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1、-一、数列.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项 数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”,而不强调有“规律”因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列.在数列中同一个数可以重复出现.项 an与项数 n 是两个根本不同的概念.数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列na的第n项与序号之间可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(nfan.递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项），且任何一项n
2、a与它的前一项1na(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即)(1nnafa或),(21nnnaafa,那么这个式子叫做数列na的递推公式 如数列na中,12,11nnaaa,其中12nnaa是数列na的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式 nnaaaS21；)2()1(11nSSnSannn.数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.数列的分类:有穷数列，无穷数列；递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.递增数列:对于任何Nn，均有nnaa 1.递减数列:对于任何Nn,均有nnaa 1.摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1 常数数列：例如：6,6,6,6，
3、.有界数列:存在正数M使NnMan,.无界数列：对于任何正数M,总有项na使得Man、已知*2()156nnanNn,则在数列na的最大项为_（答：125);、数列na的通项为1bnanan，其中ba,均为正数,则na与1na的大小关系为_(答：na 1na）；3、已知数列na中，2nann，且na是递增数列，求实数的取值范围(答:3）；、一给定函数)(xfy 的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1a，由关系式)(1nnafa得到的数列na满足)(*1Nnaann，则该函数的图象是（）（答：A）-二、等差数列 1、等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那
4、 么 这 个 数 列 叫 做 等 差 数 列，这 个 常 数 叫 等 差 数 列 的 公 差。即)2,*(1nNndaann且.(或)*(1Nndaann）.2、（)等差数列的判断方法：定义法：)(1常数daannan为等差数列。中项法:aaannn212an为等差数列。通项公式法：banan（,b 为常数)an为等差数列。前 n 项和公式法：BnnAsn2(A，B 为常数)an为等差数列。如设na是等差数列，求证:以n=naaan21*nN为通项公式的数列nb为等差数列。(2）等差数列的通项：1(1)naand 或()nmaanm d。公式变形为:banan.其中 a=d,b a1d.如 1
5、、等差数列na中，1030a,2050a,则通项na （答:210n）;2、首项为24 的等差数列,从第 1项起开始为正数,则公差的取值范围是_(答：833d）(3）等差数列的前n和：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad。公式变形为：BnnAsn2，其中 A2d,B21da.注意:已知 n，a1,an,sn中的三者可以求另两者,即所谓的“知三求二”。如 数列 na中,*11(2,)2nnaannN，32na，前项和152nS ,则1a_，n=_(答:13a ，10n)；（2)已知数列 na的前 n 项和212nSnn,求数列|na的前n项和nT(答:2*2*12(6,)1272(
6、6,)nnnnnNTnnnnN).-（4)等差中项：若,a A b成等差数列,则叫做a与b的等差中项,且2abA。提醒：(1）等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到个元素:1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意个,便可求出其余 2 个,即知 3求 2。(2)为 减 少 运 算 量，要 注 意 设 元 的 技 巧，如 奇 数 个 数 成 等 差,可 设为 ,2,2ad ad a ad ad（公 差 为d)；偶 数 个 数 成 等 差,可 设为,3,3ad ad ad ad,（公差为 2d)等差数列的性质：(1）当公差0d 时,等差数列的通项公式11
7、(1)naanddnad 是关于n的一次函数,且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为 0.等差数列n中，nSn是的一次函数,且点(n,nSn）均在直线 y=2dx+(a1-2d）上(2)若公差0d，则为递增等差数列,若公差0d,则为递减等差数列,若公差0d,则为常数列。(3)对称性:若an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当mnpq 时，则有qpnmaaaa,特别地,当2mnp 时，则有2mnpaaa.如、等差数列na中,12318,3,1nnnnSaaaS，则n_(答:27）;2、在等差数列na中,1011
8、0,0aa，且1110|aa，nS是其前n项和，则 A、1210,S SS都小于 0,1112,SS都大于 B、1219,S SS都小于 0，2021,SS都大于 0 C、125,S SS都小于,67,SS都大于 0 D、1220,S SS都小于 0，2122,SS都大于0(答:B）(）项数成等差，则相应的项也成等差数列即),.(,*2Nmkaaamkmkk成等差.若na、nb是 等差 数列,则nka、nnkapb（k、p是非零 常数）、*(,)p nqap qN、232,nnnnnSSSSS(公差为dn2),也成等差数列，而naa成等比数列；若na是等比数列，且0na,则lgna是等差数列-
9、如 等差数列的前 n 项和为 25，前 2项和为00，则它的前 3和为 。（答:2）(5)在 等 差 数 列na中，当 项 数 为 偶 数2n时，)(1aannnns；ndss奇偶;aannss1奇偶.项数为奇数21n时,annns)12(12;ass1奇偶；nnss1奇偶。如 1、在等差数列中,S11=2,则6a_(答:2）；2、项数为奇数的等差数列na中,奇数项和为，偶数项和为,求此数列的中间项与项数（答：5；).(）单调性：设 d 为等差数列an的公差,则 d0an是递增数列;d0an是递减数列;d=0an是常数数列(7）若 等 差 数 列na、nb的 前n和 分 别 为nA、nB，且(
10、)nnAf nB,则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB.如设na 与 nb 是两个等差数列,它们的前n项和分别为nS和nT,若3413nnTSnn,那么nnba_(答:6287nn)（8）设 al，am，an为等差数列中的三项，且l与 am，m与 an的项距差之比nmml=(1），则 am1nlaa(）在等差数列 n中，Sn a，Sm=b(n m)，则nm=mnmn(a-b)8、已知an成等差数列,求sn的最值问题:若01a，d0 且满足0,01aann,则sn最大；-若01a,d0 且满足0,01aann,则sn最小.“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是
11、所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中,前n项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组000011nnnnaaaa或确定出前多少项为非负(或非正）;法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想?（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗?如 1、等差数列na中,125a，917SS，问此数列前多少项和最大?并求此最大值。（答:前 13 项和最大，最大值为69)；2、若na是等差数列，首项10,a 200320040aa，200320040aa，则使前项和0nS 成立的最大正整数 n 是 （答：4
12、6)(10)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项,其项数不一定相同，即研究nmab -三、等比数列 1、等比数列的有关概念：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比。即)2,(*1nnqNaann（或)(*1Naanqnn 2、等比数列的判断方法：定义法1(nnaq qa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。如 1、一个等比数列na共有21n项,奇数项之积为 10,偶数项之积为 12,则1na为_
13、（答：56);2、数列na中,nS1na+1（2n)且1a=1,若nnnaab21,求证：数列nb是等比数列。3、等比数列的通项：11nnaa q或n mnmaa q。如 设等比数列na中,166naa，21128na a,前n项和nS16，求n和公比q.(答：6n，12q 或 2)、等比数列的前n和:当1q 时,1nSna；当1q 时，1(1)1nnaqSq11naa qq。如 等比数列中,q,9=77，求9963aaa(答:44）提醒:等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等比数列前n项和时,首先要判断公比q是否为 1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为 1 时，要对
14、q分1q 和1q 两种情形讨论求解。5、等比中项:如果a、G、b三个数成等比数列，那么G 叫做与的等比中项,即Gab 提醒：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数,()a b ab的等差中项为 A,等比中项为 B，则 A 与 B 的大小关系为_-(答:AB)提醒：（1)等比数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到个元素:1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；(2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比,可设为,22,aaa aq aqqq（公比为q);但
15、偶数个数成等比时，不能设为33,aqaqqaqa,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和为 1，求此四个数。(答：1,3,或 0,4，8,16)6、等比数列的性质:(1)对称性:若an是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当mnpq 时，则 有qpnmaaaa.，特 别 地，当2mnp 时，则 有2.pnmaaa 如 1、在 等比数列na中，3847124,512aaa a,公比 q 是整数，则10a=_(答：51)；、各项均为正数的等比数
16、列na中，若569aa,则3132310logloglogaaa (答:0)。（2)若 an是公比为 q 的等比数列，则 an|、a2n、n、na1也是等比数列，其公比分别为|q|、q2、q1。若 nnab、成等比数列,则nna b、nnab成等比数列；若na是等比数列,且公比1q ，则数列232,nnnnnSSSSS，也是等比数列。当1q ,且n为偶数时，数列232,nnnnnSSSSS,是常数数列，它不是等比数列.若an是等比数列，且各项均为正数,则 analog成等差数列。若项数为3的等比数列(q 1）前项和与前 n 项积分别为1与1,次 n 项和与次 n 项积分别为2与 T2,最后项和
17、与 n 项积分别为 S3与 T3，则 S1,2，S3成等比数列，T1,T2，T3亦成等比数列-如 1、已 知0a 且1a,设 数 列nx满 足1log1logananxx(*)nN，且12100100 xxx，则101102200 xxx .(答:100100a);2、在等比数列na中，nS为其前 n 项和,若140,1330101030SSSS，则20S的值为_（答:4）(3)单调性:若10,1aq,或10,01aq 则na为递增数列;若10,1aq,或10,01aq 则na为递减数列;若0q，则na为摆动数列；若1q,则na为常数列.(4)当1q 时,baqqaqqaSnnn1111，这里
18、0ab,但0,0ab,这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据nS,判断数列na是否为等比数列。如若na是等比数列,且3nnSr,则r=（答：1）(5）mnm nmnnmSSq SSq S.如设等比数列na的公比为q，前n项和为nS，若12,nnnSSS成等差数列，则q的值为_(答：-)（6）在等比数列na中,当项数为偶数2n时,SqS偶奇;项数为奇数21n时,1SaqS 奇偶.(7)如果数列na既成等差数列又成等比数列,那么数列na是非零常数数列，故常数数列na仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列na的前n项和为nS(Nn），关于数列na有下列三个命题：若)
19、(1Nnaann，则na既是等差数列又是等比数列；若RbanbnaSn、2，则na是等差数列；若 nnS11，则na是等比数列。这些命题中,真命题的序号是 （答：）等差数列中,+=Sm+md;等比数列中,S+=SnqSm=S+qmn；-四、难点突破 1.并不是所有的数列都有通项公式,一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一.已知一个数列的前几项,这个数列的通项公式更不是唯一的.2等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第项起”,二是“每一项与它前一项的差（比）等于同一个常数”这里的“从第 2 项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有 3 项所以,一个数列是等
20、差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有 3 项.3数列的表示方法应注意的两个问题：n与 an是不同的，前者表示数列 a1，a2，,n,，而后者仅表示这个数列的第 n 项；数列 a1，a2,，an，,与集合 a1，a2，,an，不同,差别有两点：数列是一列有序排布的数,而集合是一个有确定范围的整体;数列的项有明确的顺序性,而集合的元素间没有顺序性.4注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别,即:对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为 S,则通常设，aq2,q1,a,aq，aq2,;对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为，则通常设,aq3,aq1，a,a 3，5.一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为 0,因此,在研究等比数列时，要注意n0,因为当 an 0 时,虽有 a2n a1n 1n成立，但an不是等比数列,即“2=a c”是 a、c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列an，“b=a+”是、b、成等差数列的充要条件,这一点同学们要分清.6.由等比数列定义知，等比数列各项均不为 0，因此,判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”.等比数列的前 n 项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分 q=1 和 q进行分类讨论，在具体运用公式时,常常因考虑不周而出错.