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1、试 题 六 （考试时间：120 分钟）一、单项选择题题（每小题 4 分，共 24 分）1.设,A B是 3 阶方阵，已知1,2AB=，则行列式20AAB=（）.(A)16 (B)16 (C)4 (D)4 2.已知12,是线性方程组Axb=的两个解，则（）.(A)12+是0Ax=的解 (B)12 是Axb=的解(C)12+是Axb=的解 (D)12 是0Ax=的解 3.n 阶矩阵A有 n 个不同特征值是A与对角矩阵相似的（）.(A)充分必要条件 (B)充分但不必要的条件(C)必要但不充分的条件 (D)既不充分也不必要的条件 4.矩阵123010023A=的特征值是（）.(A)1，2，3 (B)1
2、，1，2 (C)1，1，3 (D)1，-1，3 5.设A是一个 3 阶实对称矩阵，123,分别为A的 1 阶，2 阶，3 阶顺序主子式，则A为负定矩阵的充要条件是（）.(A)1230,0,0 (C)1230,0,0 6.设(1,2,3,4),=(4,3,2,1)=，下列命题不成立的是（）.(A)与正交 (B),线性相关.(C)T2()O=(D)=二、填空题（任选四个小题，每小题 4 分，共 16 分）1.若对于任意n维列向量x，均有0Ax=，则A=.2.如果矩阵m nA与s tB满足ABBA=，则,m n s t应满足的条件是 .3.若向量组123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,
3、1,2,1)a=+的秩为 2，则a=.4.设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩5 3()2R A=，12,是该方程组的两个解且有12+=T(2,6,0),1223+=T(10,5,15)，则该方程组的通解为 .5.用 MATLAB 计算矩阵的行列式的程序为L,U=lu(A)，dU=diag(U);A=.三、（14 分）设线性方程组1231232123 0 20 40 xxxxxaxxxa x+=+=+=与方程 12321xxxa+=有公共解，求a的值及所有公共解.四、（10 分）设 3 阶矩阵,A B满足ABAB+=.（1）证明AE可逆，并求其逆；（2）若B=130210002，求矩阵A.五、（1
4、2 分）已知二次型222123123121323(,)222f x xxxxxax xx xbx x=+经正交变换化成标准形22232fyy=+.（1）求,a b之值；（2）求出化该二次型为标准形的正交变换.六、（6 分）设x为 n 维列向量,且T1x x=，T2HExx=,求证H是对称的正交阵.（在七、八、九题中任选二题）七、（9 分）计算行列式 111122223333naaDannnna+=+LLLMMMOML 八、（9 分）（1）请叙述程序U0,ip=rref(A)的意义及作用.（2）写出求 3 阶矩阵A的特征值与特征向量的程序.九、（9 分）设3中的两组基为T1(1,1,1)=，T2
5、(1,0,1)=，T3(1,0,1)=和T1(1,2,1)=，T2(2,3,4)=，T3(3,4,3)=.(1)求从基123,到基123,的过渡矩阵为A.(2)求向量1232=+在基123,下的坐标.条件既不充分也不必要的条件矩阵的特征值是设是一个阶实对称矩阵分别为的阶阶阶顺序主子式则为负定矩阵的充要果矩阵与满足则应满足的条件是若向量组的秩为则设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩是该方程组的两个解且有则该阵满足证明可逆并求其逆若求矩阵五分已知二次型经正交变换化成标准形求之值求出化该二次型为标准形的正交变换试题六参考答案 一、单项选择题题（每小题 4 分，共 24 分）1 设,A B是 3 阶方阵，
6、已知1,2AB=，则20AAB=（A）(A)16 (B)16 (C)4 (D)4 2.已知12,是线性方程组Axb=的两个解，则（D ）(A)12+是0Ax=的解 (B)12 是Axb=的解(C)12+是Axb=的解 (D)12 是0Ax=的解 3.n 阶矩阵A有 n 个不同特征值是A与对角矩阵相似的（B ）(A)充分必要条件 (B)充分但不必要的条件(C)必要但不充分的条件 (D)既不充分也不必要的条件 4.矩阵123010023A=的特征值是（C）(A)1，2，3 (B)1，1，2 (C)1，1，3 (D)1，-1，3 5.设A是一个 3 阶实对称矩阵，123,分别为A的 1 阶，2 阶，
7、3 阶顺序主子式，则A为负定矩阵的充要条件是（C）.A)1230,0,0 (C)1230,0,0 6.设(1,2,3,4),=(4,3,2,1)=，下列命题不成立的是（B）(A)与正交 (B),线性相关 (C)T2()O=(D)=二、填空题（任选四个小题，每小题 4 分，共 16 分）1.若对于任意n维列向量x，均有0Ax=，则A=0 .2.如果矩阵m nA与s tB满足ABBA=，则,m n s t应满足的条件是 mnst=.3.若向量组123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1)a=+的秩为 2，则a=-1 .4.设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩R（5 3A）=2，12
8、,是该方程组的两个解且有12+=T(2,6,0),1223+=T(10,5,15)，则 该 方 程 组 的 通 解 为 (1,2,3)(1,3,0)TTk+.条件既不充分也不必要的条件矩阵的特征值是设是一个阶实对称矩阵分别为的阶阶阶顺序主子式则为负定矩阵的充要果矩阵与满足则应满足的条件是若向量组的秩为则设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩是该方程组的两个解且有则该阵满足证明可逆并求其逆若求矩阵五分已知二次型经正交变换化成标准形求之值求出化该二次型为标准形的正交变换5.用 MATLAB 计算矩阵的行列式的程序为 det（A）.三、（14 分）设线性方程组1231232123 0 20 40 xxxx
9、xaxxxa x+=+=+=与方程 12321xxxa+=有公共解，求a的值及所有公共解.【解】联立，得1231232123123 0 20 4021xxxxxaxxxa xxxxa+=+=+=+=2分 对的增广矩阵施行行变换，得101101010011000(1)(2)aaaaaa 7分 因，有公共解，所以(1)(2)0aa=，即1a=或2a=9分 当1a=时，所求公共解为(1,0,1,)Txk=。12分 当2a=时，所求公共解为(0,1,1)Tx=14分 四、（10 分）设 3 阶矩阵,A B满足ABAB+=.（1）证明AE可逆，并求其逆；（2）若B=130210002，求矩阵A.【解】（
10、1）因ABAB+=，所以()BABAA BE=3分 从而()()AEBEE=，即AE可逆，其逆为BE 5分(2)由（1）知，BE可逆，且1()AEBE=+8分 所以1111021000301()010200103001001002AEBE =+=+=-10分 条件既不充分也不必要的条件矩阵的特征值是设是一个阶实对称矩阵分别为的阶阶阶顺序主子式则为负定矩阵的充要果矩阵与满足则应满足的条件是若向量组的秩为则设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩是该方程组的两个解且有则该阵满足证明可逆并求其逆若求矩阵五分已知二次型经正交变换化成标准形求之值求出化该二次型为标准形的正交变换五、（12 分）已知二次型2221
11、23123121323(,)222f x xxxxxax xx xbx x=+经正交变换化成标准形22232fyy=+.（1）求,a b之值；（2）求出化该二次型为标准形的正交变换。【解】（1）二次型f的矩阵为11111aAabb=，2分 由题设知，A的特征值为 0，1，2，所以0A=，0EA=，20EA=，解得 0ab=5分（2）当10=时，解齐次方程组0Ax=，得基础解系1(1,0,1)=，当21=时，解齐次方程组()0EA x=，得基础解系2(0,1,0)=，当32=时，解齐次方程组(2)0EA x=，得基础解系1(1,0,1)=.-8分 单位化123,得，1111(1,0,1)22e=
12、，22(0,1,0)e=，3311(1,0,1)22e=10分 故化该二次型为标准形的正交变换为 1122331102201011022xyxyxy =12分 六、（6 分）设x为 n 维列向量，且T1x x=，T2HExx=,求证H是对称的正交阵.【证】因T TT(2)2THExxExxH=，所以H是对称的矩阵.2 分 又 TTTTTTTT(2)(2)44 =44()TH HExxExxExxxx xxExxx x x xE=+=5分 所以，H是对称的正交阵.6分（在七、八、九题中任选二题）条件既不充分也不必要的条件矩阵的特征值是设是一个阶实对称矩阵分别为的阶阶阶顺序主子式则为负定矩阵的充要
13、果矩阵与满足则应满足的条件是若向量组的秩为则设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩是该方程组的两个解且有则该阵满足证明可逆并求其逆若求矩阵五分已知二次型经正交变换化成标准形求之值求出化该二次型为标准形的正交变换九、（9 分）设3中的两组基为T1(1,1,1)=，T2(1,0,1)=，T3(1,0,1)=和T1(1,2,1)=，T2(2,3,4)=，T3(3,4,3)=.(1)求从基123,到基123,的过渡矩阵为A.(2)求向量1232=+在基123,下的坐标.【解】（1）设123123(,)(,)A =，则 11123123111123(,)(,)100234111143A =2 分 七、（9 分
14、）计算行列式 111122223333naaDannnna+=+LLLMMMOML【解】11112222(1)33332nan nDaannnna+=+LLLMMMOML 4分1111000(1)0002000an naaa+=+LLLM M M OML -7 分=1(1)2nn na a+9分 八、（9 分）（1）请叙述命令U0,ip=rref(A)的意义及作用；（2）写出求 3 阶矩阵A的特征值与特征向量的程序.【解】（1）U0,ip=rref(A)是将矩阵A 化为行最简阶梯形的命令，ip 指出了矩阵 A 的基准元素（首非零元素）所在的列数。它可以用作解方程组；判断向量组的线性相关性；求向
15、量组的极大无关组；求矩阵的逆；求矩阵的秩等。（5分）（2）clear 输入矩阵 A V,D=eig(A)%矩阵D 为矩阵 A的特征值构成的对角阵，矩阵 V的向为矩阵A与特征值D对应的特征向 -9分 或者 clear 输入矩阵 A f=poly(A),%求特征多项式 r=roots(f)，%求特征值 -7 分 B1=r(1)*eye(3)-A；%求特征值向量 P1=null(B1,r)B2=r(2)*eye(3)-A;P2=null(B2,r)B3=r(3)*eye(3)-A;P3=null(B3,r)-9分 条件既不充分也不必要的条件矩阵的特征值是设是一个阶实对称矩阵分别为的阶阶阶顺序主子式则
16、为负定矩阵的充要果矩阵与满足则应满足的条件是若向量组的秩为则设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩是该方程组的两个解且有则该阵满足证明可逆并求其逆若求矩阵五分已知二次型经正交变换化成标准形求之值求出化该二次型为标准形的正交变换111112302012323411002341012340102111143121143101 =6分（2）已知向量1232=+在基123,的坐标T(1,2,1)Y=，7 分 所以向量1232=+在基123,下的坐标为 234100102210112 =-9分 条件既不充分也不必要的条件矩阵的特征值是设是一个阶实对称矩阵分别为的阶阶阶顺序主子式则为负定矩阵的充要果矩阵与满足则应满足的条件是若向量组的秩为则设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩是该方程组的两个解且有则该阵满足证明可逆并求其逆若求矩阵五分已知二次型经正交变换化成标准形求之值求出化该二次型为标准形的正交变换