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1、1.1 建立二元一次方程组第一章 二元一次方程组小红家今年1月份的天然气费和水费共60元，其中天然气费比水费多20元.你能算出1月份小红家的天然气费和水费分别是多少吗？可以设1月份的天然气费是x元，则水费是（x-20）元.列一元一次方程得：x+（x-20）=60.解得x=40，因此天然气费是40元，水费是20元.思考思考想一想，还有其他的方法吗？问题中既要求水费，又要求天然气费，可以设1月份的天然气费是x元，水费是y元.根据题意得x+y=60，x-y=20.讨论讨论观察方程、各含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？二元一次方程（组）二元一次方程（组）像x+y=60，x-y=20这样，含有两
2、个未知数(二元)，并且含未知数的项的次数都是1，称这样的方程为二元一次方程.在方程和中，x都表示小红家1月份的天然气费，y表示1月份的水费，它们必须同时满足方程和，因此把方程和用大括号联立起来，得像这样，把两个含有相同未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来，组成的方程组，叫作二元一次方程组.把x=40，y=20代入方程组 的每一个方程中，每一个方程左、右两边的值相等吗？40+20=60，40-20=20.每一个方程左、右两边的值都相等.观察观察解方程组解方程组在一个二元一次方程组中，使每一个方程的左、右两边的值都相等的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解.我们
3、把x=40，y=20叫做二元一次方程组 的一个解.这个解通常做 求方程组的解的过程叫做解方程组.【例】小玲在文具店买了3本练习本，2支圆珠笔，共花去8元，其中购买的练习本比圆珠笔多花4元.（1）为了知道练习本、圆珠笔的单价是多少元，你能列出相应的方程组吗？（2）是列出二元一次方程组的解吗？解：（1）设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元.根据题意得 （2）把 代入方程中，左边=右边，把 代入方程中，左边=右边，所以 是方程组 的解.1.是上例中方程组的解吗？答案：不是.练习练习2.一条船顺流航行，每小时行24km；逆流航行，每小时行18km.（1）为了求轮船在静水中的速度x与水的流速y，你能
4、列出相应的方程组吗？（2）是列出的二元一次方程组的解吗？答案：（1）（2）是.3.是下列那个哪个方程组的解？（1）（2）答案：是（1）的解，不是（2）的解.通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思 我进步1.2.1 代入消元法1.2 二元一次方程组的解法第一章 二元一次方程组新知探究新知探究在上一节中，我们列出了二元一次方程组并且知道x=40，y=20是这个方程组的一个解.这个解是怎么得到的呢？大家都会解一元一次方程，可是现在方程和方程中都含有两个未知数，该如何解决呢？方程和中的x都表示一月份的天然气费，y都表示一月份
5、的水费，因此方程中中的x，y分别与方程中的x，y的值相同.由式可得 x=y+20.于是可以把代入式，得 （y+20）+y=60，解方程，得y=20.把y的值代入式，得x=40.因此原方程组的解是同桌同学讨论，解二元一次方程组的基本思想法是什么？讨论讨论【例1】解二元一次方程组：解：由式得 y=-3x+1.把代入式，得5x-（-3x+1）=-9.解得 x=-1.把x=-1代入式，得 y=4.因此原方程组的解是可以把求得的可以把求得的x，y的的值代入原方程组检验，值代入原方程组检验，看是否为方程组的解看是否为方程组的解.代入消元法代入消元法解二元一次方程组的基本思想是：消去一个未知数（简称消元），
6、得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程.在上面的例子中，消去一个未知数的方法是：把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把它代入到另一个方程中，便得到一个一元一次方程.这种解方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法.【例2】用代入法解方程组：解：由式得 把代入式，得 解得 y=2.把y=2代入式，得 x=3.因此原方程组的解是：1.把下列方程改写为用含x的代数式表示y的形式.（1）2x-y=-1；（2）x+2y-2=0.答案：（1）y=2x+1.（2）练习练习2.用代入法解下列二元一次方程组.（1）（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）通过本节通过本节课课
7、，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思 我进步1.2.2 加减消元法1.2 二元一次方程组的解法第一章 二元一次方程组新知探究新知探究如何解下面的二元一次方程组？我们可以用学过的代入消元法来解这个方程组，得还有没有更简单的解法呢？我们知道解二元一次方程组的关键是消去一个未知数，使方程转化为一个一元一次方程.分析方程和，可以发现未知数x的系数相同，因此只要把这两个方程的两边分别相减，就可以消去其中一个未知数x，得到一个一元一次方程.即-，得 2x+3y-（2x-3y）=-1-5，解得y=-1.把y=-1代入式，解得x=1.因此原方程组的解
8、是分析方程和，可以发现未知数y的系数互为相反数，因此也可以把这两个方程的两边分别相加，就可以消去其中一个未知数y，得到一个一元一次方程.【例1】解二元一次方程组：解：+，得 7x+3y+2x-3y=1+8，解得 x=1.把x=1代入式，可求出 y=-2.因此原方程组的解是加减消元法加减消元法消去一个未知数的方法是：如果两个方程中有一个未知数的系数相等，那么把这两个方程相减（或相加）；否则，先把其中一个方程乘以适当数，将所得方程与另一个方程相减（或相加），或者先把两个方程分别乘以适当的数，再把所得到的方程相减（或相加）这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法简称加减法.【例2】解二元一次方程组：
9、解：3，得 6x+9y=-33.-，得 -14y=42，解得 y=-3.把y=-3代入式，可求出 x=-1.因此原方程组的解是在例2中如果先消去y应如何解？会与上述结果一致吗？讨论讨论用加减法解一元二次方程组：（1）（2）（3）（4）答案：（1）（2）（3）（4）练习练习加减消元法和代入消元法是解二元一次方程的两种方法，它们都是通过消去其中一个未知数（消元），使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求解，只是消元的方法不同，我们可以根据方程组的具体情况来灵活选择适合它的消元方法.【例3】解二元一次方程组：解：10，得 2m-5n=20.-，得 3n-（-5n）=4-20，解得 n=-2.把n=
10、-2代入式，可求出 m=5.因此原方程组的解是【例4】解二元一次方程组：解：4，得 12x+16y=32.3，得 12x+9y=-3.-，得 16y-9y=32-（-3），解得 y=5.把y=5代入式，可求出 x=-4.因此原方程组的解是【例5】在方程y=kx+b中，当x=1时，y=-1；当x=-1时，y=3.试求k和b的值.解：根据题意得 +，得 2=2b，解得 b=1.把b=1代入式，得 k=-2.所以k=-2，b=1.1.解下列二元一次方程组：（1）（2）答案：（1）（2）练习练习2.已知 和 都是方程y=ax+b的解，求a，b的值.答案：通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收
11、获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思 我进步1.3 二元一次方程组的应用第一章 二元一次方程组“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一.大约在1500年前成书的孙子算经中就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有 35 个头；从下面数，有 94 条腿.问笼中各有几只鸡和兔？思考思考本题涉及的等量关系有：鸡头数+兔头数=35，鸡的腿数+兔子的腿数=94.设鸡有x只，图有y只.根据灯亮关系，得解这个方程组，得答：笼中有23只鸡，12只兔.【例1】某业余运动员针对自
12、行车和长跑项目进行专项训练.某次训练中，他骑自行车的平均速度为10m/s，跑步的平均速度为 m/s，自行车路段和长跑路段共5km，共用时15min.求自行车路段和长跑路段的长度.分析分析：本问题涉及的等量关系有：本问题涉及的等量关系有：自行车路段长度自行车路段长度+长跑路段长度长跑路段长度=总路程，总路程，骑自行车的时间骑自行车的时间+长跑时间长跑时间=总时间总时间.解：设自行车路段的长度为xm，长跑路段的长度为ym.根据等量关系，得解这个方程组，得因此自行车路段长度为3000m，长跑路段的长度为2000m.【例2】某食品厂要配制含蛋白质15%的食品100kg现在有含蛋白质分别为20%和12%
13、的甲乙两种配料.用这两种配料可以配制出所要求的食品吗?如果可以的话，它们各需多少千克?分析分析：本问题涉及的等量关系有：本问题涉及的等量关系有：甲配料质量甲配料质量+乙配料质量乙配料质量=总质量，总质量，甲配料含蛋白质质量甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量乙配料含蛋白质质量=总蛋白质质量总蛋白质质量.解：设含蛋白质20%的配料需用xkg，含蛋白质12%的配料需用ykg.根据等量关系，得 解这个方程组，得答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质20%的配料需用37.5kg，含蛋白质12%的配料需用62.5kg.建立二元一次方程组解决实际问题的步骤如下：实际问题列二元一次方程组解方程组检验解是
14、否符合实际情况分析等量关系分析等量关系设两个未知数设两个未知数1.一块金与银的合金重250g，放在水中称，减轻了16g.已知金在水中称，金重减轻 ；银在水中称，银重减轻 .求这块合金中含金、银各多少克.答案：这块合金中含金190g，含银60g.练习练习2.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、乙两种商品原来的单价.答案：甲商品原来的单价40元，乙商品原来的单价60元.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他
15、从家里到学校需要10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？思考思考小华家到学校的路程分为两段：平路与坡路（回家所走的上坡路长即为去学校的下坡路长）.根据问题中涉及的路程、速度与时间的数量关系，可得 走平路的时间+走下坡路的时间=10min，走上坡路的时间+走平路的时间=15min.设小华家到学校平路长xm，下坡长ym.根据等量关系得解这个方程组，得因此，平路长为300m，下坡长为400m，小华家离学校700m.【例3】某城市规定：出租车起步价所包含的路程为03km，超过3km的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”乙说：“我乘这种出租车走了23k
16、m，付了35元.”请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？分析分析：本问题涉及的等量关系有：本问题涉及的等量关系有：总车费总车费=03km的车费（起步价）的车费（起步价）+超过超过3km后的车费后的车费.解：设出租车的起步价是x元，超过3km后每千米收费y元.根据等量关系，得 即 解这个方程组，得答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米收费1.5元.【例4】某装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，其中每包书的数目相等.第一次它们领来这批书的 ，结果打了14个包还多35本；第二次他们把剩下的书全部取出来，连同第一次打包打包剩下的书一起，刚好又打了11包.
17、那么这批书共有多少本？解：设这批书共有x本，每包书有y本.根据等量关系，得 解这个方程组，得答：这批书共有1500本.1.星期日，小军与小明所在年级分别有同学去颐和园和圆明园参观，其参观人数和门票花费如下表：颐和园参观人数圆明园参观人数门票花费总 计小军所在年级3030750 元小明所在年级3020650 元问：颐和园和圆明园的门票各多少元？答案：颐和园门票15元，圆明园门票10元.思考思考2.王先生家厨房需更换地面瓷砖，他采用两种颜色的地砖搭配使用，其中彩色地砖24元/块，单色地砖12元/块，购买的单色地砖数比彩色地砖数的2倍少15块，买两种地砖共花去2220元.求购买的彩色地砖数和单色地砖
18、数.答案：购买彩色地砖50块，单色地砖85块.通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思 我进步1.4 三元一次方程组第一章 二元一次方程组小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，小丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的 .问这家人的年龄分别是多少岁?可建立二元一次方程组来解决.设爸爸的年龄为x岁，小丽的年龄为y岁，则妈妈的年龄为（x-6）岁.根据题意得：思考思考解上述方程组得x=38，y=10.因此爸爸的年龄为38岁，妈妈的年龄为32岁，小丽的年龄为10岁.想一想，还有其他的方法列方程组求解吗？因为要求三个人的年
19、龄，所以可设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y岁，小丽的年龄为z岁.根据题意得：x+y+z=80，x-y=6，x+y=7z.三人的年龄必须同时满足上述三个方程，所以，我们把这三个方程联立在一起写成：可以发现，这个方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫做这个方程组的一个解.解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，使其转化为一元一次方程来求解，那么我们在解三元一次方程组时，能不能同样利用代入法或加减法来消去一个或两个未知数，使其转化为二元一次方程组或一元一次
20、方程呢？思考思考现在我们来解下面的三元一次方程组：我们把、两式相加得到一个只含x和z的二元一次方程，即2x+z=86.再把、两式相加又得到一个只含x和z的二元一次方程，即2x=6+7z.由此可得到一个关于x，z的二元一次方程组：解得把x=38，z=10代入式，得 38+y+10=80，解得 y=32.因此，三元一次方程组的解为从上面解方程组的过程可以看出，解三元一次方程组的基本思想是：先消去一个未知数，将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解二元一次方程.消元的基本方法仍然是代入法和加减法.【例】解三元一次方程组：分析分析：通过观察发现，：通过观察发现，z或或y的系数较为简单，
21、可以先下去消去的系数较为简单，可以先下去消去z或或y来求解来求解.解：4-，得 7x-17z=4.-，得 2x-5z=3.两次转化都必须是两次转化都必须是消去同一个未知数消去同一个未知数.由此得到解这个二元一次方程组得把x=-31，z=-13代入式，得y=42.所以原方程组的解为 1.解下列三元一次方程组：（1）（2）答案：（1）（2）练习练习2.有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁，乙、丙的年龄之和为16岁，丙、甲的年龄之和为17岁，则甲、乙、丙三人的年龄分别为多少岁？答案：甲8岁，乙7岁，丙9岁.通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思 我进步