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1、院 系: 数学学院 专 业: 信息与计算科学 年 级: 2014级 学生姓名: 王继禹 学 号: 2 教师姓名: 徐霞 6、6 习题3、一个慢跑者在平面上沿着她喜欢得路径跑步,突然一只狗攻击她,这只狗以恒定速率跑向慢跑者,狗得运动方向始终指向慢跑者,计算并画出狗得轨迹。解:(1)模型分析建立:狗得轨迹:在任意时刻,狗得速度向量都指向它得目标慢跑者。假设1:慢跑者在某路径上跑步,她得运动由两个函数X(t)与Y(t)描述。假设2:当t=0时,狗就是在点(x0,y0)处,在时刻t时,它得位置就是(x(t),y(t)那么下列方程成立:(1)狗以恒定速率跑: X2+y2=w2(2) 狗得速度向量平行于慢
2、跑者与狗得位置得差向量:将上述方程带入等式:,可得:再将代入第二个方程,可得狗得轨迹得微分方程:(2)程序及结果dog函数dog、mfunction zs,isterminal,direction = dog(t,z,flag) global w;% w=speed of the dog X=jogger(t);h = X-z;nh=norm(h); if nargin3 | isempty(flag) zs=(w/nh)*h; else switch(flag) case events zs = nh-1e-3; isterminal = 1; direction = 0; otherwis
3、e error(Unknow flag: flag); endend慢跑者得运动轨迹方程,水平向右jogger、mfunction s = jogger(t);s = 8*t;0;标记得函数cross、mfunction cross(Cx,Cy,v) Kx = Cx Cx Cx Cx-v Cx+v; Ky = Cy Cy+2、5*v Cy+1、5*v Cy+1、5*v Cy+1、5*v plot(Kx,Ky); plot(Cx,Cy,o);主程序:静态显示main1、mglobal w y0 = 60;70; w=10; options = odeset(RelTol,1e-5,Events,
4、on);t,Y = ode23(dog,0,20,y0,options);clf;hold on;axis(-10,100,-10,70);plot(Y(:,1),Y(:,2);J=; for h=1:length(t), w = jogger(t(h); J=J;w; endplot(J(:,1),J(:,2),:);p = max(size(Y); cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;动态显示main2、mglobal w;y0=60;70;w=10; options = odeset(RelTol,1e-5,Events,on);t,Y=ode23(dog,0,
5、20,y0,options); J=; for h=1:length(t); w= jogger(t(h); J=J;w;endxmin = min(min(Y(:,1),min(J(:,1); xmax = max(max(Y(:,1),max(J(:,1); ymin = min(min(Y(:,2),min(J(:,2);ymax = max(max(Y(:,2),max(J(:,2);clf;hold on; axis(xmin-10 xmax ymin-10 ymax);title(The jogger and the Dog); for h = 1:length(t)-1, plo
6、t(Y(h,1),Y(h+1,1),Y(h,2),Y(h+1,2),-,Color,red,EraseMode,none); plot(J(h,1),J(h+1,1),J(h,2),J(h+1,2),-,Color,green,EraseMode,none); drawnow; pause(0、1);endplot(J(:,1),J(:,2),:); p = max(size(Y); cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;结果t=12、2761812635281,在12、27秒后狗追上慢跑者。慢跑者轨迹就是椭圆轨迹jogger2、mfunction s=jogger2(
7、t) s=10+20*cos(t) 20+15*sin(t);狗得微分方程dog、mfunction zs,isterminal,direction = dog(t,z,flag) global w;% w=speed of the dogX=jogger2(t);h = X-z; nh=norm(h); if nargin=2)个圆,任何两个圆都相交但无3个圆共点。试问n个圆把平面划分成多少个不连通得区域？解:一个圆将平面分为2份两个圆相交将平面分为4=2+2份,三个圆相交将平面分为8=2+2+4份,四个圆相交将平面分为14=2+2+4+6份,平面内n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且任意三
8、个圆不相交于同一点,则该n个圆分平面区域数f(n)=2+(n-1)n=n2-n+2证明:(1)当n=1时,一个圆把平面分成两个区域,而12-1+2=2,命题成立.(2)假设n=k(k1)时,命题成立,即k个圆把平面分成k2-k+2个区域.当n=k+1时,第k+1个圆与原有得k个圆有2k个交点,这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧,而其中得每一段弧都把它所在得区域分成了两部分,因此增加了2k个区域,共有k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2个区域.n=k+1时,命题也成立.由(1)、(2)知,对任意得nN*,命题都成立.9、某人有元钱,她每天买一次物品,每次买物品得品种很单调,或者买一
9、元钱得甲物品,或者买二元钱得乙物品,问她花完这元钱有多少不同得方式？解:设an表示花完这n元钱得方案种数,若n=1,则只能买甲,有一种方法,故a1=1,若n=2,则可以买2个甲,或者1个乙或1个丙,即a2=3,当n3时,花钱得方式由购买甲与购买乙购买丙得种数之与构成,即an=an-1+an-2+an-2=an-1+2an-2则当n3时,an+an-1=2(an-1+an-2),即an+1+an就是公比q=2得等比数列,首项为a2+a1=1+3=4,则an+1+an=42n-1=2n+1,an+an-1=2n,两式相减得an+1-an-1=2n+1-2=2,(n2),若n就是奇数,an=2n-1
10、+2n-3+22+a1=(2n+1-1)/3若n就是偶数,an=2n-1+2n-3+23+a2=(2n+1+1)/3.7、6 习题1、在化工生产中常常需要知道丙烷在各种温度与压力下得导热系数。下面就是实验得到得一组数据:/68688787106106140140/KPa9、798113、3249、007813、3559、791814、2779、656312、463K0、08480、08970、07620、08070、06960、07530、06110、0651 试求=99与=10、3xKPa下得K。解:找出温度T相等时,导热系数K与压力P得关系。由于在不同温度时,仅给出两个K、P得值,因此采用
11、线性近似,把K、P瞧作就是线性关系。建立M文件:function y=y_lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0、0; for k=1:n p=1、0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end主程序:p1=9、7981,13、324; k1=0、0848,0、0897; %T=68p2=9、0078,13、355; k2=0、0762,0、0807; %T=87p3=9、7918,14、277;
12、 k3=0、0696,0、0753; %T=106p4=9、6563,12、463; k4=0、0611,0、0651; %T=140a2=polyfit(p2,k2,1); a3=polyfit(p3,k3,1);x1=polyval(a2,10、3); x2=polyval(a3,10、3); %x1,x2分别就是P=10、3*103kPa下87与106得K值plot(10、3,x1,k+,10、3,x2,k+,p1,k1,p2,k2,p3,k3,p4,k4)xlabel(丙烷压力P)ylabel(丙烷导热系数K)title(在不同温度下丙烷导热系数与压力得关系图)gtext(T=68),
13、gtext(T=87),gtext(T=106),gtext(T=140)运行后图中所标点为P=10、3*103kPa时,T=87与T=106对应得导热系数K值。在T=87与T=106之间仍采用线性近似来求T=99时得导热系数K。程序如下: x=87,106;y=x1,x2;a=polyfit(x,y,1);z=polyval(a,99)z=0、0729plot(99,z,k+,x,y)gridxlabel(丙烷温度T)ylabel(丙烷导热系数K)title(压力P=10、3*103kPa时丙烷导热系数与温度得关系)运行结果: T=99、P=10、3*103KPa时 K=0、0729。4、用
14、电压V=10伏得电池给电容器充电,电容器上t时刻得电压为v(t)=V-(V-V0),其中v0就是电容器得初始电压,就是充电常数。试由下面一组t,v数据确定V0与。t/s0、51234579V/伏6、366、487、268、228、668、999、349、63 解:建立M文件function f=dianya(x,t)f=10-(10-x(1)*exp(-t/x(2)%x(1)=V0;x(2)=主程序:t=0、5 1 2 3 4 5 7 9;V=6、36 6、48 7、26 8、22 8、66 8、99 9、43 9、63;x0=0、2,0、05;x=lsqcurvefit(dianya,x0,t,V) %x(1)代表V0,x(2)代表f=dianya(x,t)结果x=5、5577 3、5002,即初始电压v0=5、5577,充电常数为=3、5002.