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1、相交线与平行线知识点总结、例题解析 知识点 1【相交线】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：平行和相交 1、相交线 相交线的定义：两条直线交于一点，我们称这两条直线相交相对的，我们称这两条直线为相交线 知识点 2【对顶角和邻补角】两条相交线在形成的角中有对顶角和邻补角两类，它们具有特殊的数量关系和位置关系。1、邻补角（1）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角如图，1 与2 有一条公共边 OD，它们的另一条边 OA、OB互为反向延长线，则1 与2 互为邻补角 （2）邻补角的性质：邻补角互补，即和为 180。例如：若1 与2
2、互为邻补角，则1+2=180 注意：互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角；相交的两条直线会产生 4 对邻补角。2、对顶角（1）对顶角的概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角 如图，3 与4 有一个公共顶点O，并且3 的两边 OB、OC分别是4 的两边 OA、OD的反向延长线，则1 与2 互为 对顶角 （2）对顶角的性质：对顶角相等 注意：两条相交的直线，会产生 2 对对顶角。3、邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角对顶角只有一个，但邻补角有两个邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一
3、种位置关系它们都是在两直线相交的前提下形成的 注意：如果多条直线相交于同一点，那么产生的邻补角的数量是对顶角的 2 倍。【例题 1】如图所示,1 的邻补角是()A、BOC B、BOE和AOF C、AOF D、BOC和AOF 【解析】据相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断，1 是直线 AB、EF相交于点 O形成的角,所以它的邻补角与直线 CD无关,即它的邻补角是BOE和AOF，故选B【答案】B 【例题 2】下面四个图形中,1 与2 是邻补角的是()【答案】D 【例题 3】如图所示,1 和2 是对顶角的图形有()A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 【解析】考察对顶角的概念【答案】A 【
4、例题 4】下列说法中:因为1 与2 是对顶角,所以1=2;因为1 与2 是邻补角,所以1=2;因为1 与2 不是对顶角,所以12;因为1 与2 不是邻补角,所以1+2180，其中正确的有_(填序号)【解析】对顶角、邻补角【答案】【例题 5】如图 1，直线 AB、CD、EF都经过点 O，图中有几对对顶角？几对邻补角？【解析】考察对顶角的概念。AB和 CD可以形成 2 对对顶角，CD和 EF可以形成 2 对对顶角，AB和 EF可以形成 2 对对顶角，共 6 对对顶角，邻补角的个数是对顶角的 2 倍，邻补角为 12对【答案】6 对；12 对 【例题 6】（1）已知1 与2 是对顶角,1 与3 是邻补
5、角,则2+3=_（2）若与是对顶角，的补角是 35,则的度数为_（3）若1 的对顶角是2，2 的邻补角是3，3=45，则1 的度数为_【解析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解。【答案】（1）180 （2）135 （3）135 【例题 7】如图,直线 AB、CD相交于点 O，BOD分成两部分(1)直接写出图中AOC的对顶角为_,BOE的邻补角为_(2)若AOC=70,且BOE:EOD=2:3,求AOE 的度数。【答案】(1)BOD;AOE (2)152 【例题 8】如图 1-2，若AOB与BOC是一对邻补角，OD平分AOB，OE在BOC内部，并且BOE=12COE，DOE=72。求COE的度
6、数.【解析】设EOB=x度，EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立 x 的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法。设EOB=x，则EOC=2x，根据AOB+BOC=180（等量关系），AOB=2 BOD=2（72-x），BOC=BOE+EOC=3x，解得 x=36，故EOC=2x=72【答案】72 【例题 9】回答下列问题：（1）三条直线 AB，CD，EF相交于一点 O（如图 1），图形中共有几对对顶角（平角除外）？几对邻补角？（2）四条直线 AB，CD，EF，GH相交于点 O（如图 2），图形中共有几对对顶角（平角除外）？几对邻补角？（3）m条直线 a1，a2，a3，am-1，am相
7、交于点 O，则图中一共有几对对顶角（平角除外）？几对邻补角？【解析】本题考查了对顶角、邻补角的定义。（1）根据对顶角、邻补角的定义得到 32=6 对对项角，12 对邻补角；（2）根据对顶角、邻补角的定义得到 43=12 对对项角，24 对邻补角；（3）根据前面的规律得到：有 n 条不同直线相交于一点，可以得到 n（n-1）对对顶角，2n（n-1）对邻补角【答案】（1）有 6 对对顶角，12 对邻补角；（2）有 12 对对顶角，24 对邻补角；（3）由 m条直线时，有 m（m-1）对对顶角，2n（n-1）对邻补角；知识点 3【垂线】1、垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，
8、就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如图：ABCD，垂足为 O。垂直的符号记作：“”，读作：“垂直于”，如：AB CD，读作“AB垂直于 CD”注：垂直是特殊的相交 2、垂线的画法(工具:三角板或量角器)步骤：(1)一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上(2)二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上(3)三画:沿着这条直角边画线,不要画成给人的印象是线段的线 2、垂线的性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 注意：“过一点”的点在直线上或直线外都可以 3、垂线段 （1）垂线段：从直线 l 外一点 P向直线 l 作垂线,垂足记为 O
9、,则线段 PO叫做点 P到直线 l的垂线段。（2）垂线段的性质：垂线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。注意：实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择 现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。4、点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形 【例题 10】两点之间,直线最短；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂
10、线段l 最短;连接两点的线段,叫做两点的距离；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离;若 AC=BC，则点 C必定是线段 AB的中点。其中正确的序号是_【解析】两点之间,直线最短,说法错误,应是线段最短;连接两点的线段,叫做两点的距离,说法错误,应是连接两点的线段的长度,叫做两点的距离。【答案】【例题 11】下列判断正确的是（）.A、从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；B、过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离；C、画出已知直线外一点到已知直线的距离；D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.【解析】A垂线段的长度；B
11、垂线无限长；C 距离只能测量或求出，不能说画出，画出的是图形，比如线段、直线。【答案】D 【例题 12】如图所示,在这些图形中,分别过点 C画直线 AB的垂线,垂足为 O 【答案】解如图所示 【例题 13】如图,BCAC,CB=8cm,AC=6cm,AB=10cm,那么点 A到 BC的距离是_，点 B到 AC的距离是_,d 点 A、B两点的距离是_,点 C到 AB的距离是_.【解析】点 C到 AB的距离可以利用等面积法求解【答案】6cm；8cm；10cm；4cm 【例题 14】如图,已知 AB、CD、EF相交于点 O,ABCD,OG平分AOE,FOD=28,求 COE、AOE、AOG 的度数。
12、【答案】COE=28，AOE=118，AOG=59 【例题 15】如图,OA是北偏东 30 方向的一条射线,若射线 OB与射线 OA垂直,则 OB的方向是_ 【答案】北偏西 50 【例题 16】如图,AOC与BOC是邻补角,OD、OE分别是AOC与BOC的平分线,试判断OD与 OE的位置关系,并说明理由。【答案】射线 OD与 OE互相垂直理由如下：OD是AOC的平分线，OE是BOC的平分线 COD=12AOC，COE=12BOC AOC+BOC=180，12AOC+12BOC=90，COD+COE=90，DOE=90 ODOE 【例题 17】如图所示,小刚准备在 C处牵牛到河边 AB饮水 (1
13、)请用三角板作出小刚的最短路线(不考虑其他因素)(2)如图乙,若小刚在 C处牵牛到河边 AB饮水,并且必须到河边 D处观察河水的水质情况,请作出小刚行走的最短路线(不写作法,保留作图 痕迹)【答案】（1）过 C作 AB的垂线，垂足与 C点之间的线段为最短路线，垂线段最短（2）连结 CD得线段 CD就是最短线段，两点之间线段最短。【例题 18】如图,计划把河水引到水池 A中,先作 ABCD,垂足为B,然后沿 AB开渠,能使所开的渠道最短,这样设计的依据是_【答案】垂线段最短 【例题 19】如下图所示,公路 1 边上有两个工厂 B,C,公路外有工厂 A,要在公路边上修建货运站 P,使 P到三个工厂
14、的路程和最短,货运站 P应建在何处?请在图中画出来，并说明理由。【答案】由于货运站 P修建在公路边上,根据“两点之间,线段最短”这一性质,可知点 P应 在线段 BC上，再根据“垂线段最短”的性质,可知需要过点 A作 1 的垂线,垂足就是点 P的 位置,如图所示。知识点 4【同位角、内错角、同旁内角】1、同位角、内错角、同旁内角的定义两条直线被第三条直线所截形成八个角（三线八角）,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如下图,直线 a,b 被直线 l 所截。（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同侧，则这样一对角叫做同位角 例如：1
15、 与5 都在截线 l 的右侧，且在被截直线 a,b 的上方，叫做同位角(位置相同)（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角 例如：5 与3 在截线 l 的两旁(交错),在被截直线 a,b 之间(内),叫做内错角(位置在内且交错）（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角 例如：5 与4 在截线 l 的同侧（同旁）,在被截直线 a,b 之间(内),叫做同旁内角。2、同位角、内错角、同旁内角的辨别 判断两个角是不是同位
16、角、内错角或同旁内角，应从角的两边入手，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形 3、区分截线与被截线“三线八角”中没有公共顶点的两角，共线的一边是截线,两角的另一边即为被截的两条直线。注：(1)同位角,内错角,同旁内角是指具有特殊位置关系的两角,是成对出现的 (2)“三线八角”中共有 4 对同位角,2 对内错角,2 对同旁内角 【例题 20】如图,描述同位角、内错角、同旁内角关系正确的是（）A、1 与4 内错角 B、2 与3 是同位角 C、3 与4 是同旁内角 D、2 与4 是同旁内角【答案】C 【例题 21】下图中，1 和2 是同位角的是（）【答案】D 【例
17、题 22】如图所示,图中能与1 构成同位角的角的个数有()个。【答案】3 【例题 23】如图 1，图 2 中,1 和2,3 和4 各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的?它们各是什么位置关系的角?【解析】此题考查同位角、内错角、同旁内角以及截线的概念。找到 2 个角共线的线，此为截线。找到角的两边，通过判断边组成的形状判断是什么角。【答案】图 1 中:1 和2 是直线 AB和 CD被直线 BD所截而成的,是内错角；3 和4 是直线 AD和 BC被直线 BD所截而成的,是内错角；图 2 中:1 和2 是直线 AB和 CD被直线 BC所截而成的,是同旁内角;3 和4 是直线 AD和 BC被直线 AB
18、所截而成的,是同位角。【例题 24】如图所示,有下列五种说法:1 和4 是同位角;3 和5 是内错角;2和6 是同旁内角;5 和2 是同位角;1 和3 是同旁内角;其中正确的序号有_ 【答案】【例题 25】如图所示,1 与2 是(）A、同位角 B、内错角 C、互为补角 D、同旁内角 【答案】D 【例题 26】如图，在1,2,3.4中,哪些角是同位角?哪些角是內错角?哪些角是同旁內角?它们分别是哪两条直线被哪条直线所截形成的?【答案】解:1 和3 是 DE和 BC被 AB所截而成的同位角,2 和4 是 DE和 BC被 DC所截而成的内错角,3 和4 是 DB和 DC被 BC所截而成的同旁内角 【例题 27】如图,三条直线两两相交,图中共有同位角_,共有_内错角,共有 对_同旁内角.【解析】不同于三线八角，此模型为 3 线 12 角。可按照遮住公共点的方法抽象出三种不同“三线八角”的基本图形。【答案】12,8,8 【例题 28】如图所示，同位角的个数是_,内错角的个数是_,同旁内角的个数是_。【解析】4 条线三三组合可形成 2 个“三线八角”和 2 个“3 线 12 角”的基本图形，一个“3 线12 角”的同位角、内错角、同旁内角的数量相当于“三线八角”对应的同位角、内错角、同旁内角的数量的 3 倍。【答案】24；16；16