(2121bBbBaAaA),0(),0()0,(),0,(2121aBaBbAbA对称轴x轴，y轴；短轴为b2，长轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),0(21cFcF焦距)0(2|21ccFF222bac离心率)10(eace（离心率越大，椭圆越扁）准线cax2cay2x O F1 F2 Py A2 B2 B1 x O F1 F2 Py A2 A1 B1 B2 A1 通径epab222（p为焦准距）焦半径0201|exaPFexaPF0201|eyaPFeyaPF焦点弦)(2|BAxxeaAB仅与它的中点的横坐标有关
3、)(2|BAyyeaAB仅与它的中点的纵坐标有关焦准距cbccap22二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的 差的绝对值等于常数（小于|21FF）的点的轨迹。第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(ee的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。注意：aPFPF2|21与aPFPF2|12（|221FFa）表示双曲线的一支。|221FFa表示两条射线；|221FFa没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心 在原点，焦点在y轴上标准方程)0(1222
4、2babyax)0(12222babxay图形顶点)0,(),0,(21aAaA),0(),0(21aBaB对称轴x轴，y轴；虚轴为b2，实轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),0(21cFcF焦距)0(2|21ccFF222bacx O F1 PB2 B1 F2 x O F1 F2 Py A2 A1 y 离心率)1(eace（离心率越大，开口越大）准线cax2cay2渐近线xabyxbay通径epab222（p为焦准距）焦半径P在左支0201|exaPFexaPFP在右支0201|exaPFexaPFP在 下支0201|eyaPFeyaPFP在上支0201|eyaPFeyaP
5、F焦准距cbcacp22（3）双曲线的渐近线：求双曲线12222byax的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得02222byax，因式分解得到。与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax；（4）等轴双曲线为222tyx，其离心率为2三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0p焦点在x轴上，开口向右焦点在x轴上，开口向左焦点在y轴上，开口向上焦点在y轴上，开口向下标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形顶点)0,0(OO FPy l
6、x O FPy lx O FPy lx x O FPy l对称轴x轴y轴焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF离心率1e准线2px2px2py2py通径p2焦半径2|0pxPF2|0pyPF焦点弦221sin2ppxx（当2时，为p2通径）焦准距p如：AB是过抛物线)0(22ppxy焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，lMN，N为垂足，lBD，lAH，D，H为垂足，求证：（1）DFHF；（2）BNAN；（3）ABFN；（4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN；（5）设),(),(2211yxByxA，则221pyy，22141pxx；（6）pFBFA2|1|1；（
7、7）DOA,三点在一条直线上（8）过M作ABME，ME交x轴于E，求证：|21|ABEF，|2FBFAME；四、圆锥曲线的统一定义：若平面内一个动点M到一个定点F和一条定直线l的距离之比等于一个常数)0(ee，则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点F为焦点，定直线l为准线，e为离心率。当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线。五、轨迹方程的求法：（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含yx,的 等式就得到曲线的轨迹方程。如：已知ABC底边BC的长为8，两底角之和为o135，求顶点且
8、的轨迹方程。（2）定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程。如：已知圆1622yx，定点)0,2(A，若P是圆上的动点，AP的垂直平分线交OP于R，求R的轨迹方程。（3）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），x O FAy lBNDMEQ H 可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单。如：AB是O的直径，且aAB2|，M为圆上一动点，作ABMN，垂足为N，在OM上取点P，使|MNOP，求点P的轨迹。（4）相关点法（代人法）：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；
9、如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。如：在双 曲线)0,0(12222babyax的 两 条渐近线 上分 别取 点A和B，使2|cOBOA（其中O为坐标原点，C为双曲线的半焦距），求AB中点的轨迹。（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程。常与参数法并用。如：己知两点)2,2(P，)2,0(Q以及一直线xyl:，设长为2的线段AB在直线l上运动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。（6）整体法（设而不
10、求法）：当探求的轨迹较复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成一个整体，从整体出发运用整体思想，注重整体结构的挖掘和分析。如：以)2,2(P为圆心的圆与椭圆myx222交于BA,两点，求AB中点M的轨迹方程。（7）参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标),(yx中的yx,分别随另一变量的变化而变化，称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可；在选择参数时，选 用的参变量要以具有某种物
11、理或几何的性质，如时间、速度、距离、角度，有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围 的对动点坐标取值范围的影响。注意：所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中yx,的取值范围。六、直线与圆锥曲线的位置关系：（1）会利用方程组解的状况确定直线与圆锥曲线的位置关系；解此类问题一般从直线与圆锥曲线联立的方程组的解的个数来入手。（要注意考虑二次项系数为零，思考此时几何意义），也通过图形进行讨论。（要注意的是：与对称轴、渐近线平行的情况）如：试确定实数A的不同取值，讨论直线)1(xky与双曲线4422yx的公共点的个数。（2）会求直线被圆锥曲线
12、所截的弦长，弦的中点坐标：解决此类问题时，由于直线和圆锥曲线相交，故其方程组的0（尤其含有待定的系数是否则会增解）；涉及到中点坐标，要注意韦达定理的应用，而韦达定理的前提条件是0。如：设抛物线经过两点)6,1(和)2,1(，对称轴与x轴平行，开口向右，直线72xy被抛物 线截得的线段长是104，求抛物线方程。（3）当直线与圆锥曲线相交时，求在某些给定条件下地直线线方程；解此类问题，一般是根据条件求解，但要注意0条件的应用。如：已知抛物线方程为xy22在y轴上截距为2 的直线l与抛物线交于NM,两点，且以NM,为径的圆过原点，求直线l的方程。（4）圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法：圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，得到关系式而求解。如：抛物线)0(12aaxy上有关于0yx对称的相异两点，求a的取值范围。